19 Первообразная. Теорема о первообразных.

Имеея выражение F`(x) = f(x), где ф(х) – известная функция нужно найти F(х). Эта функция называется первообразной для ф(х).

Определение: первообразной функцией для данной функции на данном промежутке называется функция такая, что ее производная равна данной функции.

Теорема: Две рахличные первообразные одной и той же функции, поределенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга на постоянный член.

Докозательство: Берем две якобы разные первообразные, приравниваем их разность к константе, берем от обеих частей производную. Получается 0 равен 0. ЧТД

20 Неопределенный интеграл и его свойства.

Интегрирование: онтыскивание первообразных.

Определение: Общее ввыражение для всех первообразныех данной функции назывется неопределнным интегралом. Интеграл состоит из подинтегрального выражения, подинтегральной функции и переменной интегрирования (дх)

Свойства:

Дифференциал непоределенного интеграла равен подинтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла подинтегральной функции

Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывано дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до константы. _|`dfi(x) = _|`fi`(x)dx; _|`dfi(x) = fi(x) + c

Отличный от 0 постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного чиcла непр функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Независимость вида определенного интеграла от выбранной переменной.

21 Замена переменной

Пусть ф(х) непрерывна на интервале от а до б и х есть функция от т непрерывно дифференцируема на интервале от альфа до бетта. Причем функция фи (которая от т) отображает интервал от альфа до бетта на отрезке от а до б. На основании свойств независимости вида интеграла от выбора аргумента и учитываея, что dx = fi`(t)dt получаем формулу хамены переменной в неопределенном интеграле. _|` f(x)dx = _|` f(fi(t))fi`(t)dt

Метод интегрирования по частям

d(uv) = udv + vdu. Далее интегрируем.

Интеграл udv = интеграл d(uv) – интеграл vdu = uv - _|`vdu

Интегрирование дробно-рациональной функции:

а) если подинтегральная функция является непрерывной рациональной дробью, то сначала нужно выделить целую часть, те.е представить непрерывную рац. дробь в виде суммы алгебраич. многочлена и правильной рац дроби. Для этого мы делим многочлены друг на друга (учить этому вас должны были на практике). Суть деления заключается в домножении делителя на х в недостающей степени (до высшего х в делимом).

б) Знаменатель прав рац дроби м.б. представляем в виде минейных сомножителей, каждый из которых м.б. представлен в виде суммы пристейших дробей тлько первого типа. Тогда находим коэффициенты методом закрывания пальцем.

в) знаменатель прав рац дроби м.б. приедставлен в виде произведения токльк олиненых сомножителй. Одако некоторые лин сомножители имеют степень выше первой. Тогда прав рац дробь м.б. представлена в виде суммы простейшей дробей 1 и 2 типа. Находим линейные коэффициенты методом закрывания пальцем, а не линейные подставлнием либого х в уравнение.

г) знаменатель простейшей дроби м.б. представлен в виде произведения лин сомножиетей в любой степени и квадратичн. сомножителей в первой степени. В этом слуае прав рац дроб м.б. представлена в виде суммы прост рац дробй 1,2,3 типов. Находим А, В, С методом сравнивания коэффициентов.

21г Интегрирование тригометрических выражений.

sin^m x * cos^n x dx = ? ; n и m – целые положительные числа.

1.Если один из показателей m n есть число нечетное, то интеграл береться непосредственно.

 sin^3 x cos^2 x dx = sin^2 x cos^2 x d(sinx) = -(1-cos^2 x)cos^2 x d(cos x) = -1/3cos³ x + 1/5cos⁵ x dx + c

2.Если оба показателя четные, то используют формулу двойного угла. sin²x = ½ (1-cos2x) ; cos²x = ½ (1+cos2x) ; sin*cos = ½ sin2x

3.Если тригометрические функции без степеней, но с разными углами, то используют формулы произведения функций.

22 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Теорема: Определенный интеграл функции не зависит от выбора первообразной для подинтегральной функции. Доказательство: попробуй решить определенный интеграл в общем виде с «с» – они сократятся.

Задачи на нахождение площади плоской фигуры, задачи на работу.

23 Основные свойства определенного интеграла.

1.Величина определнного интеграла не зависи от обозначаемой переменной.

