Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.

. Для его решения вначале находят общее решение однородного уравнения затем находят частное решение неоднородного, тогда общее решение неоднородного уравнения представляют в виде суммы решений однородного и частного неоднородного т. е. , гдеу₀ – общее решение однородного дифференциального уравнения, у* - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Теорема: Если есть общее решение однородного дифференциального уравнения, ау* - частное решение неоднородного дифференциального уравнения то общее решениеу неоднородного дифференциального уравнения представляется в виде суммы этих уравнений, т. е. .Доказательство: Доказательство проведем для случая n=2, - общее решение однородного дифференциального уравнения, ау* - частное решение неоднородного дифференциального уравнения .(а) Докажем, что решение неоднородного дифференциального уравнения следовательно

или

(т.к. - у₀ – общее решение однородного дифференциального уравнения, а - у* частное решение неоднородного дифференциального уравнения). .(б) Докажем, что у=у₀+у* общее решение неоднородного дифференциального уравнения т. е. удовлетворяет произвольным начальным условиям отсюда следует

или

эта система двух линейных неоднородных уравнений имеет единственное решение, если ее определитель , в точкех₀ , т.к. и - линейно независимы. Общих методов нахождения всех линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения не существует исключения составляет только однородные дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами если же общее решение однородного дифференциального уравнения известно , то общее решение неоднородного дифференциального уравнения (а следовательно иу*) может быть найдено методом вариаций произвольных постоянных, для этого общее решение неоднородного дифференциального уравнения ищут в виде , далее находяти накладывают(n-1) дополнительных условий связывающие функции и подставляют производные, в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Объединяя полученные(n-1) дополнительных условий связывающие функции и последнее выражение, получают системуn линейных уравнений относительно функций и решая которую находят функцию. Интегрирую подставляя внаходят общее решение. Выпишем систему:

, эта система имеет единственное решение. Докажем для случая n=2:

и проинтегрируем полученное выражение: отсюда находимподставляемв неоднородное дифференциальное уравнения:

следовательно мы получаем: Из(*) и (**)

Замечание: Система (3) и (4) имеет смысл если коэффициент при в неоднородном дифференциальном уравнении равен 1.

Замечание: Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения функция f(x) представляет собой сумму нескольких функций т.е. например , то частное решениеу* соответствующей функции f(x) имеет также в виде у*=у₁*+у₂*, где у₁* соответствует правой части f₁(x),а у₂* соответственно f₂(x) (следует линейность дифференциального уравнения).