Лекции по курсу Механика сплошных сред / Continuum Mechanics - D.V. Georgievsky

Ответы на вопросы по курсу ¾Механика сплошной среды¿1

Татьяна Антонова2

21 января 2008 г.

12007/08 учебный год, 5 курс, 1 поток. Лектор проф. Д.В. Георгиевский. 2TEXническую поддержку оказывал Облаков Константин.

ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Вопрос 1. Виды произведений векторов и тензоров второго ранга

В прямоугольной системе координат базисные векторы обозначаются через ~ei. Знак суммирования от одного до трех мы будем опускать. Запись ~a = ai~ei означает ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3.

Символом Леви–Чивиты обозначается следующая функция: ǫijk = 1, если перестановка ijk четная, ǫijk = −1, если перестановка нечетная, ǫijk = 0, если среди чисел ijk есть повторяющиеся.

Произведения векторов бывают следующие:

Тензоры второго ранга будем обозначать большими латинскими буквами с тильдой внизу A =

f

= Aij~ei ~ej

Произведения тензоров второго ранга бывают следующие: 1) Скалярное произведение.

Это произведение соответствует перемножению матриц. 2) Полная свертка.

A : B = Aij Bklδjkδil = Aij Bji f f

Это след произведения матриц A и B .

ff

3) Векторное произведение.

A × B = Aij Bkl~ei ~ej × ~ek ~el = Aij Bklδilǫjkm~em = Aij Bkiǫjkm~em f f

~

Вопрос 2. Оператор набла . Дивергенция, ротор, градиент и оператор Лапласа вектора и тензора второго ранга.

дивергенция, ротор и градиент получаются в результате различных произведений вектора набла на некий вектор или тензор второго ранга.

1

3) Тензорное произведение.

~

~a = ~ei∂i aj~ej = aj,i~ei ~ej = Grad(~a)

Тензорное произведение вектора набла с тензором второго ранга не рассматривается, зато рассматривается тензорное произведение со скалярной функцией:

~

p = p,i~ei = grad(p)

Вопрос 3. Разложение тензора второго ранга на девиатор и шаровую часть

Шаровой частью тензора называется следующее выражение:

Разность тензора и его шаровой части называется девиатором:

Шаровая часть девиатора равна нулю.

Вопрос 4. Собственные значения и собственные векторы симметрического тензора второго ранга.

Все собственные значения симметрического тензора второго ранга вещественны. Можно найти ортогональный базис из собственных векторов.

Вопрос 5. Инварианты тензора второго ранга. Теорема Гамильтона–Кэли.

Построим характеристический многочлен матрицы, задающей данный тензор. Его коэффициенты будут инвариантны относительно замен базиса. Если подставить матрицу в её характеристический многочлен, получится 0.

Вопрос 6. Полиада. Тензоры четвертого ранга. Единичный тензор четвертого ранга.

При тензорном произведении тензоров второго ранга получается тензор четвертого ранга. Может, это произведение они называются полиадой. В общем, так:

Вопрос 7. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Циркуляция вдоль контура. Поток через поверхность.

Векторное поле ~v называется потенциальным, если существует функция ϕ, называемая потенциалом, такая что ~v = grad ϕ. В таком случае rot ~v = 0. Поверхности, на которых ϕ = const, называются

эквипотенциальными.

Векторное поле ~v называется соленоидальным, если существует функция ψ, такая что ~v = rot ψ. В таком случае div ~v = 0.

Циркуляцией векторного поля ~a вдоль контура называется следующее выражение:

I →−

~adl

.

Потоком векторного поля через поверхность Σ называется

Z

~a · ~ndΣ

Σ

2

Вопрос 8. Теорема Остроградского–Гаусса. Теорема Стокса.

В лекции было без доказательств. Надеюсь, на экзаменах будет так же.

Теорема Гаусса–Остроградского. Пусть V некий объем, ограниченный поверхностью Σ, ~a

векторное поле. Имеет место равенство:

Z Z

div ~adV = ~a · ~ndΣ

V Σ

Теорема Стокса. Пусть Σ поверхность, затягивающая контур , ~a векторное поле. Имеет

Σ

Вопрос 9. Криволинейные координаты. Фундаментальная матрица. Символы Кристоффеля.

