МП - 3 семестр / Diskretka / kombinatorika

Размещение из n элементов по k

Сочетание из n элементов по k

Размещение с повторениями из n элементов по k

Сочетание с повторениями из n элементов по k.

выборка объема k из n элементов

• (упорядоченная)

• без повторений

• {неупорядоченная}

• без повторений

• (упорядоченная)

• с повторениями

• {неупорядоченная}

• с повторениями

примеры пусть множество M состоит из 3-ех элементов:M={1, 2, 3}

или пусть имеется 3 ящика и 2 шара. Сколько способов разместить k шаров по n ящикам в зависимости от некоторых условий

размещение из 3 по 2 – шесть упорядоченных выборок без повторений

сочетание из 3 по 2 – три неупорядоченные выборки без повторений

размещение с повторениями из 3 по 2 – девять упорядоченных выборок с повторениями

сочетание с повторениями из 3 по 2 – шесть неупорядоченных выборок с повторениями

(1,2), (1,3), (2,3),

(2,1), (3,1), (3,2).

{1,2}, {1,3}, {2,3}.

{ , },{ , },{ , }

(1,1), (1,2), (1,3),

(2,1), (2,2), (2,3),

(3,1), (3,2), (3,3).

{1,1}, {1,2}, {1,3},

{ , }, {2,2}, {2,3},

{ , }, { , }, {3,3}.

2(k) различных шара по 3-ем(n) ящикам

в ящик не более 1 шара

2(k) любых (т.е. одинаковых) шара по 3-ем(n) ящикам

в ящик не более 1 шара

2(k) различных шара по 3-ем(n) ящикам

в ящик любое кол-во шаров

2(k) любых (т.е. одинаковых) шара по 3-ем(n) ящикам

в ящик любое кол-во шаров

Число перестановок из n элементов без повторений

Число перестановок с повторениями из n элементов –имеется n элементов m различных типов, и рассматриваются перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов – количество элементов i-го типа и .

(неупорядоченная выборка из n элементов по k с возвращениями, выбранный элемент каждый раз возвращается обратно)

Теорема: Число размещений без повторений из n элементов по k

Теорема: Число сочетаний без повторений из n элементов по k

Теорема: Число размещений с повторениями из n элементов по k

Теорема: Число сочетаний с повторениями из n элементов по k

доказательства

Доказательство: В k-размещении (а₁, a₂,…,a_k) n-элементного множества M элемент а₁можно выбрать n способами. После этого элемент a₂ можно выбрать n – 1 способами (из оставшихся n – 1 элементов множества M). После этого элемент a₃ можно выбрать n – 2 способами. И так далее. Наконец, элемент a_k можно выбрать n – k + 1 способами. По правилу произведения: n (n – 1) (n – 2)… (n – k + 1); умножив и разделив правую часть равенства на (n – k)(n – k – 1)…3∙2∙1. Получим

Обозначают

Следствие: Число перестановок n-элементного множества без повторений P_n = n!

Доказательство: Обозначим через число сочетаний без повторений из n элементов по k. Каждому k -сочетанию (а₁, a₂,…,a_k) n-элементного множества M соответствует k! перестановок. Тогда число размещений откуда и следует требуемая формула.

Обозначают

Доказательство: В k-размещении (а₁, a₂,…,a_k) n-элементного множества M элемент а₁ можно выбрать n способами, элемент a₂ – тоже n способами, наконец, элемент a_k – n способами. По правилу произведения

Следствие: Рассмотрим n элементов m различных типов, причем в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если – количество элементов i-го типа, то и количество всевозможных перестановок с повторениями равно .

Доказательство: Каждому k -сочетанию (а₁, a₂,…,a_k) n-элементного множества M=(а₁, a₂,…, a_i,…,a_n) взаимно однозначно сопоставим вектор с n + k – 1 координатами, состоящий из n – 1 нулей и k единиц. Нули «разделяют» вектор на n частей так, что на каждом i-ом месте стоит столько единиц, сумма которых равна количеству вхождений элемента a_i из M в k -сочетание (а₁, a₂,…,a_k) Общее число единиц в векторе равно k. В нашем примере для M={a, b, c} получим {a,a}↔{1,1,0,0}, {a,b}↔{1,0,1,0}, {a,c}↔{1,0,0,1}, {b,b}↔{0,1,1,0}, {b,c}↔{0,1,0,1}, {c,c}↔{0,0,1,1}.

Вопрос: сколько таких векторов?

Сколькими способами из n + k – 1 координат можно выбрать k координат, в которых будут стоять единицы?

ИЛИ

Пусть n – 1 нулей – это n – 1 перегородка, разделяющие n ячеек, в каждую i-ую ячейку положим столько шаров, сколько раз повторяется a_i элемент из M в k -сочетании (а₁, a₂,…,a_k).

{a,a}↔{| | }, {a,b}↔{|| }, {a,c}↔{| |}, {b,b}↔{ || }, {b,c}↔{ ||}, {c,c}↔{ | |}.

Если M = {a, b, c, d, e}, то сочетанию {a, b, b, c, c, e, e} сопоставим разбиение

 |  | | | 

Всего шаров k = 7, перегородок n – 1 = 4, а промежутков между шарами k – 1 = 6.

Это соответствует расстановке в ряд k шаров и n – 1 перегородок так, чтобы между (i – 1) -ой и (i) -ой перегородками находилось ровно столько шаров, сколько раз  входит элемент a_i из M в k -сочетание (а₁, a₂,…,a_k). Таких расстановок