МП - 3 семестр / Diskretka / Klushin

2.82. Решение а).

{x Ú y, x Å y} Ì T0 , следовательно,

[x Ú y, x Å y] Ì [T0 ] .

Осталось доказать,

что

T0 Ì [x Ú y, x Å y].

Действительно, если

f Î T0 ,

то

свободный

член

в

полиноме

Жегалкина этой функции равен 0,

значит, f

можно выразить формулой через {xy, x Å y}.

Но

x Ú y = x Å y Å xy

и,

значит,

xy = x Å y Å x Ú y ,

следовательно,

f

можно

выразить

формулой над {x Ú y, x Å y} .

2.85. Указание.

В качестве полной системы используйте

{x Ú y,

} или {x Ù y,

}. 2.86. а) неполная; б) полная;

в) неполная; г) полная; д) полная; е)

x

x

неполная; ж) полная; з) полная. 2.87. а) нет; б) да. 2.88.

{

}

{

}

{

}

{

}

x

y ,

x ¯ y

,

x ® y, 0 ,

x ® y, 0

,

{

}

{

}

{

}

{

}

,

{

x

}

{

}

,

x ® y, 0 ,

x Ú y, x ,

x Ù y, x ,

x « y, x Ù y, 0

« y, x Ú y, 0 ,

x Å y, x Ù y, x « y

{x Å y, x Ú y, x « y},

{x Å y, x Ù y,1} ,

{x Å y, x Ú y,1} . 2.89.

Например,

{0,1, x Å y Å z, xy}

или

{0,1, x Å y Å z, x Ú y} .

2.90. Указание. Будем рассуждать

от противного. Предположим,

найдется базис B , состоящий не менее чем из 4-х функций. Поскольку базис представляет

собой полную систему, то в B найдутся функции

f0 ,

f1 ,

fS , fM ,

fL

такие, что

f0 ÏT0 ,

f1 ÏT1 ,

fS ÏS ,

fM

ÏM , fL ÏL . Ранее было показано (2.68),

что функция f0

либо немонотонная,

либо

несамодвойственная.

Следовательно,

одна

из

двух

подсистем

{ f0 , f1 , fS , fL } ,

{ f0 ,

f1 ,

fM ,

fL } обязательно

полна.

Значит в

B

есть

полная

подсистема.

Получили

в)

2

3

г) 1

2

3

1

4

5

4

5

6

3.4.

а)

1

3

e3

4

б)

4

e1

e2

e4

e5

e1

e2

e3

e4

2

5

6

1

2

3

4

в)

2

3

1

e1

e2

e3

4

5

6

æ 0 1 0 0ö

æ0

1

1

0

1ö

æ

0 0 0 0ö

ç

1 0 0 1 1

÷

ç

1

0

1

1

÷

ç

÷

ç

0

0

1

1

÷

3.5. а)

ç

÷;

б)

ç

1

0

0

1

1

÷

; в)

ç

÷;

ç

0 1 0 1

÷

ç

0 1 1 0 0

÷

ç

0 1 0 1

÷

ç

0 1 1 0

÷

ç

÷

ç

0 1 1 0

÷

è

ø

ç

1

1

1

0

0

÷

è

ø

è

ø

æ 0

1

1

0

0ö

ç

1

0

1

1

0

÷

ç

÷

г) ç

1

1

0

0

1

÷.

ç

0

1

0

0

1

÷

ç

÷

ç

0

0

1

1

0

÷

è

ø

æ1

1

0

0

0ö

æ

1

1

0

0

0ö

æ1 1 1 0ö

ç

1 0 0 0 0

÷

ç

1 0 1 1 0

÷

ç

÷

ç

0 1 0 1

÷

;

б)

ç

÷

ç

0 1 1 1 1

÷

3.6. а) ç

1 0 0 0

÷

ç

0

1

1

0

1

÷

; в) ç

0 0 1 0 0

÷.

ç

÷

ç

0

0

0

1

0

÷

ç

÷

ç

0 0 1 1

÷

ç

÷

ç

0 0 0 1 0

÷

è

ø

ç

÷

è0

0

0

0

1ø

ç

÷

ç

0

0

0

0

1

÷

3.7.

è

ø

а)

1

2

б)

1

2

3

3

4

4

5

æ 0

1

1

0 ö

æ 0

1

3ö

ç

1

0

2

1

÷

3.8. а) ç

÷;

б)

ç

1

1

2

÷.

ç

1

2

0

1

÷

ç

÷

ç

3

2

0

÷

ç

0

1

1

0

÷

è

ø

è

ø

3.9.