В криволинейных координатах радиус-вектор зависит от точки не линейно. ~r = ~r(y1, y2, y3). Ло-

~ ∂~r

кальным ковариантным базисом называется следующий набор векторов: ki = ∂yi

~ ~

Фундаментальной матрицей называется матрица с элементами gij = ki · kj , Обратная к ней матрица состоит из элементов gij .

Векторы в криволинейной системе координат можно дифференцировать по координатам. Для

Такое дифференцирование называется ковариантным.

Вопрос 10. Ковариантное дифференцирование компонент вектора и тензора второго ранга. Физические компоненты.

Про дифференцирование см. выше. Про тензоры напишу, когда откопаю конспекты по дифгему. Физические компоненты векторов и тензоров второго ранга определяются следующим образом:

aΦ = √aα

α gαα

BΦ = √ Bαβ

αβ gααgββ

Все физические компоненты имеют одинаковую размерность (что ценно при решении задач).

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Вопрос 11. Лагранжево и Эйлерово описания движения сплошной среды. Их эквивалентность.

Для каждой точки среды зададим два набора координат: эйлеровы и Лагранжевы координаты. Лагранжевы координаты обозначаются ξi и представляют собой евклидовы координаты той точки пространства, в которой данная точка среды находилась в момент t = 0. Лагранжевы координаты

являются постоянными для данной точки среды. Они в общем случае криволинейны, так как со временем среда могла как угодно деформироваться.

Эйлеровы координаты координаты той точки, в которой данная точка среды находится в данный момент. Они зависят от лагранжевых координат и времени xi = xi(ξ1, ξ2, ξ3, t). Вектор, соединяю-

щий начальное и конечное положение точки среды, называется вектором перемещения и обозначается

~u.

~

Лагранжево описание состоит в задании закона движения ~x = ~x(ξ, t). На функцию ~x накладывают

следующие условия:

3

1)

условие непрерывности среды.

~~

2)ξ = ~x(ξ, 0) вытекает из определения Эйлеровых и Лагранжевых координат. Эйлерово описание состоит в задании поля скоростей ~v(x1, x2, x3, t).

Для перехода от Лагранжева описания к Эйлерову необходимо найти производные dxdti и обратить

~

закон движения, чтобы поле скоростей зависело не от ξ, а от ~x.

Для перехода от Эйлерова описания к Лагранжеву необходимо решить систему дифференциальных уравнений: dxdti = vi(~x, t). Граничными условия будут условия xi(0) = ξi

Так как и тот, и другой переход осуществляется единственным способом, Лагранжев и Эйлеров подходы эквивалентны.

Вопрос 12. Полная, частная и конвективная производные по времени. Установившееся и неустановившееся движение. Запись ускорения в форме Громеки-Лэмба.

Движение называется установившимся, если поле скоростей ~v = ~v(x), то есть не зависит явным

образом от времени. Ускорение

Таким образом, получаем следующее представление:

w~ = ∂~v∂t + rot ~v × ~v + 12 grad |~v|2

Вопрос 13. Меры деформации. Лагранжев и эйлеров тензор конечных деформаций.

Ekl(~x, t) эйлеров тензор конечных деформаций (тензор Альманзи).

Лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций связаны следующим соотношением:

Lij dξidξj = Ekldxk dxl.

Если представить xi как ui + ξi и раскрыть все скобки, тензор Лагранжа примет следующий вид:

4

Если проделать аналогичную операцию с эйлеровым тензором, считая ξi = xi − ui, получим

Вопрос 14. Тензоры Коши и Альманзи. Их связь с тензором дисторсии.

Тензор Альманзи это то же, что эйлеров тензор конечных деформации. Представим его так:

Тензор Коши является симметричной частью тензора дисторсии.

Вопрос 15. Бесконечно малые деформации. Геометрическая линейность. Соотношения Коши.

Не поняла, о чем здесь нужно рассказывать.

Вопрос 16. Тензор поворотов. Вектор поворотов. Формулы Чезаро.

Тензором поворотов называется антисимметричная часть тензора дисторсии. Он обозначается wij

uij = εij + wij

1

wij = 2 (ui,j − uj,i)

Тензор поворотов антисимметричен, потому у него только три независимые компоненты. Ему можно поставить в соответствие вектор поворотов w~ = 12 ǫijkwkj~ei.

