1. Содержание работы

Система на рис. 1 задана в виде логической схемы соединения подсистем. При этом считают, что подсистема работоспособна, если ее выход связан с входом. Другими словами, если связь отсутствует (существует обрыв), подсистема неработоспособна. Это относится и к системе в целом. Подобная схема замещения эквивалентна электрической цепи: если по ней протекает ток, система работоспособна, если цепь оборвана – система отказала.

Рисунок 1. Логическая схема работы системы

Для каждой подсистемы задан закон распределения времени, в течение которого подсистема работоспособна.

1. Экспоненциальное распределение с параметром =1/20 1/час;

2. Симметричное треугольное распределение , заданное на отрезке с=2 часа, d=18 часов; одно случайное число, распределенное по этому закону, может быть получено как сумма двух случайных чисел с равномерным законом на интервале [c/2, d/2];

3. Нормальное распределение с параметрами m=16 часов, σ=2 часа;

4. Равномерное распределение с параметрами a=2 часа, b=14 часов;

5. Нормальное (усечено-нормальное) распределение с параметрами m=12 часов, σ=2 часа;

6. Экспоненциальное распределение с параметром =1/10 1/час;

7. Равномерное распределение с параметрами a=1 час, b=29 часов.

Требуется по этим данным построить имитационную модель функционирования системы и с ее помощью определить следующие характеристики системы как целого:

1. закон распределения времени безотказной работы всей системы :

   1. Смоделировать реализаций случайного процесса функционирования системы для различных значений и получить таким образом ряд значений ;

   2. Полученный ряд сгладить непрерывной функцией по методу наименьших квадратов;

2. среднее время безотказной работы системы;

3. вероятность того, что система не откажет в течение заданного промежутка времени (значения границ выбрать самостоятельно);

4. построить графики законов распределения времени безотказной работы подсистем (для этого модель не требуется), сравнить с результатом п. 1) и провести сравнительный анализ безотказности системы и ее подсистем.

2. Теоретический материал

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование – воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функционирования исследуемой системы с соблюдением логической и временной последовательности реальных событий.

При имитационном моделировании тип и структура моделирующего алгоритма обусловлены не типом уравнений и не применяемым для их решения численным методом, а имитацией реальных явлений с сохранением их логической структуры, временной последовательности и состава информации о состояниях процесса.

Рассмотрим, как проводится имитационное моделирование. Для этого возьмем в качестве примера систему из трех подсистем (блоков), которая изображена на рис.2.

Рисунок 2. Пример системы из трех блоков

Система функционирует нормально, если исправен хотя бы один из блоков 1 и 2, а также исправен блок 3. Функции распределения времени безотказной работы блоков известны. Требуется найти вероятность безотказной работы системы в момент времени .

Решение «в лоб»

Если время работы системы , а – время безотказной работы элемента с номером , то:

• событие означает исправную работу элемента за время;

• событие означает отказ элемента к времени

Заметим, что - случайная величина, распределенная по закону , который известен по условию.

Моделирование случайного события «исправная работа го элемента за время заключается:

1. в получении случайного числа , распределенного по закону ;

2. в проверке истинности логического выражения . Если оно истинно, то -й элемент исправен, если ложно – он отказал.

Для моделирования фиксированного момента времени используют следующий алгоритм:

1. Положить . В данном случае - счетчик числа реализаций случайного процесса, а - счетчик числа «успехов».

2. Получить три случайных числа , распределенных соответственно по законам .

3. Проверить истинность логического выражения:

Если , то положить и перейти к шагу 4, иначе просто перейти к шагу 4.

4. Положить .

5. Если , то перейти к шагу 2, иначе вычислить и вывести . Здесь - число реализаций случайного процесса, от которого зависят точность и достоверность результатов.

6. Стоп.

Значение необходимо задавать по соображениям обеспечения точности о достоверности статистической оценки искомой величины . Данное значение рекомендуется задать в промежутке .

Данное решение можно упростить, изменив способ получения случайных чисел. Для этого воспользуемся методом обратных функций.

Метод обратных функций

Существует лемма, которая гласит: Если случайная величина имеет плотность распределения , то случайная величина имеет равномерный закон распределения на интервале , т.е.

Также существует теорема. Пусть - функция распределения некоторой случайной величины – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале . Тогда случайная величина , где - обратная функция , подчиняется закону распределения .

Исходя из этого, случайное число , подчиняющееся закону , определяют по формуле: .

Решение с помощью обратных функций

Если учесть, что на практике функция – монотонно возрастающая, то можно для заданного времени безотказной работы найти значения .

Тогда проверка работоспособности элементов сведется к проверке условия , где - равномерно распределенное на промежутке случайное число, - номер элемента, - номер очередной реализации случайного процесса.

Это равносильно условию , причем процедура вычисления обратной функции здесь не требуется.

Можно также существенно упростить логическое выражение, если перейти от события «безотказная работа системы» к событию «отказ системы». Отказ системы означает истинность выражения

С учетом данных упрощений, алгоритм принимает следующий вид:

1. По заданному времени безотказной работы вычислить

2. Положить .

3. Получить три равномерно распределенных на случайных числа

4. Проверить истинность логического выражения

Если оно истинно, то положить и перейти к шагу 5, иначе просто перейти к шагу 5.

5. Положить .

6. Если , то перейти к шагу 3, иначе вычислить и вывести .

7. Стоп.

При построении закона распределения эти действия необходимо повторять последовательно для всех значений t от 0, пока , т. е до момента, когда вероятность безотказной работы опустится до значения 0.

Сглаживание функции

Метод наименьших квадратов

Пусть имеется значений некоторой переменной и соответствующих переменных . Задача заключается в том, чтобы взаимосвязь между и аппроксимировать некоторой функцией , известной с точностью до некоторых неизвестных параметров , то есть фактически найти наилучшие значения параметров , максимально приближающие значения к фактическим значениям .

Фактически, это сводится к случаю «решения» переопределенной системы уравнений относительно :

В регрессионном анализе используются вероятностные модели зависимости между переменными , где – случайные ошибки модели.

Соответственно, отклонения наблюдаемых значений от модельных предполагаются уже в самой модели. Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие параметры , при которых сумма квадратов отклонений будет минимальной: , где .

В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном методе наименьших квадратов. Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции R S S ( b ) {\displaystyle RSS(b)}, продифференцировав её по неизвестным параметрам b {\displaystyle b}, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:

Преобразовав данное уравнение, получим:

Перепишем систему в виде:

В итоге получилась система уравнений, которую можно решить, например, методом Крамера.

Метод Крамера

Мы можем использовать данный метод, поскольку, в данном случае, имеется система уравнений с неизвестными, и каждый элемент отличается от нуля.

Cистему уравнений нужно записать в виде произведения матриц:

Найдем определитель данной матрицы (). Для этого нужно привести матрицу к треугольному виду, затем перемножить элементы главной диагонали.

Элементы можно найти следующим образом:

где j-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов.

Получение полинома

После решения системы методом Крамера, необходимо подставить найденные значения в полином вида:

Среднее время работы системы

В теории надежности под этим термином понимается математическое ожидание времени исправной работы системы:

Практически, среднее время исправной работы системы равно:

где - количество испытаний над системой.

Вероятность работы системы на промежутке времени

На промежутке времени , вероятность работы системы определяется как отношение вероятности работы за позднее время к вероятности работы за раннее время:

где – вероятность работы системы за время .