Программа экзамена по курсу аналитической механики МГУ / EP - Analytical Mechanics - A.V. Karapetyan
.pdfПрограмма экзамена по аналитической механике
Лектор А. В. Карапетян
8 семестр, 2006 г.
1.Связи и их классификация.
2.Принцип д’Аламбера – Лагранжа для систем с идеальными связями. Уравнения Лагранжа первого рода.
3.Общие теоремы динамики как следствие принципа д’Аламбера – Лагранжа.
4.Обобщённые координаты и обобщённые силы. Уравнения Лагранжа второго рода. Случай потенциальных сил.
5.Структура кинетической энергии. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных.
6.Классификация сил. Обобщённо-консервативные системы и обобщённый интеграл энергии.
7.Уравнения Лагранжа для относительного движения. Уравнения движения в плоской ограниченной круговой задаче трёх тел.
8.Уравнения Рауса. Циклические координаты и интегралы. Метод Рауса игнорирования циклических переменных.
9.Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты.
10.Линеаризация уравнений движения приведённой по Раусу системы около стационарного движения.
11.Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.
12.Принцип Гамильтона – Остроградского.
13.Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Интегральный инвариант Картана (без доказательства).
14.Уравнения Уиттекера и Якоби.
15.Принцип Мопертюи – Лагранжа. Принцип наименьшего действия в форме Якоби.
16.Канонические преобразования и их групповые свойства.
17.Критерии каноничности преобразований.
18.Сохранение гамильтоновой структуры уравнения при канонических преобразованиях.
19.Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма.
20.Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Уравнение Гамильтона – Якоби. Теорема Якоби.
21.Уравнение Гамильтона – Якоби для консервативных систем. Характеристическая функция Гамильтона. Случаи разделения переменных.
22.Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах.
23.Переменные действие – угол (на примере задачи о движении математического маятника).
24.Элементы теории возмущений (математический маятник в окрестности устойчивого положения равновесия как возмущение линейного осциллятора).
25.Основные понятия теории устойчивости (определение устойчивости и неустойчивости, уравнения возмущённого движения, функции Ляпунова).
26.Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
27.Теорема Четаева о неустойчивости.
28.Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия и понятие об её обращении. Коэффициенты устойчивости Пуанкаре. Степень неустойчивости.
29.Теорема Кельвина – Четаева о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия.
30.Треугольные точки либрации в плоской круговой ограниченной задаче трёх тел и их устойчивость (в линейном приближении).
Последняя компиляция: 20 апреля 2006 г. Обновления документа на сайте http://dmvn.mexmat.net.
Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.
1