Метод Якоби

1 . 2 . 1 . Основные определения и спектральные свойства матриц

Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Конструирование летательных аппаратов

Файл:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

476.35 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

www.uchites.ru

1.2. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

www.uchites.ru

получаем линейно независимые собственные векторы

соответствующие собственным значениям λj , j =

Рассмотрим				матрицу		A	в n - мерном вещественном пространстве Rn
						n×n
векторов
x = (x	x	2	Κ x	n	)T .
1		2		n
1. Собственным вектором x матрицы A называется ненулевой вектор (x ≠ ϑ) ,
удовлетворяющий равенству
Ax = λx ,							(1.21)

где λ - собственное значение матрицы A, соответствующее рассматриваемому собственному вектору.

2.Собственные значения матрицы A с действительными элементами могут быть вещественными различными, вещественными кратными, комплексными попарно сопряженными, комплексными кратными.

3.Классический способ нахождения собственных значений и собственных векторов известен и заключается в следующем:

для однородной СЛАУ, полученной из (1.21)

(A −λE)x =ϑ, ϑ = (0 0 Κ 0)T

ненулевые решения ( x ≠ϑ , а именно такие решения и находятся) имеют место при

det(A −λE)= 0,

(1.22)

причем уравнение (1.22) называют характеристическим уравнением, а выражение в левой части - характеристическим многочленом;

каким-либо способом находят решения λ1 , λ2 ,Κ , λn алгебраического уравнения (1.22) n-й степени (предположим, что они вещественны и различны);

решая однородную СЛАУ (1.22) для различных собственных значений λj ,

j =1, n ,
(A −λj E)x j =ϑ ,	j =1, n ,

4. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического

уравнения (2.79), построенного для		произвольной матрицы An×n	,
соответствует не более k	(≤ k) линейно независимых собственных векторов.
Если количество линейно	независимых	собственных векторов матрицы	An×n

совпадает с размерностью пространства R n , то их можно принять за новый базис,

в котором матрица	An×n примет диагональный вид
Λ =U −1 A U ,	(1.23)

на главной диагонали которой находятся собственные значения, а столбцы

матрицы	преобразования U		являются собственными векторами матрицы A
(матрицы	Λ и A,	удовлетворяющие равенству (1.23), называются подобными).
Cобственные значения подобных матриц Λ и A совпадают.
5. Симметрическая матрица A (A = AT )				имеет полный спектр λj		, j =
							1, n
вещественных		собственных	значений;	положительно	определенная
симметрическая		матрица	(A = AT , (Ax, x)> 0) имеет полный			спектр

вещественных положительных собственных значений; k-кратному корню характеристического уравнения (2.79) симметрической матрицы соответствует ровно k линейно независимых собственных векторов; симметрическая матрица имеет ровно n ортогональных собственных векторов, приняв которые за новый базис (т.е. построив матрицу преобразования U, взяв в качестве ее столбцов координатные столбцы собственных векторов), можно преобразовать симметрическую матрицу A к диагональному виду с помощью преобразования

(1.23); для симметрической матрицы A матрица преобразования U в (1.23)

является ортогональной U −1 =U T	и, следовательно, преобразование (1.23) имеет
вид
Λ =U T A U .	(1.24)

www.uchites.ru

1 . 2 . 2 . Метод вращений Якоби численного решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Метод вращений Якоби применим только для симметрических матриц Anxn

( A = AT ) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Он основан на отыскании с помощью итерационных процедур матрицы U в преобразовании подобия Λ = U −1 AU , а поскольку для симметрических матриц A матрица преобразования подобия U является ортогональной (U −1 = U T ), то Λ = U T AU ,

где Λ - диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали

	λ1 ...	0

Λ =	... Ο	... .

0 ...		λn

Пусть дана симметрическая матрица A. Требуется для нее вычислить с точностью ε все собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Алгоритм метода вращения следующий:

Пусть известна матрица A(k ) на k–й итерации, при этом для k=0 A(0) = A .

1. Выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент aij(k )

матрицы A(k ) ( a(k ) = max a(k ) ) .

ij < lm l m

2. Ставится задача найти такую ортогональную матрицу U (k ) , чтобы в

результате преобразования					подобия		A(k +1) =U (k )T A(k )U (k ) произошло
обнуление элемента aij(k +1) матрицы						A(k +1) . В качестве ортогональной
матрицы выбирается матрица вращения, имеющая следующий вид:
		i		j
1		Μ		Μ
	Ο	Μ		Μ	0
	Ο	Μ		Μ	0
	1	Μ		Μ
	1	Μ		Μ
		cosϕ(k ) Λ Λ		−sinϕ(k ) Λ Λ Λ
Λ Λ Λ Λ		cosϕ(k ) Λ Λ		−sinϕ(k ) Λ Λ Λ			i
		Μ 1		Μ
		Μ 1		Μ			,
U k =		Μ	Ο	Μ			,
		Μ	1	Μ
		Μ	1	Μ
				cosϕ(k ) Λ Λ Λ			j
Λ Λ Λ Λ sinϕ(k ) Λ Λ				cosϕ(k ) Λ Λ Λ			j
		Μ		Μ 1
	0	Μ		Μ	Ο
	0	Μ		Μ	Ο
		Μ		Μ	1
		Μ		Μ	1

www.uchites.ru
В матрице вращения на пересечении i −й строки и			j −го столбца находится
элемент uij(k ) = −sin ϕ(k ) , где ϕ(k ) -		угол вращения, подлежащий определению.
Симметрично относительно главной диагонали ( j -я строка, i -й				столбец)
расположен элемент	u(jik ) = sin ϕ(k ) ;	Диагональные элементы uii(k ) и		u(jjk ) равны
соответственно uii(k )	= cosϕ(k ) , u kjj	= cosϕ(k ) ; другие	диагональные	элементы

umm(k ) =1, m =1, n, m ≠ i, m ≠ j ; остальные элементы в матрице вращения U (k ) равны нулю.

