Добавил:
kostikboritski@gmail.com Выполнение курсовых, РГР технических предметов Механического факультета. Так же чертежи по инженерной графике для МФ, УПП. Писать на почту. Дипломы по кафедре Вагоны Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры по вышке / вышка шпоры 2 семестр / шпоры вышка 1-33 и неск билет.doc
Скачиваний:
55
Добавлен:
31.10.2017
Размер:
6.86 Mб
Скачать

Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)

Интегралы вида: , гдеR- рациональная дробь по и. Здесь

производим замену ():

а). a>0 и D>0 т. е. не имеет действительных корней, тогда:рационализируются т. е. сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой:

т. е. рационализируются.

б. a>0 и D<0 т. е. имеет действительные корни. В этом случаеи рационализируются интеграл подстановкой

т. е. рационализируется.

в. a<0 и D>0 тогда at2+D=α2-t2 рационализируются подстановкой: t=αcosZ и t=αsinZ

т. е. рационализируется.

Замечание: Кроме указанных тригонометрических подстановок могут использоваться и другие подстановки, а именно гиперболические.

а. a>0 и D>0 Используем подстановку получаем:

(т. к. )

б. a>0 и D<0 Используем подстановку получаем:

. В этом случае лучше всего делать тригонометрические подстановки: t=αcosZ и t=αsinZ

Замечание № 2: Кроме тригонометрических подстановок используют: используют подстановки Эллера (1,2,3 подстановки).

1 подстановка Эллера: Если a>0, то делают подстановку

2 подстановка Эллера: c>0, тогда

3 подстановка Эллера: Если имеет действительные корни α и β то делают подстановкуилии находятx и dx.

Замечание № 3: Существуют и другие классы интегралов от рациональных функций которые не всегда рационализируется а выражение в виде специальных функций к ним относятся эллиптические интегралы.

Определенный интеграл и его свойства (11)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] разобьем отрезок [a,b] точками x0=a, x1 …, xn=b на n частичных отрезков [xi-1, xi], i=1,…,n, обозначим через длинна отрезка на каждом отрезков[xi-1, xi] выберем произвольно составим суммуи назовем интегральной суммой для функцииf(x) на [a,b].

Площадь этой ступенчатой фигуры равна . Так какf(x)-непрерывная функция на отрезке [a,b] то она и ограничена на [a,b] следовательно она ограничена и на каждом отрезке [xi-1, xi] т.е. существует mi, Mi, что дляi=1,…, n следовательно при>0, а следовательно(нижняя интегральная сумма,верхняя интегральная сумма).Опр. Если существует предел интегральных сумм , когдато этот предел называется определенным интегралом от функцииf(x) на отрезке [a,b] и образует .

Итак по определению и этот предел не зависит как от способа разбиения отрезка[a,b] точкой xi на частичные отрезки [xi-1, xi], так и от выбора точек в них.

частные случаи интегральной суммы . Численно прина[a,b] равен площади криволинейной трапеции ограниченной снизу осью абсцисс, сверху кривойf(x) с право кривой x=b, слева кривой x=b.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь кривой трапеции.

Свойства определенного интеграла.

1.2.3.4.5.при условии что интегралы существуют. 6. Если для любого то и

7. Если f(x) непрерывна на [a,b], то (следует из непрерывности функции).

7. Свойство аддитивности:

Для любых чисел a,b,c

при условии, что эти существуют. (т.е.– непрерывна на каждом из отрезков).

Действительноно, если а<c<b, то из определения определенного интеграла

a<b<c

Аналогично c<a<b