Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

где а₁,…,a_n = const. Его решения могут быть найдены в два этапа:

Первый этап. Находят общее решение

Второй этап. Находят частное решение y^*методом вариации произвольных постоянных, т.е. общее решение неоднородного дифференциального уравнения

однако в некоторых случаях частное решение у^*можно найти по виду функцииf(x). Рассмотрим на примере неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. гдеP_n(x) – многочленn-ного порядка,a– действительное число.

а) если (а)0 т.е. ани одному корню характеристического уравнения тогдеS_n(x) – многочлен той же степениn.

б) если (а) = 0 т.е. а совпадает с одним из корней характеристического уравнения и имеет кратности (r=1 или 2) тогда далее поступать, как и пункте а).

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.

, где - непрерывные функции переменнойх или const.

Свойства:

(1). Если решения однородного дифференциального уравнения(2) то их линейная комбинация с произвольными числами , т. е. выражениетакже является решением дифференциального уравнения(2). Доказательство: Доказательство проведем для случая n=2, т. е. докажем что если у₁ и у₂ – решения дифференциального уравнения тотакже решения однородного дифференциального уравнения. Т. к.у₁ и у₂ – решения дифференциального уравнения тои. Покажем, чтоудовлетворяет также однородному дифференциальному уравнению т. е.

или

. Аналогично доказывается и в общем случае n>2.

Введем понятие линейно независимых и линейно зависимых функций и понятие вронскиана нескольких функций. Функции называются линейно независимыми на[a,b], если линейная комбинация , только если. Противном случае называется линейно зависимыми. В частности дляn=2, у₁ и у₂ – линейно независимы если прилинейно зависимы еслипри- линейно зависимые и если,любое действительное числото они линейно независимы.

Вронскиана функции называется определитель, в частностисвойства вронскиан: - Если функции линейно зависимы на[a,b] то их вронскиана =0 на [a,b]: для n=2; ина отрезке[a,b].

• Если функции - линейно независимы на отрезке[a,b], то их вронскиан на[a,b].

(2) Если - линейно независимые решения дифференциального уравнениято общее его решениеу₀ дается выражением , где- любые числа.Доказательство: Доказательство проведем для случая n=2, т. е. для дифференциального уравнения докажем чтообщее решения.(а) – решение дифференциального уравненияпо свойству(1). (б) Докажем, что общее решение однородного дифференциального уравнения т. е. удовлетворяет произвольным начальным условиям т. е.отсюда следуетэта система двух линейных неоднородных уравнений имеет единственное решение, если ее определитель, т. к.и - линейно независимы в точке х₀, таким образом общая структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид

, если линейно независимые решения.