МП - 3 семестр / Diskretka / pz_1_dz_1
.docПрактическое занятие №1
Тема: «Множества и бинарные отношения»
Обсуждаемые понятия, утверждения, алгоритмы
Операции над множествами. Подсчет элементов конечных множеств с помощью правила суммы, формулы включений и исключений. Определение свойств бинарных отношений на множестве. Построение разбиений множеств на классы эквивалентности.
Учебная литература, используемая на занятии
1. Олейник Т.А. Основы дискретной математики: теория и практика. – М.: МИЭТ, 2010
2. Клюшин А.В., Кожухов И.Б., Олейник Т.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: МИЭТ, 2008.
Теоретические сведения
Теоретические сведения и примеры решения типовых задач базового уровня приведены в Л1, § 1.1.
Краткое изложение теории есть в Л2: Глава 1. § 1.1, стр. 3-4; § 1.3, стр. 7-9.
Типовые задачи семинара-тренинга
|
Практика под руководством педагога |
|||
|
№ |
Обязательные задачи |
Дополнительные задачи |
|
|
1. |
Множества и операции над ними |
||
|
|
Л2. 1.1, 1.9
(1.1
– 1.4) Для
следующих множеств
1.1.
1.9. В научно–исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий язык и 23 – оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языка? |
Л2. 1.4 ------------//--------------
1.4. |
|
|
2. |
Бинарные отношения на множестве |
||
|
|
Выясните, является
ли следующее бинарное отношение
1.
2.
3.
Л.2. 1.25, 1.26, 1.28 1.25. Приведите пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного бинарного отношения на множестве из 3-х элементов. 1.26. Приведите пример рефлексивного, транзитивного, но не симметричного бинарного отношения на множестве из 3-х элементов.
(1.28
– 1.30)
Выясните, является ли следующее
бинарное отношение
1.28.
|
Л2. 1.29
------------//--------------
1.29.
|
|
и
и универсального множества
найдите множества
.
,
,
.
,
,
.
на множестве
:
а) рефлексивным, б) симметричным, в)
антисимметричным, г) транзитивным.
Будет ли
отношением эквивалентности или
порядка?
,
.
,
.
,
.
на множестве
натуральных чисел
1) рефлексивным;
2) симметричным; 3) антисимметричным;
4)
транзитивным. Будет ли
отношением эквивалентности или
порядка?
– четно.
– нечетно.
|
Самостоятельная практика |
||
|
|
Л2. 1.10, 1.27 1.10. В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий язык и 20 – французский язык. Далее, 23 человека знают английский и немецкий языки, 12 человек – английский и французский и 11 человек знают немецкий и французский языки. Наконец, 5 человек знают все три языка. Сколько человек в институте не знают ни одного из этих языков?
1.27. Приведите пример симметричного, транзитивного, но не рефлексивного бинарного отношения на множестве из 3-х элементов.
|
|
|
Домашняя работа № 1 по теме занятия 1 (теория+ задачи – всего заданий 7 + 2) Множества и бинарные отношения. Операции над множествами. Подсчет элементов конечных множеств с помощью правила суммы, формулы включений и исключений. Определение свойств бинарных отношений на множестве. Построение разбиений множеств на классы эквивалентности. |
|
1 – 3: Л-2: № 1.2. 1.3, 1.30.
(1.1
– 1.4) Для
следующих множеств
1.2.
1.3.
(1.28
– 1.30)
Выясните, является ли следующее
бинарное отношение
1.30.
(4 – 6)
Выясните,
является ли следующее бинарное
отношение
4.
Здесь при набивке опечатка. Правильное условие:
7. Пусть
на множестве
|
|
Банк дополнительных задач и задач на дом |
|
1.
Выясните, является ли бинарное отношение
а) рефлексивным, б) симметричным, в) антисимметричным, г) транзитивным.
Будет ли
|
|
2.
Пусть на множестве
натуральных чисел определено бинарное
отношение
|
и
и универсального множества
найдите множества
.
,
,
.
.
на множестве
натуральных чисел 1) рефлексивным;
2) симметричным; 3) антисимметричным;
4) транзитивным. Будет ли
отношением эквивалентности или
порядка?
– четно.
на множестве
:
а) рефлексивным, б) симметричным, в)
антисимметричным, г) транзитивным.
Будет ли
отношением эквивалентности или
порядка?
,
.
5.
,
.
6.
,
.
определено бинарное отношение
:
(
неотрицательно и делится нацело на
2). Показать, что
есть отношение порядка на
.
:
(
делит
),
определенное на множестве
натуральных чисел:
отношением эквивалентности или
порядка?
:
(
делит
или
).
Показать, что
есть отношение линейного порядка.-
Задание 5 контрольной работы формулируется на основе и с использованием банка задач, приведенного в учебном пособии Олейник Т.А. «Основы дискретной математики: теория и практика. М.:МИЭТ, 2010»: Л.1. § 1.1, задачи повышенной сложности 1.1 – 1.10; § 1.2, задачи повышенной сложности 1.11 – 1.25. Для подготовки к выполнению задания 5 контрольной работы № 1 рекомендуется прорешать задачи из этого списка. (обсуждение этих задач возможно только на консультации)
с 23 группой мы не успели пройти маленькую темку, изучите ее самостоятельно для задач 1.25, 1.26, 1.27
и ее удобно применить во всех задачах,
где встречается множество
Бинаpное отношение на множестве
из тpех элементов будем задавать с
помощью матpицы
из нулей и единиц, пеpвая
стpочка и столбец котоpой соответствуют
элементу
,
втоpая – элементу
,
тpетья –
.
Если на пеpесечении, напpимеp, 1-ой стpоки
и втоpого столбца в этой матpице стоит
1, то это означает, что паpа
,
если же 0, то данная паpа
не пpинадлежит. Напpимеp, запись
означает, что
.
Аналогично можно задать матрицу бинарного отношения на любом множестве.
То есть бинарное отношение можно задать не только с помощью перечислений условий, которыми связаны элементы из пары, а МАТРИЦЕЙ.
Ответы к задачам типа 1.25,26,27 итд удобно представлять в виде таблицы
например:
|
1.
|
рефл |
нет |
|
симм |
да |
|
|
|
антисимм |
нет
|
|
транз |
нет |
|
|
отнош экв |
нет |
|
|
отнош лин пор |
нет |
|
|
отнош част пор |
нет |
,
.
,
но
Если какое-либо бинарное отношение является отношением эквивалентности, всегда находить классы эквивалентности и проверять три условия...
Иначе задача не засчитывается.
После второго занятия выложу ответы к первому занятию и дз 1.