2.Определенный интеграл с однинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

3.При перестановке пределов интегрироавния определенноый интеграл меняет свой знак.

4.Свойство аддитивности: Если промежуток инегрирования разбить на конечное число частных пределов, то определенный интеграл равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его чсастичным промежуткам.

5.Свойство линейности.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

6.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного чилса непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определ. интегралов.

7.Если подинтегральная функция непрерывана и неотрицательна, а верх предел бельше нижнего, или равен ему, то определенный интеграл также не отрицателен.

8.Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать почленно при условии, что ерхний предел интегрирования больше нижнего.

Теорема о среднем: Если ф(х) заключена между м и М, на интервале от а до б, то справедливо следующее соотношение: m(a-b)<= a_|`b f(x) dx <= M(b-a)

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подинтегральной функции при некотором проежуточном значении аргумента. Найдеться точка с такая (на отрезке от а до б), что интеграл функции от нее, помноженный на разность б и а будет равен интегралу функции на этом отрезке по х. Ф(с) – среднее значение функции на промежутке от а до б.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подинтегральной функции лоя этого предела.

24 Методы нахождения определенного интеграла.

1.Интегрирование по частям (см методы интегрирования 21) a_|`b udv = uv a|b – a_|`b vdu

2.Замена переменной. Возвращаться к старой переменной не надо.

3.Все остальные способы идентичны неопределенному интегралу.

25 Формула Ньютона-Лейбница

Производная прлощади криволинейной трапеции равна ее концевой ординате (при определенном х) (теорема Ньютона – Лейбница). Нарисоват, доказать.

А определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции при а меньше б равен площади соответсвуещей криволинейной трапеции (площади под графиком).

25а Несобственные интегралы первого и второго родов.

При определенном интегрировании пологалось, что промежуток от а до б конечен и подинтегральная функция определена и непрерывна на отрезке от а до б. Если эти услоия выполняются- собственный интеграл, если нет то несобственный.

1.Если предел интегрирования бесконечен с одной стороны (луч). Такой интеграл можно заменить пределом, где б будет стремиться к бесконечности и подставить б вместо нее на границе интегрирования. Если такой предел будет существовать, то интограл сходящийся, если нет, то расходящийся. А считается такой несобственный предел как обычный просто вместо б у нас бесконечность.

2.Интеграл имеет точку разрыва в точке б. Тогда это выглядит как a_|`b f(x)dx = lim(e+0) a_|`b-e f(x)dx и назывется сходящимся интегралом или расходящимся в зависимости от того, существует предел или нет. И здесь справедлива формула НьютонаЛейбница если существующая функция непрерывна на отрезке от а до б, что ф(х) имеет первообразную при х между а и б.

26 Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Диф. уравнениями 1 порядка называются уравнения, связывающие независимую переменную, независимую функцию и ее производную.

Задачей интегрального исчисления является нахождение первообразной.

Общее решение – решение с произвольной постоянной. Частное решение – решение при подстановке постоянной.

Задача Коши

Найти решение у=фи(х) уравнения у’ = f(x,y), удовлетворяющее заданному условию: y0 = fi(x0), т.е. принимающее при х = х0 значение у=у0. В некотор. случаях дщифф. уравнения y’=f(x,y) выгодно записыветь через dt/dx. Реомтрически задача Коши сводитьься к тому, что надо найти интиральную кривую дифф. уравнения, проходящцю через заданную точку.

Уравнение с разделсяющимися преременными. Теорема Коши.

Если функция ф(х, у) определена и непрерывна в окрестностяи точек х0 и у0, то ДУ имеет решение, удовлетворяющее нач. условиям. Если частн. произведения функции df/dy тоже непрерывна в точке х0, у0, то решение единственное.

Самый простой частный случай диф уравнени первого порядка явл. уравенение с разде. переменными. – это когда переменные можно разнести по обе части от знака равно.

Задачи о размножении бактерий.

Имеется популяция бактерий y(t) в момент времени t. Скорость размножения бактерий пропорциональна V. y' = alfa y , alfa > 0; 0_|`tdy/y = 0_|`t alfa dy; y = y0 exp(alfa t)

Размножение идет со скоростью y’ = alfa y – beta y^2

dy / [y(y-alfa/beta)] = - beta  beta / alfa * 0_|`t [1/(y-alfa/beta) – 1/y]dy = -beta t

далее интегрируем и в результате получаем.

