§ 2.6. Движение центра масс системы

Точка С, положение которой определяется радиус-вектором:

, (2.17)

называется центром масс системы материальных точек.

Здесь m_i  масса i-й частицы,

r_i  радиус-вектор, задающий положение этой частицы,

m  суммарная масса системы.

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

Продифференцировав r_C по времени, найдем скорость центра масс:

. (2.18)

( V_i  скорость, p_i  импульс i- й частицы, р – импульс системы).

Согласно (2.18) суммарный импульс системы можно представить в виде произведения массы системы на скорость центра масс:

p = mV_C , (2.19)

Подставив это выражение в формулу (2.16), получим уравнение движения центра масс:

(2.20)

( а_C – ускорение центра масс). Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а_C = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц-системой). Эта система инерциальна. Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется лабораторной системой (сокращенно л- системой).

Контрольные вопросы

1. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?

2. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

3. Чему равен вес свободно падающего тела?

4. Какой знак имеет скалярное произведение силы трения и скорости тела?

5. Чему равен импульс системы материальных точек в системе центра масс?

6. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил ?

Задачи

1. Пуля пробивает две примыкающие друг к другу коробки с жидкостями: вначале коробку с глицерином, затем такую же коробку с водой. Как изменится конечная скорость пули, если коробки поменять местами? Другими силами, действующими на пулю, кроме силы вязкости F=-a, пренебречь.

2. Движение материальной точки задано уравнениями x= t³, y= t. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направ­лению?

3. Скорость материальной точки задана уравнениями _x=Asin t, _y=Acos t. Изменяется ли сила, действую­щая на точку: а) по модулю;

б) по направлению?

4. Шарик, висящий на нити длиной l, после горизон­тального толчка поднимается на, высоту H, не сходя с окружности. Может ли его скорость оказаться равной нулю: а) при H<l б) при H>l?

5. Два тела массами т₁>m₂ падают с одинаковой вы­соты. Силы сопротивления считать постоянными и одина­ковыми для обоих тел. Сравнить время падения тел.

6. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силыF. Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициента трения брусков о плоскость?

7. Брусок массойm₁=1 кг покоится на бруске массой m₂=2 кг. На нижний брусок начала дейст­вовать горизонтальная сила, возрастающая пропорционально вре­мени, ее модуль F=3t (F - в Н, t - в с). В какой момент времени верхний брусок начнет проскаль­зывать? Коэффициент трения меж­ду брусками =0,1, трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало. Принять g=10 м/с².

8. Два шарика а и б, подвешенные на нитях в общей точке 0, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости.

9. Коническая воронка вращается с постоянной угловой скоростью. Внутри воронки на стенке лежит тело, которое может свободно скользить вдоль образующей конуса. При вращении тело находится в равновесии относительно стенки. Является это равновесие устойчивым или неустойчивым?

25