Отечественные рутениевые терапевтические источники бета-излучения_Тимофеев_Л.В

Сигнальный экземпляр

111

Сигнальный экземпляр

В.В. Бочкарёв, Н.А. Комаров, Г.Б. Радзиевский, Л.В. Тимофеев

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГЛОЩЁННОЙ ЭНЕРГИИ ОТ ИСТОЧНИКОВ β−ИЗЛУЧЕНИЯ

В ТКАНЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ СРЕДАХ […]

При использовании β−излучающих изотопов в радиобиологии и медицине часто возникает необходимость в определении поглощённой энергии (дозы) в биологических тканях. Во многих случаях дозное поле протяжённых источников β−излучения в тканеэквивалентных средах можно корректно вычислить путём интегрирования произведения плотности активности на так называемую функцию влияния точечного источника (ФТИ). Эта функция описывает распределение дозы от точечного изотропного источника в безграничной однородной по плотности и эффективному атомному номеру среде.

В настоящее время общепринятой является наиболее физически обоснованная аппроксимация ФТИ, предложенная Левинджером:

ψ (r) = {c[1-e1-(vr/c)]+vre1-vr}[1-e1-(vr/c)]=0, При r≥,

где ψ (r)− доза (например, в rad на 1 β−частицу) на расстоянии r от источника, v-эффективный коэффициент поглощения , К- нормировочный множитель, с-безразмерный параметр, зависящий от граничной энергии β−спектра (подробнее см. Дж. Хайн и Г. Браунелл).

Использования в расчётах формул ( Дж. Хайна и Г. Браунелла) в ряде случаев не обеспечивает необходимой точности. Одна из причин этогосравнительная узость того диапазона граничных энергий, для которого были подобраны формулы (1) и входящие в них параметры. В частности, не может считаться правомерным применение этих формул для расчёта дозных полей от таких широко используемых изотопов, как H3,C14,Ru106+Ru106,K42. Далее, сам вид функциональной зависимости, предложенный Левинджером для ФТИ, физически недостаточно обоснован, так как различия в форме спектральных распределений (при близких граничных энергиях) не должны здесь сказываться на форме дозных кривых. Кроме того, формулы Левинджера не всегда правильно описывают энерговыделение вблизи исчтоника излучения. Экспериментальные данные В.В. Бочкарёва и соавт. (1970б 1972) подтверждают тот факт, что для изотопов с небольшой энергией, например S35, Pm147 и т.д., ошибка при малых r может достигать 250%. Отсюда видно, что предложенная Левинджером методика оценки ФТИ β−излучения не во всех случаях может считаться надёжной.

Проведённые нами расчёты и измерения (В.В. Бочкарёв и соавт., 1970, 1972) позволили предложить новую аппроксимацию для ФТИ β−излучения в тканеэквивалентной среде. Предлагаемая формула может использована в диапазоне граничных энергий от 18 КэВ до 3,5 МэВ и выглядит следующим образом:

113

W (r)=4πr2ψ ( r)=0,25W0e-10vr+0,75W0e-2vr+vrKe-vr

Величина W(r ) равна энергии β−излучения, поглощённой в сферическом слое единичной толщины с радиусом r. Здесь W0 принимается равной среднему (по спектру эмиссии) значению тормозной способности (), а коэффициент K в силу условия нормировки (Ε) определяется как: K=Ev-0,4W0, где Е- средняя энергия спектра эмиссии β−излучения.

Величину W0 для любого излучателя с известным β−спектром можно вычислить, зная тормозную способность среды. Значения эффективного коэффициента поглощения v могут быть определены экспериментально или расчётным путём. Найденные нами величины W0, v и K для 13 радиоактивных изотопов приведены в таблице.

На рис.1 изображены дозные распределения точечных источников Pm147 и Tl204, рассчитанные по формуле Левинджера (1) и по формуле (2).

В работе В.В. Бочкарёва и соавт. (1972) приведены результаты расчётов по предложенной методике для 13 β−излучающих изотопов: Ni63, S35, Pm147, Ca45, Tl204, Sr90, P32, Pb86, Pr144, Y90, Rh106, K42.

