3. Умножение

Пр-ем комплексных чисел z1 b z2 называется такое комплексное число

Пр-р:

Если к.ч. , то

4. Деление.

такое к.ч. , что

определения деления сводится к определении умножения.

Пример:

5. Возведение к.ч. в целую степень.

(IV)

6. Возведение к.ч. в дробную степень извлечения корня.

Имеются n различных к.4. Zк, кат. имеют 1 и тот же модуль , а их аргументы

Все эти к.ч. лежат на окружности радиусом в вершинах правильногоn-угольника, вписанного в эту окружность(n>=3). При n=2- на концах диаметра этой окружности.

Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).

Функция вида, гдеZ комплексная пер-я ­– действит. Числа наз. Многочленом или рациональной функцией или полиномом.

Корнем многочлена f(z) называется такое значение z=z₀, при котором

Теорема Безу: При делении многочлена на разность, в остатке получается постоянная R.

Действительно, при делении многочленана, частным будет многочленстепени, т.е. справедливо представление:Это выражение верно при любом. Приполучим, что и требовалось доказать.

Следствие : При делении многочлена на разность, где-корень многочлена , то он делится набез остатка.

Действительно, если - корень многочленаn-ой степени, т.е. , то

Основная теорема алгебры: Любой многочлен n-ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Рассмотрим мн-н

Пусть – корень мн-на, тогда по следствию из т-мы Безу, где–мн-н (n-1) степени => по осн. т-ме алгебры 0 имеет корень по следствию из т-мы Безу имеем, где– мн-н нулевой степени, т.е.

Итак, любой мн-н n-ой степени (ненулевой) раскладывается на линейные мн-ли вида , где– корень мн-на и мн-ль=коэфф-ту при

Среди множители м.б. одинаковые => разложение= в общем виде будет иметь вид:

1) , где– кратности корней– соотв-но причём

Более того, среди корней м.б. комплексными. Т.к.– дествит. числа, то если– корень мн-на, то итакже корень мн-на, т.к.в разложениим.б. произведения, где имеет действ. корней. Учитывая это разложение1 принимает вид:

2) , гдеи

Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).

1. Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям:

Условие: тело массой m, падает на поверхность земли с высоты h, найдем закон движения υ(x): в нашем случаеm=const, проектируя это уравнение на ось ОХ получим:

где ; или- дифференциальное уравнение 1^го порядка.

Дифференциальное уравнение 1^го порядка: Уравнения, связывающее независимую переменную х, функцию у, и ее производную т. е. уравнение виданазывается дифференциальным уравнением первого порядка (обыкновенные). Порядок дифференциального уравнения определяется порядком производных.Примечание: Обыкновенные дифференциальные уравнения связывает независимую переменную х функцию у и ее производные до n-го порядка включительно и записывают . Решение дифференциального уравнения называют такую функциюкоторая будучи подставлена в дифференциальное уравнение(1) обращает его в тождество. Если дифференциальное уравнение (1) можно разрешить относительно производной то его называют дифференциальным уравнением первого порядка разрешенным относительно производной и записывают. Для уравнения(3) справедлива теорема о существовании и единственности его решения: Если для дифференциального уравнения функцияи ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D на плоскости ОХY содержащей некоторую точку с координаты , то существует и притом единственное решения дифференциального уравненияудовлетворяющая условиюпри этом условиеназывается начальным условием для дифференциального уравнения(3). Геометрический смысл начального условия: Если y=y(x) решение дифференциального уравнения, то кривая описывающая этим решение проходит через точку (x₀,y₀=y(x₀)). Функция называют общим решением дифференциального уравнения(3) если: 1. она удовлетворяет при любом с дифференциального уравнения (3). 2. для данного начального условия существует такое значениес=с₀, что . Общим интегралом дифференциального уравнения(3) называют общее решение задаваемое не явно в виде уравнения в частности общее решениеможно записать в виде общего интеграла. Частым решение называют общее решение при частном значении параметрас=с₀ т. е. - частное решение. Частный интеграл это общий интеграл при частном значениис=с₀ т. е. частный интеграл.Геометрический смысл общего решения (общего интеграла): общее решения дифференциального уравнения(3) описывает семейство кривых на плоскости ОХY . Аналогично общий интеграл – семейство кривых на плоскости OXY. Частный интеграл (частное решение) описывает ту кривую на плоскости OXY из семейства кривых, которая проходит через точку с координаты . Решить дифференциальное уравнение это значит: 1. найти его общее решение (или общий интеграл). 2. найти частное решение (или частный интеграл) если заданно начальное условие. В этом случае говорят – решить задачу Коши.