(y – alfa/beta) /y = (y0 – alfa/beta) / y0 * exp (-alfa t)

y = alfa/beta / [(y0 – alfa/beta) / y0 * exp (-alfa t)] _(t<><>)_ alfa/beta

Теория вероятностей:

34Стохастическим наз эксперимент который заранее предугадать нельзя.Случайным событием наз явление которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента.Элементарные события события обладающие следующими свойствами:Взаимоисключают друг-друга и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий каково бы не было случайное событие А по наступившему элементарному событию можно оценить произошло или нет событие А.35Суммой двух событий АиB назовем событие А+B происходящее тогда и только тогда когда происходит А или B.Произведением двух событий А и B назовем событие АB которое происходит тогда и только тогда когда происходит и BиB.Событие А назовем противоположным к А если оно происходит тогда и только тогда когда А не происходит.36Классическая схема теории вероятности это схема где присутствует стохастический эксперимент пространство элементарных событий которое состоит из конечного (n) числа равновозможных элементов.37Если при увеличении числа опытов относительная частота события v(A) стремится к некотрому фиксированному числу то говорят что событие А стохастически устойчиво а это число обозначаемое р(А) наз вероятностью события А.38Вероятностью суммы двух событий р(А+B)=р(А)+р(B)-р(АB).Пример:Из 20 студентов 5 человек сдали на 2 экзамен по истории 4 по ин-яз причем 3 студента получили 2 по общим предметам.Каков процент студентов не имеющих 2 по этим предметам.Решение

Р=1-(5/20+4/20-3/20)=0,7(70%).39Условной вероятностью события B при условии что событие А с ненулевой вероятностью произошло наз Р(B/А)=Р(AB)/P(A).40Независимость событий означает что наступление события А не изменяет вероятности появления события B т.е условная вероятность равна безусловной р(АB)=р(а)*р(B).41 .42Дискретной наз величину возможные значения которой образуют или конечное конечное множество или счетное.Примером случайной величины принимающей конечное число значений я-ся число очков выпавших при бросании кубика.43 Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка т.е ее значения сплошь заполняют некоторый интервал и поэтому их множество не счетно.Пример:размер детали массового производства,ошибка измерения,урожай с одной сотки.44Для задания любой случайной величины можно ввести функцию распределения F(x) равную вероятности того что случайная величина Е примет значение меньшее х:F(x)=p(E<x).45Распределение вероятностей непреывной случайной величины Е можно задать любой функцией распределения F(x)=p(E<x) либо ее производной f(x)=dF(x)/dx называемой плотностью распределения вероятности или плотностью вероятности.46Математическим ожиданием дискретной случайной величины Е назовем сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности М(Е)=а= хi*pi.Назовем дисперсией случайной величины Е математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания D(E)=M(E-a)квадрат).Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины то в ряде случаев удобнее пользоваться критерием из дисперсии.Эта характеристика имеет туже размерность что и сама случайная величина и ее наз среднеквадратическим отклонением

.47Для непрерывных случайных величин математического ожидания оперделяется как:М(Е)=Sxf(x)dx,а дисперсия D(E)=S(x-M(E))квадратf(x)dx=Sxквадратf(x)dx-Mквадрат(E).48Схема Бернули производистя и независимых и однородных испытаний в результате каждого из которых может произойти событие А или ему противоположное А с вероятностями р и q=1-р

49Формула Пуассона

Эта формула задает распределение вероятностей для пуассоновской величины с параметрами а принимающей целые значения m=0,1,2,3… с вероятностями

.50Локальная формула Муавра-Лапласа

интегральная формула Рn(m1<или равно m<или равно m2)~Ф(х2)-Ф(х1).51 Нормальное распределение-это распределение Гаусса играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях.Это наиболее часто встречающися на практике закон распределения.Этому закону подчиняется распределение суммы достаточно большого числа случайных величин каждая из которых может иметь произвольное распределение.Закон распределения Sn=E1+…En cумы этих случайных величин привесьма общих условиях к нормальному закону.Этот факт определяет особое значение нормального распределения в теории вероятностей и имеет огромное прикладное значение.Соответствующее утверждение наз центральной предельной теоремой: