1 Синтез комбінаційних схем.

У пристроях залізничної автоматики та телемеханіки, обчислювальної техніки, в тому числі у мікропроцесорах, існує багато комбінаційних схем (далі – КС). Під комбінаційними схемами розуміють логічні схеми, сигнал на виході яких у кожний момент часу визначається комбінацією вхідних сигналів у той же момент часу.

Синтез комбінаційних схем полягає у визначенні таких способів поєднання деяких найпростіших схем (кон’юнктор, диз’юнктор, елемент Пірса, елемент Шеффера, інвертор), названих логічними елементами, при яких побудований пристрій реалізує поставлену задачу з перетворення вхідної двійкової інформації.

Синтез комбінаційних схем поділяють на 4 етапи:

1. Утворення таблиці істинності для функції алгебри логіки (далі – ФАЛ) , яка описує роботу проектованої логічної схеми.

2. Утворення математичної формули для ФАЛ, що описує роботу схеми, яку синтезують, у вигляді досконалої диз’юнктивної нормальної форми (далі – ДДНФ) або досконалої кон’ктивної нормальної форми (далі – ДКНФ)(на підставі таблиці істинності).

3. Аналіз отриманої ФАЛ з метою побудови різних варіантів її математичного виразу та знаходження найкращого з них у відповідності з тим чи іншим критерієм . На цьому етапі здійснюється мінімізація ФАЛ.

4. Утворення функціональної (логічної) схеми пристрою з елементів, які складають вибраний базис.

1.1 Синтез комбінаційних схем в базисах

За завданням функція має вигляд:

F={1,5,6,7,12,13,15,17,19,21,25,26,27}x₁x₂x₃x₄x₅

Кількість різних наборів значень аргументів ФАЛ кінцева, слідуючи з цього, будь-яка ФАЛ може бути задана таблицею з 2nрядками. Зліва у таблиці (таблиця 1) проставляються номери рядків, потім набори значень аргументів функції, а справа – значення функції на кожному з наборів змін

Таблиця 1. Таблиця істинності для заданої ФАЛ

N	X1	X2	X3	X4	X3	F	N	X1	X2	X3	X4	X3	F
0	0	0	0	0	0	0	16	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	1	0	17	1	0	0	0	1	0
2	0	0	0	1	0	1	18	1	0	0	1	0	0
3	0	0	0	1	1	1	19	1	0	0	1	1	1
4	0	0	1	0	0	0	20	1	0	1	0	0	0
5	0	0	1	0	1	0	21	1	0	1	0	1	1
6	0	0	1	1	0	0	22	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	1	0	23	1	0	1	1	1	1
8	0	1	0	0	0	1	24	1	1	0	0	0	1
9	0	1	0	0	1	0	25	1	1	0	0	1	0
10	0	1	0	1	0	0	26	1	1	0	1	0	0
11	0	1	0	1	1	1	27	1	1	0	1	1	0
12	0	1	1	0	0	0	28	1	1	1	0	0	0
13	0	1	1	0	1	0	29	1	1	1	0	1	0
14	0	1	1	1	0	0	30	1	1	1	1	0	0
15	0	1	1	1	1	1	31	1	1	1	1	1	0

Для знаходження ДДНФ з таблиці вибирають тільки ті рядки, де стоять набори змінних, які перетворюють функцію в 1. Це 1-ий,5-ий,6-ий,7-ий,12-ий,13-ий,15-ий,17-ий,19-ий,21-ий,25-ий,26-ий,27-ий рядки. Виписують кон’юнкції, які відповідають вибраним рядкам. При цьому, якщо аргумент х _і входить до даного набору як 1, він записується в кон’юнкцію без змін. Якщо х_і входить до даного набору як 0, то у відповідну кон’юнкцію записується його заперечення. З’єднуючи кон’юнкції знаками диз’юнкції маємо:

F_ДДНФ=х₁х₂х₃х₄х₅+х₁х₂х₃х₄х₅+х₁х₂х₃х₄х₅+х₁х₂х₃х₄х₅+х₁х₂х₃х₄х₅+х₁х₂х₃х₄х₅+

х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅

Цю ж функцію можна записати у вигляді ДКНФ. Для цього із таблиці істинності вибирають набори аргументів, на яких значення функції дорівнює 0. Виписують диз’юнкції, які відповідають названим наборам аргументів. При цьому, якщо аргумент х_і входить у даний набір як 1, то у відповідну диз’юнкцію вписують його заперечення. З таблиці 1 для утворення ДКНФ можна записати диз’юнкції, які поєднуються між собою знаками кон’юнкції:

F_ДКНФ= (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

(х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

Вибір тієї чи іншої форми аналітичного запису визначається виглядом таблиці істинності функції. Якщо більшість значень нульові, то зручніше записувати її у вигляді ДДНФ, у протилежному випадку – у ДКНФ.