Основное расхождение между результатами расчётов по формулам (1) и (2) наблюдается на малых расстояниях от точечных источников «мягкого» β−излучения (см. рис. 1). Различие сглаживает при увеличении расстояния от источника, а затем вновь возрастает, но уже с обратным знаком.

Необходимо отметить, что для протяжённых источников расхождение в дозных распределениях, рассчитанных 2 методами, будет вследствие усреднения несколько меньшим, чем для точечных.

Встречающиеся на практике источники β-излучения могут иметь самую разнообразную форму: точечные или сферические источники (например, «горячие частицы»), источники в виде очень тонких пленок (например, при распределении радиоактивного вещества по поверхности кожи) или пластин различной толщины (аппликаторы для дерматологии и офтальмологии) и т.д. Дозное распределение от точечных источников β-излучения можно рассчитать по формуле(2).

Если радиоактивное вещество распределено по поверхности S, которая находится внутри поглощающего тканеэквивалентного материала единичной плотности, то доза в некоторой точке будет определяться:

D= (r)dS,

где число β- частиц, вылетающих с единицы площади источника. Если радиоактивный изотоп распределен равномерно по объему V, то доза в некоторой точке будет равна:

D= (r)dV,

где число β- частиц, эмитируемых единицей массы, плотность материала. Рассмотрим распределение поглощенных доз от β-источников, имеющих

форму, наиболее часто встречающуюся на практике (предполагая, что матери-

114

Сигнальный экземпляр

ал основы источника и окружающей среды тканеэквивалентный с единичной плотностью).

В случае бесконечно тонкого плоского, практически неограниченного по площади источника интегрирование с использованием (2) дает для дозы в точке, отстоящей от плоскости на расстоянии r, выражение:

Здесь Ei(vr) – интегральная показательная функция, значения которой протабулированы, например в работах Г.В.Горшкова, Е.Янке и Ф.Эмде. Если σ вы-

ражать в числе β-частиц на 1см2 , а W0 в keV на 1мг/см2 ( ·см ), , то D(r,0)

мг

,будет выражена в единицах keV/мг. Чтобы получить дозу, выраженную в rad, необходимо учесть, что 1 keV/мг=1,6·10-8.

На рис. 2, 3 представлены результаты расчетов доз по формуле (3), а также по выражениям Левинджера для тонких источников с радиоактивными изо-

топами Pm147 (Eмакс=224 keV), Tl204 (765 keV) и P32 (1,71 MeV). Как видно из графиков, существенные расхождения между результатами расчетов по двум

методам (до 50% для Pm147) наблюдается на малых расстояниях (<1мг/см2) . На расстояниях более 5мг/см2 разница между результатами сравнительно невелика. Заметим, что величины интегральной, а также средней дозы по полной (до максимального пробега) глубине облучаемой ткани для тонкого источника, естественно, не зависят от метода расчета и будут в двух случаях одинаковыми, хотя характер распределения доз по глубине ткани (как это видно из графиков) может существенно различаться. Подобная же разница в результатах расчетов по 2 методам будет наблюдаться и для такого широко используемого радиоактивного изотопа, как I131. Для излучателей с максимальной энергией β-частиц около 2Mev (P32) два дозных распределения различаются сравнительно слабо. Хотя применение формул Левинджера рекомендовано только для энергий, меньших 3Mev, их часто используют для расчета доз и от таких β-излучателей,

как K42, Ru106+Rh106 (Eмакс ≈ 3,5 Mev).

В этом случае существенные расхождения между результатами расчетов доз по 2 методам наблюдаются при средних толщинах облучаемой ткани (400600 мг/см2).

Встречающиеся на практике источники β-излучения могут иметь самую разнообразную форму: точечные или сферические источники (например, «горячие частицы»), источники в виде очень тонких пленок (например, при распределении радиоактивного вещества по поверхности кожи) или пластин различной толщины (аппликаторы для дерматологии и офтальмологии) и т.д. Дозное распределение от точечных источников β-излучения можно рассчитать по формуле(2).

