В помощь аспиранту / Grishchuk - Osnovi nauchnikh issledovaniy 2011

бы наилучшими, поэтому в качестве критерия обычно рассматривают ка- кую-то одну реакцию объекта, а остальные отклики рассматривают как ограничения, накладываемые на условия проведения экстремального эксперимента.

В тех случаях, когда важными являются несколько реакций, приходиться прибегать к компромиссу – выбирать комплексный критерий:

Весовые коэффициенты α k обычно назначают путем экспертных оценок и носят в значительной мере субъективный характер.

При проведении планируемых экспериментов факторы дискретизируют, причем каждый из факторов может принимать одно из нескольких дискретных значений, т.е. находиться на одном из нескольких уровней.

Фиксированный набор уровней факторов (каждый фактор находиться на некотором уровне) определяет одно из возможных состояний объекта «черного ящика».

Все возможные наборы уровней факторов образуют полное множество состояний объекта.

Сложность (показатель сложности) объекта определяется числом его возможных состояний n:

где Pj – количество уровней j-го фактора.

При P1 = P2 = … = Pm = P, т.е. при одинаковом количестве уровней варь-

31

Проведение планируемых экспериментов возможно, если объект обладает следующими свойствами:

1.Воспроизводимость результатов. Мерой воспроизводимости является разброс (дисперсия) отклика, определенного несколько раз при одном состоянии через неравные промежутки времени.

2.Управляемость объектом, т.е. возможность проведения активного эксперимента, предполагающего возможность назначения в каждом опыте требуемых уровней факторов.

2.3.2. Требования к откликам и факторам

В теории планирования эксперимента предполагается, что функция отклика является непрерывной, гладкой и имеет не более одного экстремума в области определения факторов, т.е. моноэкстремальной.

Рис. 2.2 иллюстрирует указанное положение для однофакторного эксперимента в области определения фактора х от хmin до хmax. Вне этого интервала поведение объекта не изучается.

Рисунок 2.2 – Зависимости y = f(x)

Кривая 1 не удовлетворяет условию непрерывности, кривая 2 – условию гладкости (первая производная претерпевает разрыв). Кривая 3 имеет не-

32

сколько экстремумов и также не удовлетворяет перечисленным выше требованиям.

Функции 4 и 5 могут удовлетворять сформулированным требованиям, так как кривая 4 монотонна, а кривая 5 имеет единственный экстремум в интервале [хmin ; хmax].

Если предварительное изучение объекта показывает, что эти условия не выполняются на выбранном интервале изменения фактора, что можно судить по области определения и рассматривать каждый из интервалов самостоятельно.

Отклик обязательно должен быть количественным, т.е. задаваться числом.

Множество значений, которые может принимать отклик, называется областью его определения.

Отклик должен быть однозначным в статистическом плане. Это означает, что заданному состоянию объекта должно соответствовать одно (с точностью до ошибки эксперимента) значение отклика.

Отклик должен иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым и существовать для всех возможных состояний объекта.

Основные требования, предъявляемые к факторам, заключаются в сле-

дующем:

1.Каждый фактор имеет область определения. В задачах планирования эксперимента используют дискретные области определения;

2.Факторы могут быть не только количественными, но и качественными. Для оценки качественных факторов используют ранговый подход;

3.Факторы должны быть управляемыми, тогда можно ставить активный эксперимент. Планировать можно только активный эксперимент;

4.Точность замера факторов должна быть по возможности высокой;

5.Факторы должны быть независимыми друг от друга;

6.Совокупность факторов должна быть совместимой.

2.3.3. План эксперимента

Планы экспериментов принято изображать в виде таблиц (матриц), содержащих условия проведения опытов. Обычно в эту же таблицу вводят и

33

результаты опытов. План m-факторного эксперимента, состоящего из n опытов, приводится ниже в табл. 2.1.

В первой колонке таблицы записывают номер опыта. Затем следуют ко-

После проведения очередного опыта заполняются соответствующие клетки колонок результатов y1, y2, … , y s.

При проведении планируемых экспериментов отвергается традиционный подход, заключающийся в пофакторном варьировании условий опытов при переборе всех возможных состояний объекта. Особенностями планируемых экспериментов являются:

1)стремление к минимизации числа опытов;

2)одновременное варьирование всех факторов;

3)использование специального математического аппарата, основанного на принципе ортогональности, методе наименьших квадратов, теории вероятностей и математической статистике, а также численных методах оптимизации.

34

Основные принципы построения планов экспериментов, а также соответствующий математический аппарат будут изложены ниже.

2.4. Определение математических моделей методом наименьших квадратов (МНК)

В качестве модели объекта, как указывалось выше, для планирования эксперимента принимают отрезки степенных рядов – полиномы.

