Министерство образования республики беларусь
Гомельский государственный технический университет
имени П.О.Сухого
Кафедра физики
Лабораторная работа № 1-13
Выполнил студент гр. Д-11 Нагель С.А.
Принял преподаватель
Ловгач В.Н.
г. Гомель, 2002
Лабораторная работа № 1-13
Тема: Изучение статистических закономерностей на механических моделях.
Цель работы: изучить статистические закономерности на механических моделях, получить экспериментальную и рассчитать теоретическую кривую распределения случайных величин.
Приборы и принадлежности: установка для изучения статистических закономерностей, сыпучий материал, масштабная линейка.
Теоретическая часть:
1. Движение каждой молекулы определяется законами классической механики, поэтому, в принципе, можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно, то не только решить, но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно. Таким образом, динамический метод описания совокупности огромного числа частиц практически непригоден. Новый метод, позволяющий перейти от описания движения отдельных частиц системы к описанию в целом макроскопических свойств системы из огромного числа частиц, называется статистическим. Он основывается на использовании теории вероятности и определённой модели строения изучаемой системы.
Термодинамический метод описывает поведение системы из большого числа частиц, не касаясь её внутренней структуры. В основе термодинамического метода лежит несколько общих законов, называемых началами термодинамики, установленных на основе обобщения опытных данных.
2.
Вероятность
того, что скорость молекулы лежит в
интервале от
до
равна отношению числа молекул
,
скорости которых лежат в указанном
интервале к полному числу молекул в
системе
, т.е.
(13-1)
Выражение
(13-1) можно представить через функцию
распределения
молекулы по скоростям:
(13-2)
Распределение молекул по скоростям в принципе может оказаться любым, но вероятность различных распределений неодинакова. Среди всех возможных распределений имеется одно, вероятность которого больше чем всех других оно называется распределением Максвелла.
Максвелл
установил, что наиболее вероятное
распределение определяется соотношением
кинетической энергии молекулы
к средней энергии её теплового движения
:
,
где
-
постоянная Больцмана,
-
абсолютная температура,
-
независящая от скорости постоянная.
Постоянная
находится из условия, что вероятность
найти скорость молекулы в интервале от
0 до
равна единице (это вероятность достоверного
события):
(13-4)
Вычислив
с помощью (13-4) нормировочную постоянную
можно записать выражение для среднего
числа молекул
скорости которых лежат в интервале от
до
в следующей форме:
(13-5)
Если
же интересоваться распределением
молекул только по величине скорости,
т. е. по
, то выражение (13-5) следует переписать
с учётом того факта, что все направления
движения молекул равновероятны, поэтому
распределение точек в пространстве
скоростей будет сферически симметричным
относительно начала отсчёта. Следовательно
молекулы, скорости которых заключены
в интервале от
до
будут находиться в области, лежащей
между сферами радиусов
,
,
объём
которой равен
.
Поэтому объём
в (13-5) следует заменить на объём
. Тогда формула (13-5) примет вид:
(13-6)
Используя
выражения (13-1), (13-2), (13-6) находим, что
функция распределения Максвелла по
величине скорости
равна:
(13-7)
4. Наивероятнейшая скорость – скорость, при которой кривая Максвелла имеет максимум:
(13-8)
Функция
распределения Максвелла (13-7) позволяет
вычислить статистические значения
любой функции скоростей
:
,где
- среднее значение функции
(13-9)
Используя
(13-9) получаем, что средняя скорость
молекул
и среднеквадратичная скорость
равна:
Связь между характерными скоростями молекул:
Функция распределения по координатам называется функцией распределения Больцмана:
(13-16)
где
- потенциальная энергия молекулы в поле
внешних сил.
Число
молекул, координаты которых лежат в
интервале от
до
равно:
(13-17)
Пусть
известна концентрация молекул
и
в двух точках
и
.Используя выражения (13-17) и (13-16), получаем:
(13-18)
(формула Больцмана).
Закон изменения концентрации частиц с высотой в поле силы тяжести Земли:
Пусть
начальная точка
,
тогда
;
В качестве второй точки возьмём точку,
отстоящую на расстоянии
от поверхности Земли, т.е.
,
тогда
,
Применим формулу (13-18) :
(13-19)
Используя
далее основание уравнения
молекулярно-кинетической теории
идеального газа в виде
и считая температуру воздуха одинаковой
на всех высотах, переходим от формулы
(13-19) к барометрической формуле, связывающей
давления на разных высотах:
(13-20),
где
-
средняя
масса молекулы воздуха.