а)

1

2

б)

1

5

3

4

2

3

4

в)

г)

3.12. a = 0, b = 1. 3.13. a = 1,

b = 0. 3.14. åaii . 3.15. а) 2; б) 3; в) 1.

i

3.16.

а)

б)

Указание: Пусть n –

количество вершин графа. Взять в 3 n попарно скрещивающихся прямых и

расположить вершины графа на этих прямых по одной на каждой прямой. 3.21. Указание:

Начать

n

нумерацию с вершины, не имеющей входящих в неё рёбер. 3.22. Неверно. 3.26. 3. 3.27. å| ei - hi | .

3.28. а)

i=1

0,1,2,3,4; б) 0,1,2,3; в) 0,1,…,5; г) 0,1,2,…,6; д) 0, 1, … , 9.

3.29. а) 1; б) 2; в)

m + n - 2 ; г) n ; д) 2. 3.30. Да.

3.31. 5. 3.32. d(G) = 3,

r(G) = 2,

вершины 8 и 9 – центры. 3.33. а) n ; б) 1; в)

r(G) = 1 при m = 1,

r(G) = 2

при m ³ 2. 3.34. а) r(Cn ) = [n / 2];

центром является вершина с номером

n +1

, если n – нечётное число, и

n

n +1

2

вершины с номерами

,

, если n чётное. 3.35. а)

 = 26 = 64, Ð= 6×25 = 192 ; б)  =12 , Ð= 30 ; в)

2

2

 = mn , Ð= 2mn − n ; г)

 = mn ,

Ð= 2mn . 3.37. 4-1-2-3-1-5-3-4-5. 3.38. а) Существует эйлеров цикл; б) не

Всего 12, неизоморфных 2; всего 55,

неизоморфных 4.

3.48. а) 001001010101100111;

б)00010111001100010111;

в) 0100000111011101.

3.49. а) Не является (единиц больше, чем

3.50. а)

б)

3.52. а) 2331777; б) 22226666; в) 555557999.

1

2

3

3.53.

1

2

б)

а)

4

5

6

7

3

4

5

8

9

10

6

7

8

в) 1

2

3

4

11

12

5

6

7

8

9

10

3.54. а) 17; б) (m −1)(n −1) ; в) mn +1.

11

12

да.

3.56. а)

6; б) (m −1)(n −1) ;

в) 17; г)

3.55. а) Нет;

б) да; в)

(m −1)(n −1) ; д) 7; е) 19. 3.58. ν(G) +1.

3.59. min(m, n). 3.60. Любое число от 12 до 78. 3.61. 1 или 2. 3.62.

(n −1)(n − 2)

.

3.64. а)

C = (346), C

= (367),

C

= (4678),

C

= (458);

б) C = (1234),

C

= (2486),

2

3

4

2

2

1

1

C3

= (5687),

C4 = (1375), C5

= (3487),

C6 = (1265),

C7 = (1378).

3.65.

Например, так: C2

= (1425),

C3

= (1526), C4 = (2536). 3.66. 25 -15+ 4 =14. 3.67. а) 6 и 64; б) 36 и 236 ; в) 17 и 217 . 3.68. а) 10; б) 14. 3.70.

 ³ 21. 3.71. а) 11; б) 20; в) 17.

3.72. а) 3; б) 4. 3.73. а) 2; б) 2 при чётном n и 3 при нечётном; в) 2; г) 2, если

количество вершин не менее двух и 1,

если вершина одна.

3.74. а)

c = 3;

б) c = 4; в) c = 3;

примеры

а)

1

б)

1

2

3

2

4

3

2

3

2

3

1

4

1

в)

3

2

1

2

3

3

1

1

2

3.75. Да.

3.76. а) χP (B3 ) = 3;

б)

χP (G) = 5; в) χP (G) = 3. Примеры раскрасок

указаны на

рисунке.

а)

1

б)

2

1

3

3

3

1

5

3

4

2

2

2

1

2

2

4

3

3

1

1

в)

3

3.77.

2

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

2

1

1

3

1

3

2

3

1

1

2

3

2

1

3

1

3

2

3.78. а) 23; б) 6. 3.82.

3.83. 9. 3.84. а) Да: любой многогранник – это планарный

2 ≤ Ã≤16.

граф; б)

нет;

в) да;

г)

да;

д)

нет; е) нет; ж) нет. 3.85.

min(m, n) ≤ 2. 3.86.

15. Граф с

3.89.

а)

б)

3.90.

а) s

6,5

2,2

б)

4,3

5,4

3,2

t

5,3

4

2

3,3

5,4

4,2

1,1

2

2

s

t

6,5

6,6

6,6

7,5