МП - 3 семестр / Diskretka / pz_2_dz_2

Практика под руководством педагога

Обязательные задачи

1. Турист планирует побывать в трех городах А, В и С. Из А в В можно добраться пятью маршрутами, а из В в С – тремя. Сколькими способами турист может составить маршрут от города А до города С через В?

2. а) Сколькими способами можно нарисовать флаг с тремя продольными полосами одинаковой ширины, если имеются краски пяти цветов?

б) Сколькими способами можно выбрать три различные краски из пяти?

в) В магазине имеется по десять банок синего, красного, желтого, зеленого и белого цвета. Сколько различных наборов из 3-х красок можно купить?

г) Сколькими способами можно покрасить кухню, дом и сарай на даче, если имеется краска 5-и цветов и каждое здание планируется окрасить в один цвет?

3. Ольга Ивановна, отправляясь на курорт на 7 дней, решила, что каждый день перед сном будет смотреть лирическую комедию, и скачала себе на ноутбук 10 фильмов.

а) Сколько различных наборов фильмов она может посмотреть за время отдыха?

б) Сколько различных планов просмотров она может составить?

4. В буфете имеются пирожные 5-ти видов.

а) Сколько различных наборов из 12 пирожных можно купить?

б) Сколькими способами могут купить по одному пирожному 12 человек, стоящие в очереди?

5. Из группы в 15 человек должны быть выделены на субботник бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

6. Сколькими способами можно расставить семь различных книг на полке, если две книги из семи – книги по геометрии и должны стоять рядом?

7. а) Сколько существует упорядоченных наборов из 0 и 1 длины 12, i-ая координата которого при любом i, не меньше i-ой координаты вектора (011001000000)?

б) Пусть дан конкретный упорядоченный набор из 0 и 1 , у которого ровно k координат равны 0. Сколько существует упорядоченных наборов из 0 и 1 длины n, i-ая координата которых при любом i не меньше i-ой координаты заданного набора?

8. Сколько непустых подмножеств множества :

а) содержат только четные числа;

б) содержат, по крайней мере, одно нечетное число?

9. Сколько различных «слов» можно составить перестановкой букв в словах:

а) «вектор», б) «элемент»,

в) «математика».

10. Доказать комбинаторные тождества:

а) ; обозначают и

б) (указание: использовать метод производящих функций).

Пусть задана последовательность комбинаторных чисел  { }и последовательность функций  {  }    ( i = 0, 1, … }.

         Определение. Производящей функцией называется следующая функция

F(x) =.

            Пример.    ,    ( i = 0, 1, …, n ),       .

В этом случае в качестве производящей функции будет бином Ньютона, т.е.

F(x) =  ( 1 + x ) = .

Ответы: 1. 15. 2. а) 60, б) 10, в) 35, г) 125. 3. а) 120, б) 604800. 4. а) 1820, б) . 5. 15015. 6. 1440. 7. а) 512, б) . 8. а) 255; б) 65280. 9. а) 720, б) 2520, в) 151200.

Самостоятельная практика

11. а) Сколькими способами можно разместить n различных шаров по k различным коробкам, если в одну коробку можно поместить любое число шаров?

б) Сколькими способами можно разместить n различных шаров по k различным коробкам, если в одну коробку можно поместить не более одного шара? ()

в) Сколькими способами можно разместить n одинаковых шаров по k различным коробкам, если в одну коробку можно поместить не более одного шара? ()

г) Сколькими способами можно разместить n одинаковых шаров по k различным коробкам, если в одну коробку можно поместить любое число шаров?

Ответ: 11. а) , б) , в) , г) .

Домашняя работа № 2 по теме занятия 2 (теория+ задачи – всего заданий 7+ 3*+8)

Элементы комбинаторики. Подсчет числа элементов конечных множеств с использованием правила суммы, правила произведения и основных комбинаторных формул. Доказательство комбинаторных тождеств.

Обязательные задачи

1. В группе 20 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту, профорга и культорга?

2. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы числа 1,2,3 стояли рядом в порядке возрастания?

3. В группе 25 человек. Сколькими способами из них можно выбрать делегацию из 5 человек на конференцию?

4. Обычно наибольшее число очков на одной кости домино равно 12. Сколько костей содержала бы игра, если бы это число равнялось 18?

5. Сколькими способами на пять различных конвертов можно наклеить по одной марке, если на почте имеется 7 различных видов марок?

6. а) Сколько существует упорядоченных наборов из 0 и 1 длины n, которые одинаково читаются справа налево и слева направо?

б) Сколько существует упорядоченных наборов из 0 и 1 длины 12, i-ая координата которого при любом i не больше i-ой координаты вектора (011001000000)?

в) Пусть дан конкретный упорядоченный набор из 0 и 1 , у которого ровно k координат равны 0. Сколько существует упорядоченных наборов из 0 и 1 длины n, i-ая координата которых при любом i не больше i-ой координаты заданного набора?

7. Доказать комбинаторные тождества:

а) ; б) ; обозначение:

Ответы к заданиям: 1. 6840. 2. . 3. 53130. 4. 55. 5. 16807. 6. если n – четно, то ; если n – нечетно, то ; б) 8; в) .

Банк дополнительных задач на дом.

8* Доказать комбинаторное тождество . обозначение:

9*. Сколькими способами можно представить число 12 как упорядоченную сумму 4-х неотрицательных целых чисел?

10*. Найти число способов представления целого положительного числа k как упорядоченной суммы n неотрицательных целых чисел (задача Муавра).

Ответы к заданиям: 9. 455. 10. .

1 – 8. Л.2. 1.5 - 1.8, 1.21 – 1.24

1.5. Имеется два свитеpа, четвеpо бpюк и тpи паpы туфель. Каким числом способов можно одеться?

1.6. Сколько существует упоpядоченных последовательностей из 0 и 1 длины 5?

1.7. Пусть . Сколько подмножеств (включая пустое и само A) содеpжится в множестве A?

1.8. Пусть . Сколько подмножеств из 3–х элементов содеpжится в множестве A?

1.21. Сколько существует бинаpных отношений на множестве из 3-х элементов?

1.22. Сколько существует pефлексивных бинаpных отношений на множестве из 3-х элементов?

1.23. Сколько существует симметpичных бинаpных отношений на множестве из 3-х элементов?

1.24. Сколько существует антисимметpичных бинаpных отношений на множестве из 3-х элементов?

Ответы 1.5. 24-мя способами. 1.6. 32. 1.7. 32. 1.8.

1.21. 512. 1.22. 64. 1.23. 64. 1.24. 216.