§ 8.5. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям
Движение молекул газа подчиняется законам статистической физики. В среднем скорости и энергии всех молекул одинаковы. Однако в каждый момент времени энергия и скорости отдельных молекул могут значительно отличаться от среднего значения.
С помощью теории вероятности Максвеллу удалось вывести формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений.
Закон распределения Максвеллаопределяет относительное число молекулdN/N, скорости которых лежат в интервале (, + d). Оноимеет вид:
(8.28)
где N –общее число молекул газа,
–число молекул,
скорости которых заключены в определенном
интервале,
– нижняя граница интервала скоростей,
d – величина интервала скоростей,
T– температура газа,
e = 2,718…–основание натуральных логарифмов,
k= 1,3810-23Дж/К – постоянная Больцмана,
m0 – масса молекулы.
При получении этой формулы Максвелл основывался на следующих предположениях:
1. Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.
2. Температура газа постоянна.
3. Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение.
4. На газ не действуют силовые поля.
Отметим,
что под знаком экспоненты в формуле
(8.28) стоит отношение кинетической энергии
молекулы
к величинеkT,
характеризующей среднее (по молекулам)
значение этой энергии.
Распределение Максвелла показывает, какая доля dN/N общего числа молекул данного газа обладает скоростью в интервале от до + d.
|
|
График функций распределения асимметричен. Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной скоростью m. Скорости, превышающиеm, встречаются чаще, чем меньшие скорости. С повышением температуры максимум распределения сдвигается в направлении больших скоростей. Одновременно кривая становится более плоской (площадь, заключенная под кривой, не может измениться, так как число молекул Nостается постоянным).
|
Для определения наиболее вероятной скорости нужно исследовать на максимум функцию распределения Максвелла (приравнять первую производную к нулю и решить относительно ). В результате получаем
.
Мы опустили множители, не зависящие от . Осуществив дифференцирование, придем к уравнению
.
Первый
сомножитель (экспонента) обращается в
нуль при
= ,
а третий сомножитель ()
при
= 0. Однако из графика
(рис.8.6.)
видно, что значения
= 0 и
= соответствуют минимумам функции (8.28).
Следовательно, значение,
отвечающее максимуму, получается из
равенства нулю второй скобки:
.
Отсюда
. (8.29)
Введем обозначения для функции распределения молекул по скоростям (8.28):
. (8.30)
Известно, что среднее значение некоторой физической величины (x)можно вычислить по формуле
. (8.31)
Из (8.31) получим выражения для среднего значения модуля скорости и среднего значения квадрата:
, (8.32)
. (8.33)
Таким образом, средняя скорость молекул (ее называют также средней арифметической скоростью) имеет значение
. (8.34)
Квадратный корень из выражения (8.33) дает среднюю квадратичную скорость молекул:
. (8.35)
Отметим, что она совпадает с формулой (8.24).
На
рис.(8.7.) приведен график функции
распределения Максвелла. Вертикальными
линиями отмечены три характерные
скорости
.