§ 4.4. Теорема Штейнера

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем называть эти самые оси также осями О и А. Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиусы – векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r , соответственно.

(На рис.4.3. изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка). Тогда r = r – a , a означает радиус-вектор .Следовательно, r ² = r² + a² – 2(ar). Учитывая, что для твердого тела момент инерции определяется через интеграл , получим

.

Интеграл слева есть момент инерции I_A тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде , гдеR_C – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, R_C есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

I_A = I_O + ma² – 2m(aR_C). (4.12)

Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда R_C = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид

I_A = I_C + ma². (4.13)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Штейнера.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma², где а – расстояние между осями.

§ 4.5. Вычисление моментов инерции

Момент инерции тела относительно какой –либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис.4.4.). Для момента инерции можно написать IA = kml2, где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2)2. Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент

инерции равен . Таким образом,I_C = km(l/2)². Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z ( рис.4.5.) равен

I_Z = mR² , (4.17)

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии I_X = I_У .

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т.е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис.4.6.). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2rdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI_z = r²dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S =  R ² – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

В

Z

m(x,y,z)

рис.4.7.

ычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительномомент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О:  = Σ mR². В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу  = ∫ R²dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Y X

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис.4.7.). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у2 + z2, z2 + x2, x2+у2, а моменты инерции относительно тех же осей IX = m (y2 + z2), IУ = m (z2 + x2), IZ = m (x2 + y2).

Сложим эти три равенства, получим I_X + I_У + I_Z = 2m(x² + у² + z²).

Но х² +у² + z² = R², где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

I_X + I_У + I_Z = 2θ. (4.19)

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR². Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I_X = I_У = I_Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Момент инерции сплошного однородного шара.

Сплошной шар можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами dm (см. рис.4.6.). Так как шар по предположению однороден, то , гдеdV = 4 r² dr – объем сферического слоя, а – объем всего шара. По формуле (4.20) момент инерции сферического слоя относительно диаметра равен.Интегрируя, получаем момент инерции сплошного шара

. (4.21)