30. Принцип суперпозиции квантовых состояний .

Если физ. система может находиться в квантовых состояниях , описываемых волновой функцией 1, а также в состояниях , описываемых волновой функцией2, то она может находиться и в состояниях,описываемых ф-цией=а1+в2

а,в- комплексные числа.

(пример про 2 щели )

Если закр. 2-я щель , то вероятность попадания эл-нов в какую-либо точку фотопластинки, описывается функцией 1

1=11*

Закрыв. 1-ю щель , то плотность вероятности обнаружения 2интенсивности волны.

2=22*

=( 1+2) (1+2)*=11*+22*+12*+21*=1+2+

Интегрируемость рез-щей волны не равна сумме интенсивностей

-интерференционный член

Каки при интерференции волн.

31. Уравнение Шредингера (временное и стационарное).

Чтобы определить вероятность нахождения частицы в любой точке пространства надо знать вид волновой функции (x,y,z,t) ее вид можно найти с помощью ур-я Шредингера.

Оно играеттакую же роль что и 2-й з-н Ньютона , оно не выводится , а получено на основании анологий,првильность его подтверждает совпадение с экспериментальными данными в квантовой и атомной физике.

-h ² /2m(d²/dx²+ d²/dy²+ d²/dz²)+U(x,y,z,t) =ih d/dt

=(x,y,z,t)

U(x,y,z,t)-потенциальная энергия частицы

= d²/dx²+ d²/dy²+ d²/dz²

-h ² /2m+U(x,y,z,t) =ih d/dt

Из уравнения Шредингера видно что вид функции зависит от потенциальной энергии частицы , но т.к. (-gradU)=силе действующей на частицу значит решение уравнения зависит от этих сил. Если эти силы не зависят отt, то силовое поле назвали стационарным то иUзависит только от (x,y,z) в этом случае решение Шр-ра ввиде произведения 2-х ф-ций , одна зависит только от координат , другая только отt.

(x,y,z,t)= (x,y,z) e^-iwt

E=hw-полная энергия частицы

(x,y,z,t)= (x,y,z) e^-(iE/h)t

Подставим эту ф-цию в ур-е Шр-ра

d(x,y,z,t)/dt=(x,y,z) e^-(iE/h)t(-iE/h)

-h ² /2m e^-(iE/h)t+ U(x,y,z,t) (x,y,z) e^-(iE/h)t=ih(-iE/h)(x,y,z) e^-(iE/h)t

-h ² /2m+ U= E

h ² /2m +(E- U) =0

+2m / h ²(E- U) =0- стационарное ур-ние Шредингера

32 Собственные значения энергии и собств. Функции. Квантование энергии.

Значение волн. ф-ии ψ, являющейся решением стацион. ур-я Шредингера, при заданном виде ф-ииU(x,y,z)(потенц. энергия) наз-ся собственным значением ф-ииψ.

Из теории диф.ур. знаем, что решение ур-я подобного типа возможно только при опред. Знач. Параметра Е – полная энергия ч-цы. Эти значения Е наз-ют собственными знач.энергии. Совокупность всех Е образует энергетический спектр частицы. Он может быть непрерывным (сплошным) или дискретным – т.е частица может принимать только определенные значения, тюе энергия квантуется – изменяется опред. порциями.

Для дискретного с-а совокупность э-ии спектра можно пронумеровать Е1 Е2 … Еn. Каждому собственному значению энергии соответствует собсв.знач.ψ1 ψ2 …ψn.

Отыскание собств. знач. энергии и ψназ-ют основной задачей квант. мех.

Cтац. Ур-е Шредингера: ΔΨ+2Μ(E-U)Ψ/h=0

33 Частица в потенциальной яме с высокими стенками.

Пусть ч-ца может двигаться только вдоль оси Х между стенками, установленными при Х=0, X=l, стенки непроницаемы для ч-цы и имеют оо большую высоту.

Внутри потенциальной ямы U=0, ур-е Шредингера будет иметь вид (d**2)ψ/d(x**2)+imEψ/(h**2) (0<=x<=l)

Т.к за пределы потока ямы поле выйти не может (вероятность прохождения его там = 0),=> Ψ за пределами ямы должна = 0.

Ψ(0)=0Ψ(l)=0 – граничные условия для ур-я Шред-ра.

Обозначим 2mE/(h**2)=Kволновое число.

