Физические, технические, некоторые радиобиологические и медицинские аспекты контактной лучевой терапии_Монография_Тимофеев_Л.В

Сигнальный экземпляр

261

Сигнальный экземпляр

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГЛОЩЁННОЙ ЭНЕРГИИ ОТ ИСТОЧНИКОВ БЕТА−ИЗЛУЧЕНИЯ В ТКАНЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ СРЕДАХ

В.В. Бочкарёв, Н.А. Комаров, Г.Б. Радзиевский, Л.В. Тимофеев

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГЛОЩЁННОЙ ЭНЕРГИИ ОТ ИСТОЧНИКОВ β−ИЗЛУЧЕНИЯ В ТКАНЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ СРЕДАХ […]

При использовании β−излучающих изотопов в радиобиологии и медицине часто возникает необходимость в определении поглощённой энергии (дозы) в биологических тканях. Во многих случаях дозное поле протяжённых источников β−излучения в тканеэквивалентных средах можно корректно вычислить путём интегрирования произведения плотности активности на так называемую функцию влияния точечного источника (ФТИ). Эта функция описывает распределениедозыотточечногоизотропногоисточникавбезграничнойоднородной по плотности и эффективному атомному номеру среде.

Внастоящеевремяобщепринятойявляетсянаиболеефизическиобоснованная аппроксимация ФТИ, предложенная Левинджером:

ψ (r) = ){c[1- e1-(vr/c)]+vre1-vr}[1- e1-(vr/c)]=0,

При r≥ ,

где ψ (r)− доза (например, в rad на 1 β−частицу) на расстоянии r от источника, v-эффективный коэффициент поглощения , К- нормировочный множитель, с-безразмерный параметр, зависящий от граничной энергии β−спектра (подробнее см. Дж. Хайн и Г. Браунелл).

Использования в расчётах формул ( Дж. Хайна и Г. Браунелла) в ряде случаев не обеспечивает необходимой точности. Одна из причин этогосравнительная узость того диапазона граничных энергий, для которого были подобраны формулы (1) и входящие в них параметры. В частности, не может считаться правомернымприменениеэтихформулдлярасчётадозныхполейоттакихшироко используемых изотопов, как H3,C14,Ru106+Ru106,K42. Далее, сам вид функциональной зависимости, предложенный Левинджером для ФТИ, физически недостаточно обоснован, так как различия в форме спектральных распределений (при близких граничных энергиях) не должны здесь сказываться на форме дозных кривых. Кроме того, формулы Левинджера не всегда правильно описывают энерговыделение вблизи исчтоника излучения. Экспериментальные данные В.В. Бочкарёва и соавт. (1970б 1972) подтверждают тот факт, что для изотопов с небольшой энергией, например S35, Pm147 и т.д., ошибка при малых r может достигать 250%. Отсюда видно, что предложенная Левинджером методика оценки ФТИ β−излучения не во всех случаях может считаться надёжной.

Проведённыенамирасчётыиизмерения(В.В.Бочкарёвисоавт.,1970,1972)

263

позволили предложить новую аппроксимацию для ФТИ β−излучения в тканеэквивалентной среде. Предлагаемая формула может использована в диапазоне граничных энергий от 18 КэВ до 3,5 МэВ и выглядит следующим образом:

W (r)=4πr2ψ ( r)=0,25W0e-10vr+0,75W0e-2vr+vrKe-vr

Величина W(r ) равна энергии β−излучения, поглощённой в сферическом слоеединичнойтолщинысрадиусомr.ЗдесьW0 принимаетсяравнойсреднему (по спектру эмиссии) значению тормозной способности ( ), , а коэффициент K в силу условия нормировки ( Ε) определяется как: K=Ev-0,4W0, где Е- средняя энергия спектра эмиссии β−излучения.

Величину W0 для любого излучателя с известным β−спектром можно вычислить, зная тормозную способность среды. Значения эффективного коэффициента поглощения v могут быть определены экспериментально или расчётным путём. Найденные нами величины W0, v и K для 13 радиоактивных изотопов приведены в таблице.

На рис.1 изображены дозные распределения точечных источников Pm147 и Tl204, рассчитанные по формуле Левинджера (1) и по формуле (2).

В работе В.В. Бочкарёва и соавт. (1972) приведены результаты расчётов по предложенной методике для 13 β−излучающих изотопов: Ni63, S35, Pm147, Ca45,

Tl204, Sr90, P32, Pb86, Pr144, Y90, Rh106, K42.