Формулы Чезаро

Пусть имеются две точки p1 и p2 среды, в точке p1 известно значение перемещения u(1)i и тензора поворотов wij(1) , задан тензор малых деформаций Коши. Требуется найти u(2)i значение перемещения в точке p2.

Соединим точки кривой, полностью лежащей внутри среды. Верно следующее соотношение:

Из трех слагаемых неизвестным является только последнее. Выпишем следующее соотношение:

5

Отсюда получаем следующее:

1

wik,l = 2 (ui,kl − uk,il) = εil,k − εkl,i

Объединяя результаты, получаем:

Эти формулы носят название формул Чезаро.

Вопрос 17. Условия совместности деформаций в интегральной и дифференциальной формах. Тождества Сен-Венана

Введем новое обозначение: Ail = (xk − x(2)k ) · (εil,k − εkl,i) − εil.

Рассмотрим некий замкнутый контур , полностью лежащий в среде, и применим к нему формулы

а значит,

I Z

0 = Aildxl = ǫnjlAil,j · ~nndΣ =

Σ

Z

=ǫnjl[(xk − x(2)k ) · (εil,k − εkl,i) − εil],j · ~nndΣ =

Σ

Z

=ǫnjl[δjk(εil,k − εkl,i) + (xk − x(2)k ) · (εil,kj − εkl,ij ) − εil,j ]nndΣ

Σ

Отсюда получаем интегральную форму условия совместности деформаций (куда Георгиевский дел εjl,i, я поняла c трудом: ǫnjlεjl,i = 0 в силу симметричности ε):

Z

ǫnjl(xk − x(2)k ) · (εil,kj − εkl,ij )nndΣ = 0

Σ

Дифференциальная форма условия выглядит так: ǫnjl(εil,kj − εkl,ij ) = 0. Такое условие является

достаточным.

Положим n = 1. Получим ǫ1jl(εil,kj − εkl,ij ) = 0. Индексы jl равны либо 23, либо 32. Получим

εi3,k2 − εk3,i2 − εi2,k3 + εk2,i3 = 0.

Для индексов i и k только два варианта их значений имеют принципиальное различие.

1) i = 2, k = 3. Получаем

ε23,32 − ε33,22 − ε22,33 + ε32,23 = 0;

ε22,33 + ε33,22 = 2ε23,32 .

2) i = 1, k = 2. Получаем

ε13,22 − ε23,12 − ε12,23 + ε22,13 = 0;

ε13,22 + ε22,13 = ε12,23 + ε23,12.

6

Обобщим на случай произвольных индексов. Получим два условия

εαα,ββ + εββ,αα = 2εαβ,αβ ;

εαα,βγ + εβγ,αα = εβα,αγ + εγα,αβ

Эти условия называются условиями Сен-Венана.

Вопрос 18. Физический смысл компонент тензора деформации. Главные деформации.

Введем обозначение li = |dξdξi|. В таком случае верны следующие равенства:

p ~

|d~x| = 1 + 2εij lilj |dξ|

Рассмотрим различные случаи:

1) Деформации происходили только в направлении x1, то есть li = δ1i. В таком случае

p ~ ~ |d~x| = 1 + 2εij lilj |dξ| ≈ (1 + ε11)|dξ|,

.

Таким образом, ε11 относительное изменение длины волокна, которое до деформации лежало

внаправлении x1.

2)Рассмотрим изменение объема среды.

dV0 = dξ1dξ2dξ3; dV = dx1dx2dx3;

dV = (1 + ε11)dξ1(1 + ε22)dξ2(1 + ε33)dξ3 ≈ (1 + ε11 + ε22 + ε33 )dV0.

~ ~

3) Рассмотрим волокна dξ{2}, dξ{3}, лежащие вдоль осей ξ2 и ξ3 соответственно. При деформации

Таким образом, ε23 половина косинуса угла между волокнами, лежащими в направлениях ξ2 и ξ3.

Вопрос 19. Линии уровня. Векторные линии. Линии тока и траектории частиц.