Если радиоактивное вещество распределено по поверхности S, которая находится внутри поглощающего тканеэквивалентного материала единичной плотности, то доза в некоторой точке будет определяться:

115

D= (r)dS,

где число β- частиц, вылетающих с единицы площади источника. Если радиоактивный изотоп распределен равномерно по объему V, то доза в некоторой точке будет равна:

D= (r)dV,

где число β- частиц, эмитируемых единицей массы, плотность материала. Рассмотрим распределение поглощенных доз от β-источников, имеющих

форму, наиболее часто встречающуюся на практике (предполагая, что материал основы источника и окружающей среды тканеэквивалентный с единичной плотностью).

В случае бесконечно тонкого плоского, практически неограниченного по площади источника интегрирование с использованием (2) дает для дозы в точке, отстоящей от плоскости на расстоянии r, выражение:

Здесь Ei(vr) – интегральная показательная функция, значения которой протабулированы, например в работах Г.В.Горшкова, Е.Янке и Ф.Эмде. Если σ выражать в числе β-частиц на 1см2 , а W0 в keV на 1мг/см2 ( ), то D(r,0) ,будет выражена в единицах keV/мг. Чтобы получить дозу, выраженную в rad, необходимо учесть, что 1 keV/мг=1,6·10-8.

На рис. 2, 3 представлены результаты расчетов доз по формуле (3), а также по выражениям Левинджера для тонких источников с радиоактивными изо-

топами Pm147 (Eмакс=224 keV), Tl204 (765 keV) и P32 (1,71 MeV). Как видно из графиков, существенные расхождения между результатами расчетов по двум

методам (до 50% для Pm147) наблюдается на малых расстояниях (<1мг/см2) . На расстояниях более 5мг/см2 разница между результатами сравнительно невелика. Заметим, что величины интегральной, а также средней дозы по полной (до максимального пробега) глубине облучаемой ткани для тонкого источника, естественно, не зависят от метода расчета и будут в двух случаях одинаковыми, хотя характер распределения доз по глубине ткани (как это видно из графиков) может существенно различаться. Подобная же разница в результатах расчетов по 2 методам будет наблюдаться и для такого широко используемого радиоактивного изотопа, как I131. Для излучателей с максимальной энергией β-частиц около 2Mev (P32) два дозных распределения различаются сравнительно слабо. Хотя применение формул Левинджера рекомендовано только для энергий, меньших 3Mev, их часто используют для расчета доз и от таких β-излучателей,

как K42, Ru106+Rh106 (Eмакс ≈ 3,5 Mev).

В этом случае существенные расхождения между результатами расчетов доз по 2 методам наблюдаются при средних толщинах облучаемой ткани (400600 мг/см2).

Представим себе безграничную тканеэквивалентную среду и пусть в по-

116

Сигнальный экземпляр

лупространстве (по одну сторону от некоторой плоскости) равномерно распределена активность : это будет полубесконечный источник с плоской границей. Доза в точке среды (свободной от активности), отстоящей от плоской поверхности источника на расстоянии r, может быть вычислена после интегрирования функции D(r,0) выражение (3) по полупространству.

После интегрирования получим:

D(r,∞)= [0,25Ф(10vr)+0,375Ф(2vr)+ ·e-vr].

Здесь Ф(vr)−так называемая функция Кинга, протабулированная, например, Е. Янке и Ф. Эмде. Если в последней формуле W0 выражать в

Доза на поверхности источника выразится:

D(0,∞)= (0,2÷0,5 )(keV/мг).

Дозу внутри источника на расстоянии r от его поверхности можно определить следующим образом:

D(−r,∞)=D∞−D(r,∞),

Где D∞−доза внутри бесконечного источника, равная 2D(0,∞) (cм. формулу.

(5).

Рассмотрим источник β−частиц в виде блока толщиной h, ограниченный 2 бесконечными плоскостями и погруженный в однородный тканеэквивалентный материал. Доза от такого источника в точке, находящейся вне источника на расстоянии r от его ближней поверхности, равна:

D(r,h)=D(r,∞)−D(r+h,∞).