Основное расхождение между результатами расчётов по формулам (1) и (2) наблюдаетсянамалыхрасстоянияхотточечныхисточников«мягкого»β−излучения (см. рис. 1). Различие сглаживает при увеличении расстояния от источника, а затем вновь возрастает, но уже с обратным знаком.

Необходимо отметить, что для протяжённых источников расхождение в дозных распределениях, рассчитанных 2 методами, будет вследствие усреднения несколько меньшим, чем для точечных.

Встречающиеся на практике источники β-излучения могут иметь самую

264

Сигнальный экземпляр

разнообразную форму: точечные или сферические источники (например, «горячие частицы»), источники в виде очень тонких пленок (например, при распределении радиоактивного вещества по поверхности кожи) или пластин различной толщины (аппликаторы для дерматологии и офтальмологии) и т.д. Дозноераспределениеотточечныхисточниковβ-излучения можнорассчитать по формуле(2).

Если радиоактивное вещество распределено по поверхности S, которая находится внутри поглощающего тканеэквивалентного материала единичной плотности, то доза в некоторой точке будет определяться:

D= (r)dS,

где σ – число β- частиц, вылетающих с единицы площади источника. Если радиоактивныйизотопраспределенравномернопообъемуV,тодозавнекоторой

где τ – число β- частиц, эмитируемых единицей массы, ρ – плотность материала.

Рассмотрим распределение поглощенных доз от β-источников, имеющих форму, наиболее часто встречающуюся на практике (предполагая, что материал основы источника и окружающей среды тканеэквивалентный с единичной плотностью).

В случае бесконечно тонкого плоского, практически неограниченного по площади источника интегрирование с использованием (2) дает для дозы в точке, отстоящей от плоскости на расстоянии r, выражение:

Здесь Ei(vr) – интегральная показательная функция, значения которой про-

табулированы, например в работах Г.В.Горшкова, Е.Янке и Ф.Эмде. Если σ выражать в числе β-частиц на 1см2 , а W0 в keV на 1мг/см2 ( мгм ), то D(r,0)

,будет выражена в единицах keV/мг. Чтобы получить дозу, выраженную в rad, необходимо учесть, что 1 keV/мг=1,6∙10-8.

На рис. 2, 3 представлены результаты расчетов доз по формуле (3), а также по выражениям Левинджера для тонких источников с радиоактивными изо-

топами Pm147 (Eмакс=224 keV), Tl204 (765 keV) и P32 (1,71 MeV). Как видно из графиков, существенные расхождения между результатами расчетов по двум

методам (до 50% для Pm147) наблюдается на малых расстояниях (<1мг/см2) . На расстояниях более 5мг/см2 разница между результатами сравнительно невелика. Заметим, что величины интегральной, а также средней дозы по полной (до максимального пробега) глубине облучаемой ткани для тонкого источника, естественно,независятотметодарасчетаибудутвдвухслучаяходинаковыми, хотя характер распределения доз по глубине ткани (как это видно из графиков) может существенно различаться. Подобная же разница в результатах расчетов

265

по 2 методам будет наблюдаться и для такого широко используемого радиоактивного изотопа, как I131. Для излучателей с максимальной энергией β-частиц около 2Mev (P32) два дозных распределения различаются сравнительно слабо. Хотя применение формул Левинджера рекомендовано только для энергий, меньших 3Mev, их часто используют для расчета доз и от таких β-излучателей,

как K42, Ru106+Rh106 (Eмакс ≈ 3,5 Mev).

В этом случае существенные расхождения между результатами расчетов доз по 2 методам наблюдаются при средних толщинах облучаемой ткани (400600 мг/см2).

Представим себе безграничную тканеэквивалентную среду и пусть в полупространстве (по одну сторону от некоторой плоскости) равномерно распределена активность : это будет полубесконечный источник с плоской границей. Доза в точке среды (свободной от активности), отстоящей от плоской поверхности источника на расстоянии r, может быть вычислена после интегрирования функции D(r,0) выражение (3) по полупространству.

После интегрирования получим:

D(r,∞)= [0,25Ф(10vr)+0,375Ф(2vr)+ ·e-vr].

Здесь Ф(vr)−так называемая функция Кинга, протабулированная, на-

пример, Е. Янке и Ф. Эмде. Если в последней формуле W0 выражать в

мгм , v−в мг , а τ−в мг , то доза D(r,∞) ,будет выражена в keV/мг. Доза на поверхности источника выразится:

D(0,∞)= (0,2÷0,5 )(keV/мг).