Таким образом, при определении модели объекта возникают два вопроса: во-первых, каков должен быть порядок полинома и как вычислить его коэффициенты. Порядок полинома обычно назначают исходя из характера сечений поверхности отклика и как правило ограничиваются первым или вторым порядком, а коэффициенты полинома определяют при помощи метода наименьших квадратов (МНК). Отметим, что МНК может применяться и в тех случаях, когда функцию отклика требуется аппроксимировать не полиномом.

Пусть имеется некоторая функция m переменных

Зададимся некоторым набором параметров а1, а2, …, ак, а также значениями независимых переменных, соответствующих координатам i-й точки.

35

Вычислим разность:

где yi – значение функции y в i-й точке.

Эта разность называется невязкой для функции (2.6) в точке. Невязки могут быть вычислены в любой из n точек, где задана функция y , и для любого набора параметров. Очевидно, нужно стремиться выбрать такой набор параметров α1 , α 2 ,…, α k , при котором уравнение (2.6) наилучшим образом аппроксимирует значения функции y. В качестве критерия наилучшей аппроксимации может быть взят наибольший модуль невязки

или сумма модулей невязок

или сумма квадратов невязок

Во всех трех случаях функция σ не может быть отрицательной и имеет не менее одного экстремума. Наиболее удобным для вычислений является критерий (2.11). Если воспользоваться этим критерием, то наилучшую аппроксимацию будет обеспечивать такой набор параметров, при котором достигает минимума (т.е. станет наименьшей) сумма квадратов невязок. Поэтому аппроксимация при помощи данного критерия называется аппроксимацией по методу наименьших квадратов.

36

Критерий σ можно рассматривать как функцию k переменных: α1 , α 2 ,…, α k , причем экстремум этой функции определяют путем решения системы уравнений

Подставив в систему (2.12) выражение критерия из (2.11), с учетом (2.7) и (2.8) после простых преобразований получим систему уравнений вида:

решению системы уравнений (2.13). В общем случае данная система является трансцендентной и ее решение в общем виде затруднительно, однако, когда функция y(×) представляет собой полином, данная система, как это будет показано ниже, является системой линейных алгебраических уравнений, методы решения которой, хорошо известны.

2.4.1. МНК для функции одной переменной

Допустим, в результате однофакторного эксперимента получено n значений отклика (табл. 2.2).

37

Рассмотрим пример применения МНК для определения неизвестных коэффициентов математической модели с одной переменной х. Уравнение функции отклика неизвестно. Будем искать это уравнение в виде полинома m-го порядка:

Данный полином содержит m + 1 неизвестный коэффициент. Функция представляет собой сумму

вкоторой параметрами являются коэффициенты bj.

Сучетом того, что ∂ϕ ∂b j = x j , а также принимая во внимание (2.13) и

(2.15), получим систему уравнений для определения коэффициентов bj

Поменяем знаки в системе (2.17) на противоположные, перенесем первую сумму в правую часть и вынесем коэффициенты b0, b1,…, bm из-под знака суммы. Тогда получим:

38

Суммы, входящие в систему (2.18), есть постоянные числа, поэтому (2.18) является системой линейных алгебраических уравнений. Можно доказать, что уравнения данной системы являются линейно зависимыми при n ≤ m . Таким образом, система (2.18) может иметь единственное решение только в случае, если число опытов n больше порядка полинома m. Это условие, однако, является необходимым, но недостаточным.

Рассмотрим, в качестве примера обработку однофакторного эксперимента, результаты которого приведены в табл. 2.3 и на рис. 2.3 [22].

X

0

Рисунок 2.3 – Результаты однофакторного эксперимента

Число опытов n равно 10, порядок полинома m примем равным единице, число неизвестных коэффициентов равно двум. Таким образом, система уравнений для определения коэффициентов b0 и b1 имеет вид:

39

Учитывая, что xi0 = 1, получим

Для накопления сумм, входящих в последнюю систему уравнений, удобно использовать таблицу результатов эксперимента, которую транспонируют (строки заменяют столбцами) и дополняют двумя колонками, в одной из которых записывают квадрат фактора xi2 , а в другой произведение yi xi . Кроме того, таблицу дополняют строкой, в которой записывают суммы элементов столбцов (табл. 2.4).

С учетом полученных значений сумм система уравнений приобретает такой вид:

10b0 + 32b1 = 2932b0 + 144b1 = 73

Решение этой системы следующее:

b0 = 4,4 ; b1 = −0,476 .

Таким образом, мы можем записать уравнение функции, описывающей результаты эксперимента в таком виде

y = 4,4 − 0,476x

40