Некоторые результаты расчётов доз в ткани от плоских источников различной толщины с радиоактивными изотопами Pm147, Tl204, P32 приведены на рис. 4,5,6. Из приведённых графиков для толстых источников (h=∞) видно, что кривые распределения доз вне источника, рассчитанных по трёхчленной формуле (2), проходят несколько ниже аналогичных кривых, рассчитанных по Левинджеру. Средние по полной («неактивной») глубине различаются в 1,17;1,12 и 1,04 соответственно для Pm147, Tl204 и P32.

Доза в центре сферического источника радиуса R получается интегрированием функции (2) и может быть представлена следующим образом:

При R→∞ доза в центре сферы стремится к значению дозы внутри бесконечного источника: D(0,R)│

Доза на произвольном расстоянии r от центра сферы радиуса R равна:

;= {0,0625[Ei(−10(x-p))−Ei(−10(x+p))]+0,1875[Ei(−2(x−p))−Ei(−2(x+p))]}+6,25·10-

4{e-10(x-p)× −e-10 (x+p)· }+,{e-2(x-

117

Где x=vr и p=vR.

Непосредственный расчёт показывает, что при vr>2 формулу (10) можно упростить, опустив все члены с аргументами и множителями 10(x+p) и 10(x−p). Доза на поверхности сферы (при r=R) равна:

При 0,1<vR<15 дозу на поверхности сферы можно считать равной приблизительно 0,45·D(0,R). Вне этого интервала доза внутри сферы с vR<2 равна приблизительно 0,75·D(0,R). В случае больших R она приближается к D∞.

При 0,1<vR<15 дозу на поверхности сферы можно считать равной приблизительно 0,45·D(0,R). Вне этого интервала доза внутри сферы с vR<2 равна приблизительно 0,75·D(0,R). В случае больших R она приближается к D∞.

118

Сигнальный экземпляр

119

Бета-излучение и гетерогенные среды

Как следует из вышеизложенного, измерения от бета-источников неплоской геометрии достаточно трудоёмки, требуют разработки специальных методик эксперимента и аппаратуры. В связи с этим определённый интерес представляет расчётный метод дозиметрии. Кроме того, сопоставление результатов расчёта и эксперимента может служить критерием корректности полученных данных.

До недавнего времени расчётная дозиметрия не располагала достаточно корректным способом вычислений доз от бета-излучения в гетерогенных средах, т.е. в граничащих средах, отличающихся по атомному номеру плотности. Поскольку в нашем случае стальной корпус аппликатора находится в контакте с мягкой биологической тканью, такая комбинация граничащих сред также относится к гетерогенной.

На основании проведённых в ИБФ МЗ СССР исследований был разработан новый аналитический метод расчёта бета-доз в разнородных материалах. Метод достаточно подробно изложен в /6/, поэтому здесь мы лишь кратко подчеркнём его отличительные черты.

Первая особенность метода состоит в комбинированном описании поля флюенса бета-частиц, который согласно предложенной схеме состоит из двух групп электроновдвижущихся прямолинейно без рассеяния и диффундрирующих. Расчёт доз от этих компонентов флюенса производится двумя способами (всвязи с чем метод вычислений получил название “двухгрупповой”): для группы нерассеянных электронов- с помощью функции точечного источника (ФТИ), а для группы диффундирующих электроновпутём решения уравнения диффузии.

Другая особенность двухгруппового метода заключается в его приложении не к реальным спектрам бета-излучающих нуклидов, а к спектрам искусственной, т.н. “квазиравновесной” формы, которая почти сохраняется при прохождении бета-частиц через вещество. Как показано в /6/, бета-спектры большинства нуклидов представимы в виде алгебраической суммы небольшого числа парциальных квазиравновесных составляющих. Расчёт доз по двухгрупповому методы производится в отдельности для каждого парциального компонента разложения реального бета-спектра, а дозное поле от бета-излучателя определяется путём суммирования дозных распределений от этих квазиравновесных спектральных компонентов.

Таким образом, мощность дозы P(x) на расстоянии «х» от источника со 90Sr + 90Yсогласно // равна следующей позиции мощностей доз Pi(х)от трех спектральных квазиравновесных составляющих:

Где ai парциальный вес i-го (i = 1,2,3)квазиравновесного спектра в разложении спектра 90Sr + 90Y.

120