Для мінімізації ФАЛ, які залежать від невеликої кількості змінних (і<=6), знаходять широке застосування графічні методи. Найбільш поширеним серед них є метод карт Карно.

Карта Карно являє собою двокоординатну таблицю, в якій кожній клітинці поставленні у відповідність набори значень змінних логічної функції. Набори подані сусідніми клітинками, відрізняються значенням тільки однієї змінної. Сусідніми вважаються дві клітинки, які знаходяться поряд, та розташовані у одному стовпці або рядку. Нижня клітинка у будь-якому стовпці є сусідньою по відношенню до верхньої клітинки того ж стовпця, а права клітинка будь-якого рядка є сусідньою відносно лівої клітинки того ж рядка. Карта Карно має k=2ⁱ клітинок (і- кількість змінних даної ФАЛ) , що дорівнює кількості рядків у таблиці істинності функції, або ж- кількості одиничних наборів змінних ДДНФ і нульових наборів змінних ДКНФ, узятих разом.

Для мінімізації ФАЛ спочатку заповнимо карту Карно заданими одиничними наборами.(рисунок 1,рисунок 2) У карті Карно зручно використовувати для групування окремих одиничних наборів (кон’юктивних термів) у так званні “підкуби”, або об’єднання 2ⁿодиничних наборів(n=0,1,2,..).Підкуби утворюють з метою виключення однієї, двох або кількох змінних одиничного набору, бо при склеюванні кон’юктивних термів, які входять в будь-який підкуб, здійснюється виключення однієї або кількох змінних.

Утворення підкубів для отримання мінімального значення функції проводиться за таким правилом:

1) утворити двоклітинкові підкуби з наборів, які мають тільки одного сусіда;

2) із наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру (величини), які не перетинаються (якщо це можливо);

3) із наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру (величини), які перетинаються;

4) із наборів, які не мають жодного сусіда, утворити одноклітинкові підкуби;

5) закінчити утворення підкубів, якщо всі набори задіяні.

Дотримуючись першого пункту правила мінімізації, утворимо двоклітинкові підкуби (1,2,3,4,5) та визначимо їх вклади у мінімальну ФАЛ. Отримаємо кон’юктивний терм: х₁х₂х₃х₄+ х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄+ х₁х₂х₃х₄+ х₂х₃х₄х₅

Із наборів, що залишились, неможливо утворити підкуби максимального розміру (величини) , які не перетинаються. Тому пропускаємо другий пункт правила мінімізації. Однак із наборів, що залишились, можна організувати підкуби максимального розміру (величини), які перетинаються, що відповідає пункту 3 правила мінімізації. Внески чотириклітинкових підкубів в мінімальну ФАЛ такі: х₁х₃х₅+ х₁х₃х₅

Четвертий пункт правила мінімізації опускаємо, бо відсутні набори, що не мають жодного сусіда. За п’ятим пунктом правила закінчуємо процес утворення підкубів, бо усі набори задіяні.

Кінцевий вираз для F_МДНФвизначається як диз’юнкція внесків усіх підкубів:

F_МДНФ= х₁х₂х₄х₅+ х₁х₂х₃х₅+ х₁х₂х₃х₄+ х₂х₃х₄х₅+ х₁х₃х₄х₅+ х₁х₂х₄х₅

Використовуючи теорему Де Моргана, можна привести одержану МДНФ до вигляду:

F_МДНФ= (х₁+ х₂ +х₄ +х₅)+( х₁ +х₂ +х₃ +х₅ )+( х₁ +х₂ +х₃ +х₄ )+(х₂ +х₃ +х₄ +х₅ )+

+(х₁ +х₃ +х₄ + х₅ )+(х₁ +х₂ +х₄ +х₅ )=

(х₁ +х₂ +х₄ +х₅ )+( х₁ +х₂ +х₃ +х₅ )+( х₁ +х₂ +х₃ +х₄ )+( х₂ +х₃ +х₄ +х₅ )+(х₁ +х₃ +х₄ +х₅ )+

+(х₁ +х₂ +х₄ + х₅ ) = 45 ел. = 11 ¼ корп.