(d**2)ψ/d(x**2)+(К**2)Ψ=0

Ищем решение этого ур-я в виде Ψ=asin(KX+α)

Поскольку при х=0, Ψдолжно быть =0 => α=0;Ψ=asin(KX)

Поскольку Ψ(l)=0, то Кb=Pi*n, гдеn=1,2,3…, ноn<>0 т.к в этом случае Ψ=0, т.кK=2*pi/λ =>L=n*λ/2 – по ширине ямы должно укладываться целое число полуволн ДеБроляk=pi*n/l;Ψ=a*sin(n*pi*x/l);

Чтобы найти коэв.aиспользуем условие нормировкиΨф-ий

L L l

//ΨΨ*dx=1 //(a**2)*(Sin(n*pi / L)**2)*xdx=1 //(a**2)(x/2)dx=1

0 0 0

(a**2)*L/2=1 => a=sqrt(2/ L)

Ψn=sqrt(2/L)*Sin(n*pi/L)*x,n=1,2,3,4… - собственное значение ф-ииΨ.

Найдем соответствующее собственное значение энергии частицы:

2m*E/(h**2)=((n*pi/l)**2) En=((Pi*h*n/l)**2)/2m; n=1,2,3,4…

Энергия частицы в потенциальной яме квантуется, это можно изобразить с помощью энергетических уровней.

ΔΕ=Εn+1-En=(((pi*h/l)**2)/2m)*((n+1)**2-n**2)~~((pi*h/l)**2)*(2n)/(2m)

ΔΕ~~((pi*h/l)**2)*(n)/(m)ΔΕ увелич, с увел-емn

Число n, определяющее допустимые значения энергии ч-цы, наз-ся главным квантовым числом. Ч-ца может находится только в состоянии с определенным значением энергии. Состояние сmin энергией – основное(дляn=1). Все остальное возбужденное.

0 L x 0 L x

Ψ(x) волновая ф-ияρ(х)плотность вероятности обнаруж.частицы

34 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ИСЦИЛЯТОР В КВАНТОВОЙ МЕХ-КЕ. ПРАВИЛО ОТБОРА.

В классич.мех. гарм. осцилл. Наз-ют матер-ую точку колебающуюся под воздействием упругой или квазиупругой силы вдоль оси ОХ.

Fx=-k*x; по 2-му з-ну Ньютонаm*(x**)+k*x=0;x(**)+k/m*x=0;x(**)+(ω**2)=0, гдеω=k/m;x=Acos(ωt+α) – решение ур-я.

Полная эн-ия гарм-го осцилятора E=k*(A**2)/2

Потонциальная в любой момент времени U=k*(x**2)/2=m(ω**2)(x**2)/2

В квантовой механике гарм.осцил-ом наз-ют колеблющуюся частицу, энергия которой изменяется по з-ну: U=m(ω**2)(x**2)/2 (т.е находится в потенциальной яме с пароболическими стенками), но в силу принципа неопределенности, в отличаи от классич.мех-ки, квантовый эффект играет здесь существенную роль.

Линейное ур-е Шредингера для квантового гармон-го осцилятора:

(d**2)ψ/d(x**2)+(2m/h)*(E-m(ω**2)(x**2)/2)*ψ=0

Из теории дифуров известно, ур-е имеет конечное, однозначное и непрырывное решение лишь при значениях энергии == En=(n+1/2)h*ω (n=1,2,3,4…)

Расстояние между уровнями энергии ΔEn=En+1-En=hω=const– одинаково для всехn.

Minвозможная энергия квантового осцилятора наз-сянулевой энергией:Eo=1/2hω. Она соответствует так называемым нулевым колебаниям. Это означает, что квант.осцилятор не может находится в равновесии на дне потенциальной ямы, даже при абсолютном 0, будут колебания атомов кристалической решетки.

U(x)

n=0

0 x

N=2

N=1

N=0

Правило отбора

Энергия гармонического осцилятора может менятся лишь дискретно на величину hω. Переход из одного состояния ч-ци в другое соответствует изменению главного квантового числа на 1Δn=+-1

Условие накладываемое на изменение квантовых чисел при переходе системы из одного состояния в другое наз-ся правилом отбора.

Для гармон.квант. осцил-ра Δn=+-1. Планк предполагал, что Min значение энергии = hω=hυ, однако min порцией может быть и ½(hω), соответствующая энергии нулевых колебаний гарм.квант-го осцил-ра.