§ 9.6. Молярная теплоемкость при постоянном давлении. Уравнение Майера
Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (9.8) можно записать в виде
, (9.11)
где
не зависит от вида процесса (внутренняя
энергия идеального газа не зависит ни
отp, ни отV,
а определяется лишьT)
и всегда равнаCV.
Дифференцируя уравнение состояния
идеального газа для 1-го моля
pV=RT поT(p=const),
получаем
Cp = CV + R.(9.12)
Это есть уравнение Майера. Cpвсегда большеCVна величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа.
Учитывая, что
,
из уравнения Майера получаем
. (9.13)
При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа соотношение Cp и CV:
. (9.14)
Cp и CV определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы, однако, последние проявляются лишь при высоких температурах.
Расхождение теории теплоемкостей идеального газа с экспериментом.
Формулы для теплоемкости (9.10) и (9.13) дают хорошее совпадение с экспериментом для одноатомных и многих двухатомных газов при комнатной температуре, например водорода, азота, кислорода и др. Для них теплоемкость оказывается весьма близкой к CV = 5/2R.
Однако у двухатомного газа хлораCl2теплоемкость равна примерно6/2R, что невозможно объяснить (у двухатомной молекулы в принципеCV может быть равно либо5/2R, либо 7/2R).
У трехатомных газов наблюдается систематические отклонения от предсказаний теории.
7/2R
У жестких молекул трехатомных газов, если только молекулы не лежат на одной прямой, теплоемкость должна быть 6/2R. Эксперимент дает несколько большую величину, которую, однако, нельзя объяснить возбуждением какой-то дополнительной степени свободы. Эксперимент показал, что теплоемкость зависит от температуры, что находится в полном противоречии с формулами (9.10) и (9.13). Рассмотрим для примера более подробно теплоемкость молекулярного водорода. Молекула водорода двухатомна. Достаточно разреженный водородный газ очень близок к идеальному и является удобным объектом для проверки теории. Для двухатомного газаCVравно либо5/2R, либо7/2R, но от температуры теплоемкость не должна зависеть, однако в действительности теплоемкость молекулярного водорода зависит от температуры (рис.9.3): при низкой температуре (в области 50 К) его теплоемкость равна3/2R, при комнатной —5/2R, а при очень высокой температуре теплоемкость становится равной7/2R.Таким образом, молекула водорода ведет себя при низкой температуре как точечная частица, у которой отсутствуют внутренние движения, при нормальной температуре — как жесткая гантель и наряду с поступательным движением также совершает вращательное движение, а при очень высокой температуре к этим движениям добавляются также колебательные движения атомов, входящих в молекулу. Дело происходит так как будто благодаря изменению температуры происходит включение (или выключение) различных степеней свободы: при малой температуре включены лишь поступательные, а затем и колебательные степени свободы.
Однако переход от одного режима движения к другому происходит не скачком при определенной температуре, а постепенно в некотором интервале температур. Это объясняется тем, что при определенной температуре возникает возможность для молекул переходить в другой режим движения. Но эта возможность не реализуется сразу всеми молекулами, а лишь их частью. По мере изменения температуры все большая доля молекул переходит в другой режим движения и поэтому кривая теплоемкости изменяется плавно в некотором интервале температур.
При достаточно малой температуре движение молекулы водорода между столкновениями подобно поступательному движению твердого тела.
Когда температура повышается, включаются вращательные степени свободы и картина движения молекулы несколько изменяется — молекула в процессе прямолинейного движения между столкновениями вращается.
При дальнейшем повышении температуры включаются колебательные степени свободы и движение молекулы еще более усложняется, поскольку в процессе поступательного движения составляющие ее атомы колеблются вдоль оси, изменяющей свою ориентацию в пространстве.
Объяснить зависимость теплоемкости от температуры классической теории не удалось. Количественную характеристику зависимости, обусловленной квантовыми закономерностями движения, можно дать лишь на основе решения уравнений движения квантовой механики.