Для отримання мінімальної КНФ в підкуби об’єднуються не одиничні , а нульові набори заданої ФАЛ за описаним вище правилом. Внески підкубів у мінімальну КНФ записують у вигляді диз’юнктивних термів, зв’язаних знаком кон’юнкції. Диз’юнктивний терм містить у собі диз’юнкцію змінних для відповідного набору, при цьому змінні набору беруться в інверсному вигляді.

Для отримання МКНФ використовуємо правило мінімізації, можна утворити сім двоклітинкових та два чотириклітинкових підкуби. Їх внески в мінімальну ФАЛ будуть являти собою диз’юнктивні терми, об’єднанні знаком кон’юнкції:

F_МКНФ=(х₂+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₃+х₄+х₅)(х₁+х₂)(х₂+х₃+х₅)(х₂+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₃+х₄+х₅) (х₁+х₂)

Беручи подвійне заперечення та застосовуючи до нього теорему Де Моргана, отримаємо:

F_МКНФ= х₂х₃х₄х₅·х₁х₃х₄х₅·х₁х₃х₄х₅·х₁х₂·х₂х₃х₅·х₂х₃х₄х₅·х₁х₃х₄х₅·х₁х₂

У базисі Шеффера схема, яка відповідає отриманій МДНФ, реалізується за допомогою 11-ти елементів І-НІ, а МКНФ за допомогою 15-ти елементів І-НІ. Відповідну схему зручніше реалізовувати за допомогою 11-ти елементів І-НІ.

Схема 1.

1.2 Синтез комбінаційних схем на мультиплексорахДо складу різних інтегральних мікросхем, які використовуються в пристроях залізничної автоматики, є елементи середньої степені інтеграції-комутатори (мультиплекс ори). Наприклад: КІ55КПІ,КІ55КП5,КІ55КП7 та інші. Коммутатор це багатовходовий логічний елемент із одним виходом. При подачі на управляючі входи відповідного сигналу у вигляді двоїчного коду до виходу коммутатора підключається один із його інформаційних входів.

За завданням функція має вигляд:

F=х₂х₃+х₄(х₅+х₁)+х₂+х₅

Для реалізації ФАЛ на коммутаторі необхідно:

1. Скласти таблицю істинності ФАЛ,

2. Сигнали, відповідні і-1 змінним (і= кількість змінних), подати на управляючі входи коммутатора,

3. На інформаційні входи коммутатора, відповідно таблиці істинності ФАЛ, подати сигнали з множини {0,1,X_i,X_i}.

F=х₂х₃+х₄х₅+х₁+х₂+х₅= х₂х₃+х₄х₅х₁+х₂х₅

F_СДНФ=(х₁+х₁)х₂х₃(х₄+х₄)(х₅+х₅)+х₁(х₂+х₂)(х₃+х₃)х₄х₅+(х₁+х₁)х₂(х₃+х₃)(х₄+х₄)х₅=х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅+ х₁х₂х₃х₄х₅

Таблиця 2. Таблиця істинності для ФАЛ

N	X1	X2	X3	X4	X5	F	K4-1	N	X1	X2	X3	X4	X5	F	K4-1
0	0	0	0	0	0	1	B0=1	0	0	0	0	0	0	1	B0=1
1	0	0	0	0	1	1		1	0	0	0	0	1	1
2	0	0	0	1	0	1	B1=1	2	0	0	0	1	0	1	B1=1
3	0	0	0	1	1	1		3	0	0	0	1	1	1
4	0	0	1	0	0	0	B2=0	4	0	0	1	0	0	0	B2=0
5	0	0	1	0	1	0		5	0	0	1	0	1	0
6	0	0	1	1	0	0	B3=0	6	0	0	1	1	0	0	B3=0
7	0	0	1	1	1	0		7	0	0	1	1	1	0
8	0	1	0	0	0	0	B'0=0	8	0	1	0	0	0	0	B'0=0
9	0	1	0	0	1	0		9	0	1	0	0	1	0
10	0	1	0	1	0	0	B'1=0	10	0	1	0	1	0	0	B'1=0
11	0	1	0	1	1	0		11	0	1	0	1	1	0

Побудуємо схему на комутаторах

Схема 2.

Цю функцію ми можемо реалізувати на п’яти комутаторах.

Коммутатор - це багатовходовий логічний елемент з одним входом. Входи коммутатора поділяються на інформаційні, стробуючі та керуючі. На перші чотири комутатора ми подаємо на стробуючі входи константу (1),на керуючі х₃х₄,на інформаційні входи- х₅. На п’ятий комутатор,який знаходиться на виході, ми подаємо на стробуючі входи константи (1),на керуючі- х₁х₂,на інформаційні-виходи чотирьох комутаторів.

Схема 3