Билет 57. Элементарная теория водородоподобного атома по Бору.

(Q– векторQ(палка сверху дляh),Q^2 –Qв степени 2,q[1] –qс индексом 1)

Водородным атомом считается атом водорода, а также любой другой атом, у которого заряд ядра равен q=ze, а вокруг ядра вращается 1e.

k(z*e^2)/r=m*V^2k-коэф.

Из правила квантовых орбит моментов импульса выразим V.

m*V*r=n*h; V=(n*h)/(m*z)

r[n]=(h^2/(k*z*e^2*m))*n^2 - радиус n-ой орбиты e. (n=1,2,3…)

n=1, z=1, тогда r[n]=(h^2)/(k*e^2*m)0.

n=1 соответствует основному строению атома.

Полная энергия водородоподобного атома:

E=E[кин]+E[пот]

_{E[кин]=(m*V^2)/2}

E[пот]=(k*q[1]*q[2])/r=(k*z*e*(-e))/r=-(k*z*e^2)/r

mV^2=(k*z*e^2)/r

E[кин]=(k*z*e^2)/(2r)

E=(k*z*e^2)/(2r)-(k*z*e^2)/r=-(k*z*e^2)/(2r) <0

Подставим сюда радиус:

E[n]=-(k^2*z^2*e^4*m)/(2h^2)*(1/n^2) (n=1,2,3…) - энергия водородоподобного атома.

Состояние при n=1 наз. основным состоянием.

k=1/(4[0]), тогдаE[n]=-(z^2*e^4*m)/(32*^2*[0]^2*h^2)*(1/n^2) (n=1,2,3…)

Остальные состояния наз. возбужденными.

При n==>E[]=0. Это соответствует ионизированному атому, т.е.e теряет связь с ядром. |E[1]|=равна работе, необх. для того, чтобы электрон удалить из атома. Работа выхода электрона из атома.E[1]-энергия ионизации.

Билет 58. Спектральные серии атома водорода.

(Q– векторQ(палка сверху дляh),Q^2 –Qв степени 2,q[1] –qс индексом 1)

z=1 h=h/(2)

E[n]=-(e^4*m)/(32*^2*[0]^2*h^2)*(1/n^2)=-(e^4*m)/(8*[0]^2*h^2)*(1/n^2) (n=1,2,3…) – разрешенные энергии для атома водорода

Сувеличениемnрасст. между уровнями уменьшается.

Пусть атом переходит с уровня mна уровеньn. При этом испускается квантh*[mn]=E[m]-E[n]=-(m*e^4)/(8*[0]^2*h^2)*(1/m^2-1/n^2) (m>n)

R=(m*e^4)/(8*[0]^2*h^2) – постоянная Родберга

[mn]=R*(1/n^2-1/m^2) (m>n)

Эта формула полностью совпала с полученной эксперементально.

Взависимости от того на какой уровень переходят элементы в атоме, спектральные линии группируются в серии.

n=1; [m1]=R*(1/1^2-1/m^2); m=2,3,4… (серия Лаймана)

n=2;[m2]=R*(1/2^2-1/m^2);m=3,4,5… (серия Больмера)

n=3;[m3]=R*(1/3^2-1/m^2);m=4,5,6… (серия Пашена)

n=4;[m4]=R*(1/4^2-1/m^2);m=5,6,7… (серия Брэкета)

n=5;[m5]=R*(1/5^2-1/m^2);m=6,7,8… (серия Пфунда)

n=6;[m6]=R*(1/6^2-1/m^2);m=7,8,9… (серия Хэмфри)

Линии излуч. атома водорода были получены этими учеными до теории Бора. Серия Лаймена maxв у.ф. области.

Теория Бора позволила расчитать эти частоты теоретически и они полностью совпали с получ. ранее эксперементальными данными.

Кроме того дискретность энергет. уровней атома была подтверждена опытами Франка-Герца. В этих опытах показано, что атом поглощает энергию дискретно(порциально).

Постулаты Бора были гениальный догадкой, и последствии нашли свое объяснение.

Например третий постулат

m*V*r=n*h

Согласно гипотезе де Бройля eимеет волновые свойства.

[Бр]=h/(m*V)

m*V=h/[Бр]

h*r/[Бр]=n*h/(2)

2*r=n*[Бр]

Электрон вращ. по арбите, причем радиус орбиты должен удовлетворять усл., т.е. на длине траектории едолжно укладываться целое число волн де Бройля. Т.о. дискретность сост. объясняется волн, свойств микрочастиц.

Билет 59. Квантово-механическая модель водородоподобного атома. (Результаты решения уравнения Шредингера). Квантовые числа электрона в атоме.

(Q– векторQ(палка сверху дляh),Q^2 –Qв степени 2,q[1] –qс индексом 1,dQ– дельтаQ)

Полную информацию состояния eв атоме дает ур. Шредингера:

d+2m*(E-U)*/(h^2)=0 гдеU-потенц. энергия электрона в атоме,E-полная энергия

U=-(z*e^2)/(4*[0]*r)

d+2m*(E+(z*e^2)/(4*[0]*r))*/(h^2)=0

Математически доказано, что ур. имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям для двух случаев:

1)E>0 соответственноене связан с ядром. В этом случаеEможет принимать любые значения.

2)E<0eсвязан с ядром. Собственное значение энергии E[n]=-(z^2*e^4*m)/(8*[0]^2*h^2)* *(1/n^2) (n=1,2,3…)

Из квантовой механики без всяких постулатов, из ур. Шредингера получены допустимые значения энергии водородоподобного атома, которые в точности совпали с теорией Бора.

Собств. знач. энергии атома соответств. собств. волновые функции:

[n](n, l, m, m[s])

Они зависят от 4-х квантовых чисел:

n– главное кв. число. От него зависит энергия атома.

l– азимутальное арбитальное кв. число.L=h*(L*(L+1)), l=0,1,2,…(n-1)

m– магнитное кв. число. Зависит проекция момента импульса на любую осьz.L[z]=m*h

m=-l[1],…,+l[1]

m[s] – спиновое число.

Пусть n=1, следовательноl=0,L=0,m=0,L[z]=0. В основном состоянии электрон не имеет момента импульса.

Пусть n=2, 1)l=0,L=0,L[z]=0

2) l=1, L=h*2, m=-1,0,+1 L[z]=-h, 0, +h

Пусть n=3, 1)l=0,L=0,L[z]=0

2) l=1, L[z]=-h, 0, +h

3) l=2, L=h*6, L[z]= -2h, -h, 0, +h, 2h

Спектр энергии E[n] получаемый в результате решения ур. Шредингера совпадает полностью со спектром полученным Бором и с планетарной моделью атомов. Здесь строгое решение без всяких постулатов.

В кв. механике не идет речь о траекториях е. Т.е.ене вращается по окружностям. Речь идет только о наиболее вероятном нахождении электрона. Боровские орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может находиться электрон.

Для n=1 элекрон не имеет орбитального момента импульса. В теории Бора это соответствовало

бы маятникообразному движению электрона, проходящему через ядро.

Расположению ев атоме носит вероятный характер. Плотность нахожденияев заданной точке равна ||^2 (квадрат модуля пси-функции).