§ 4.2. Момент импульса и момент сил относительно

неподвижной оси

Векторное уравнение (4.4.) эквивалентно трем скалярным уравнениям:

, (4.5)

которые получаются из уравнения (4.4.) путем проектирования на неподвижные оси декартовой системы координат. Индекс «внеш.», указывающий на то, что при вычислении момента сил внутренние силы могут не приниматься во внимание, в дальнейшем обычно будет опускаться. Таким образом, под М в уравнении моментов всегда будет подразумеваться момент внешних сил. Величины L_x и М_х называются соответственно моментами импульса и сил относительно оси Х. Аналогично говорят о моментах импульса и сил относительно координатных осей Y и Z.

Вообще, моментами L_x и М_х импульса и сил относительно произвольной оси Х называют проекции векторов L и М на эту ось в предположении, что начало О лежит на рассматриваемой оси.

Уравнение

(4.6.)

называется уравнением моментов относительно неподвижной оси Х.

Когда момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. Это – закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси.

§ 4.3. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения.

Если материальная точка вращается по окружности радиуса r (см. рис.4.2.), то момент ее импульса относительно оси вращения О равен L = mVr. Пусть   угловая скорость вращения, тогда V = r и, следовательно, L = mr2.

Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью ω, то L = , где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величину  как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится

, (4.7)

где

. (4.8)

Величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси. Уравнение (4.7) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость.

Если на вращательное движение системы материальных точек накладывается еще радиальное движение их, а также движение параллельно оси, то наличие таких движений не отразится на справедливости формулы (4.7). Это следует из того, что момент импульса материальной точки зависит от ее скорости V линейно. Когда же скорость V направлена по радиусу или параллельно оси вращение, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно не сказываются на виде связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и ее угловой скоростью. Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции I перестает быть постоянной величиной, а меняется во времени в соответствии с изменением мгновенной конфигурации системы. В этом случае уравнение (4.8) принимает вид

(4.9)

где М – момент внешних сил относительно оси вращения.

Это – основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции I, роль скорости – угловая скорость , роль силы – момент силы М, роль импульса – момент импульса L. Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции I при вращении остается постоянным, и уравнение (4.9) переходит в или

I = M, (4.10)

где  = d/dt – угловое ускорение.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде

,

или

. (4.11)

Эти выражения напоминают соответствующие выражения для кинетической энергии материальной точки. Они получаются из последних формальной заменой mI, V, pL.