Дозу внутри источника на расстоянии r от его поверхности можно определить следующим образом:

D(−r,∞)=D∞−D(r,∞),

гдеD∞−дозавнутрибесконечногоисточника,равная2D(0,∞)(cм.формулу.(5). Рассмотрим источник β−частиц в виде блока толщиной h, ограниченный 2 бесконечными плоскостями и погруженный в однородный тканеэквивалентный материал. Доза от такого источника в точке, находящейся вне источника

на расстоянии r от его ближней поверхности, равна: D(r,h)=D(r,∞)−D(r+h,∞).

Некоторые результаты расчётов доз в ткани от плоских источников различной толщины с радиоактивными изотопами Pm147, Tl204, P32 приведены на рис. 4,5,6. Из приведённых графиков для толстых источников (h=∞) видно, что кривые распределения доз вне источника, рассчитанных по трёхчленной формуле (2), проходят несколько ниже аналогичных кривых, рассчитанных по Левинджеру. Средние по полной («неактивной») глубине различаются в 1,17;1,12 и 1,04 соответственно для Pm147, Tl204 и P32.

Доза в центре сферического источника радиуса R получается интегрированием функции (2) и может быть представлена следующим образом:

266

Сигнальный экземпляр

(10)

где x=vr и p=vR.

Непосредственный расчёт показывает, что при vr>2 формулу (10) можно упростить,опустиввсечленысаргументамиимножителями10(x+p)и10(x−p). Доза на поверхности сферы (при r=R) равна:

D(R,R)= {0,2+ · − · − (1−e−10x)− ·(1−e−2x)}.

При 0,1<vR<15 дозу на поверхности сферы можно считать равной приблизительно 0,45∙D(0,R). Вне этого интервала доза внутри сферы с vR<2 равна приблизительно 0,75∙D(0,R). В случае больших R она приближается к D∞.

267

268

Сигнальный экземпляр

3. Бета-излучение и гетерогенные среды

Какследуетизвышеизложенного,измеренияотбета-источниковнеплоской геометрии достаточно трудоёмки, требуют разработки специальных методик эксперимента и аппаратуры. В связи с этим определённый интерес представляет расчётный метод дозиметрии. Кроме того, сопоставление результатов расчёта и эксперимента может служить критерием корректности полученных данных.

До недавнего времени расчётная дозиметрия не располагала достаточно корректным способом вычислений доз от бета-излучения в гетерогенных средах, т.е. в граничащих средах, отличающихся по атомному номеру плотности. Поскольку в нашем случае стальной корпус аппликатора находится в контакте

смягкой биологической тканью, такая комбинация граничащих сред также относится к гетерогенной.

На основании проведённых в ИБФ МЗ СССР исследований был разработан новый аналитический метод расчёта бета-доз в разнородных материалах. Метод достаточно подробно изложен в /6/, поэтому здесь мы лишь кратко подчеркнём его отличительные черты.

Первая особенность метода состоит в комбинированном описании поля флюенса бета-частиц, который согласно предложенной схеме состоит из двух групп электроновдвижущихся прямолинейно без рассеяния и диффундрирующих. Расчётдозотэтихкомпонентовфлюенсапроизводитсядвумяспособами(всвязи

счем метод вычислений получил название “двухгрупповой”): для группы нерассеянных электронов- с помощью функции точечного источника (ФТИ), а для группы диффундирующих электроновпутём решения уравнения диффузии.

Другая особенность двухгруппового метода заключается в его приложении не к реальным спектрам бета-излучающих нуклидов, а к спектрам искусственной, т.н. “квазиравновесной” формы, которая почти сохраняется при прохождении бета-частиц через вещество. Как показано в /6/, бета-спектры большинства нуклидов представимы в виде алгебраической суммы небольшого числа парциальныхквазиравновесныхсоставляющих.Расчётдозподвухгрупповому методы производится в отдельности для каждого парциального компонента разложения реального бета-спектра, а дозное поле от бета-излучателя определяется путём суммирования дозных распределений от этих квазиравновесных спектральных компонентов.

Таким образом, мощность дозы P(x) на расстоянии «х» от источника со 90Sr + 90Yсогласно // равна следующей позиции мощностей доз Pi(х)от трех спектральных квазиравновесных составляющих:

269