Изолиниями, или линиями уровня данной функции называются кривые, на которых данная функция постоянна. Векторными линиями данного векторного поля называются линии, которых векторное поле касается в каждой точке.

Пусть имеется поле скоростей ~v = vi~ei. Линиями тока называются векторные линии этого поля.

Уравнения линий тока:

7

Траекторией частицы называется ГМТ, заметаемых радиус-вектором частицы. Уравнения траекторий:

Линии тока совпадают с траекториями частиц только тогда, когда |~v~v| не меняется со временем.

Вопрос 20. Трубки тока и струи. Элементарные трубки тока. Тензор скоростей деформации. Тензор вихря. Вектор вихря.

Трубка тока это объединение линий тока, проходящих через все точки данного контура. Струя то же самое, только с траекториями.

Элементарная трубка тока это, вроде, когда маленький отрезок контура взяли. Но я не уверена. Рассмотрим дифференциал dvi = vi,j dxj . Получился тензор. Разложим его на симметричную и

антисимметричную часть: vi,j = vij + Ωij .

vij = 12 (vi,j + vj,i) тензор скоростей деформаций;

Ωij = 12 (vi,j −vj,i) тензор вихря. Он имеет три различных ненулевых компоненты, и потому ему

Вопрос 21. Первая теорема Гельмгольца.

Заметим некоторые связи между тензорами v , Ω , ε , w . Запишем производную перемещения:

f f e f

dui = vidt. Разлагая обе части на симметричную и антисимметричную часть, получим: dεij = vij dt; dwij = Ωij dt.

Выразим тензор вихря через вектор вихря: ǫimnΩi = 12 ǫimnǫijkΩkj = 12 (δmj δnk − δmk δnj )Ωkj = = 12 (Ωnm − Ωmn) = Ωnm

Теперь подставим все это в выражение для dvi:

dvi = vij dxj + Ωij dxj = ǫkjiΩk dxj + vij dxj .

Получим равенство:

~

d~v = [Ω × d~x] + v d~x.

f

Мы доказали первую теорему Гельмгольца.

Вопрос 22. Вихревые линии. Вихревые трубки. Интенсивность вихревой трубки. Вторая теорема Гельмгольца.

~

Рассмотрим векторное поле Ω. Векторные линии этого поля называются вихревыми линиями,

векторные трубки вихревыми трубками.

~

Выразим вектор Ω через ~v:

~

Получается, поле Ω соленоидально, значит, его дивергенция рана нулю.

Рассмотрим объем, заключенный между двумя сечениями Σ1 и Σ2 некой вихревой трубки, и

запишем для него теорему Гаусса-Остроградского:

Z Z Z Z

~ ~ ~ ~

0 = div ΩdV = Ω · ~ndΣ + Ω · ~ndΣ − Ω · ~ndΣ

V Sδok Σ1 Σ2

Первое слагаемое равно нулю, так как поток через боковую поверхность отсутствует. Отсюда получаем вторую теорему Гельмгольца: поток вектора вихря через любое сечение вихревой трубки равен одной и той же величине, называемой интенсивностью вихревой трубки.

Z

~

i = Ω · ~ndΣ

Σ

Вопрос 23. Кинематическая теорема Кельвина

8

Пусть γ некий путь, соединяющий точки A и B. Имеет место следующее:

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС И СИЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ

Вопрос 24. Плотность. Закон сохранения массы (интегральная формулировка). Производная по времени от интеграла по движущемуся "жидкому" объему.

Плотностью в точке будем называть следующую величину:

Будем рассматривать только те случаи, когда предел существует. Массой называется интеграл плот-

ности:

Z

ρ(~x, t)dV = M

V

"Жидким объемом" будем называть объем, который состоит из одних и тех же точек среды. Для "жидкого объема" постулируем закон сохранения массы:

d Z

dt V

ρ(~x, t)dV = 0

Вопрос 25. Уравнение неразрывности в эйлеровых и лагранжевых координатах. Условие несжимаемости. Несжимаемые среды. Лемма "об игнорировании плотности".

Распишем интегральную форму закона сохранения массы:

Отсюда получаем дифференциальную форму закона сохранения масс уравнение неразрывности в

эйлеровых координатах:

dρdt + ρ div ~v = 0.

Доказательство:

9