Угол вращения ϕ(k ) определяется из условия aij(k+1) = 0 :

ϕ	(k )	=	1	arctg		2aij(k )	,
ϕ		=	2	arctg		aii(k ) −a(jjk )	,
			2			aii(k ) −a(jjk )
причем если aii(k )					= a(jjk ) , то ϕ(k ) =			π .
								4

3. Строится матрица A(k +1)

A(k +1) =U (k )T A(k )U (k ) ,

в которой элемент aij(k +1) ≈ 0.

В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов:

t(A

)

∑(alm

1/ 2

(k +1)

+1)

)

l,m;l<m

Если t(A(k +1) )> ε,

то итерационный процесс

A(k +1)

=U (k )T A(k )U (k )

=U (k )TU (k −1)T ...U (0)T A(0)U (0)U (1) ...U (k )

продолжается.

Если t(A(k +1) )< ε , то итерационный процесс останавливается, и в

качестве

искомых

собственных

значений

принимаются

≈ a(k +1) ,

≈ a(k+1) ,...,λ

≈ a(k +1) .

Координатными столбцами собственных векторов матрицы A в единичном базисе будут столбцы матрицы U =U (0)U (1) ...U (k ) , т.е.

(x1 )Т	= (u11 u21 ...un1 ),			(x2 )Т = (u12 u22	...un2 ),	(xn )Т = (u1n u2n ...unn ),
причем	эти		собственные векторы		будут	ортогональны между	собой, т.е.
(xl , x m )≈ 0, l ≠ m.
Пример 1.7. С				точностью ε = 0,3 вычислить собственные			значения и
собственные векторы матрицы
4		2	1
A = 2		5	3 ≡ A(0) .

		3
1		3	6

Р е ш е н и е.

www.uchites.ru

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы

A(0) , т.е. находим aij(0) , такой что

aij(0)

= max

alm(0)

. Им является элемент a23(0) = 3 .

l<m

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

2 3

(0)

arctg

= 0

cosϕ

−sinϕ

;ϕ

(0)

5 −6

sinϕ

cosϕ

(0)

= −0,7033;

sin ϕ(0) = −0,65; cosϕ(0)

= 0,76;

				1			0	0
U		(0)					0,76		; .
U				= 0			0,76	0,65	; .
							−0,65
				0			−0,65	0,76
3). Вычисляем матрицу A(1) :											2,06
								4		0,87	2,06
A	(1)		=U		(0)	T	(0)			2,46
A			=U				A U	= 0,87		2,46	−0,03 .
										−0,03
								2,06		−0,03	8,54

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент a23(1) = 0 .

1/ 2

t(A(1) )= ∑(alm(1) )

= (0,872 + 2,062 +(−0,03)2 )1/ 2 > ε , следовательно

l,m; l<m

итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации (k =1) :

(1)

= 2,06;

(1)

max

(1)

l,m; l<m

U (1)

ϕ(1)

U (1)

	cosϕ(1)			0	−sinϕ(1)
		0		1			0			;
=		0		1			0			;
	sin ϕ(1)			0	cosϕ(1)

=	1	arctg	2 2,06			= −0,3693;						sinϕ(1) = −0,361; cosϕ(1) = 0,933;
=	2	arctg				= −0,3693;						sinϕ(1) = −0,361; cosϕ(1) = 0,933;
	2		4 −8,54
	0,933			0	0,361												3,19	0,819	0,005
		0		1	0			;	A		(2)	=U	(1)	T	(1)	(1)		2,46	0,28
=		0		1	0			;	A			=U			A	U	= 0,819	2,46	0,28	.
				0														0,28	9,38
	−0,361			0	0,933												0,005	0,28	9,38

1/ 2

t(A(2) )= ∑(alm(2) )

= (0,8192 + 0,282 + 0,0052 )1/ 2 > ε .

l,m;l<m

Переходим к следующей итерации (k = 2)

(2)

= 0,819;

(2)

max

(2)

l,m; l<m

www.uchites.ru


		ϕ(2)	=	1	actg		2 0,819			= 0,5758; sinϕ(2)								= 0,5445; cosϕ(2)								= 0,8388.
		ϕ(2)	=	2	actg		3,19 −2,46			= 0,5758; sinϕ(2)								= 0,5445; cosϕ(2)								= 0,8388.
				2			3,19 −2,46
		0,8388				−0,5445			0													3,706			0,0003		0,1565
U	(2)					0,8388				; A	(3)	=U	(2)T	A		(2)		U	(2)		=				1,929		0,232
U		= 0,5445				0,8388			0	; A		=U		A				U			=	0,0003			1,929		0,232			;
			0			0																			0,232		9,38
			0			0			1													0,1565			0,232		9,38
t(A(3) )= (0,00032 + 0,15652									+ 0,2322 )1/ 2				= 0,078391/ 2 < ε .
		Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть
приняты диагональные элементы матрицы A(3) :
		λ1 ≈3,706; λ2 ≈1,929; λ3 ≈9,38.
		Собственные векторы определяются из произведения
						0,78		−0,5064				0,361								0,78					−0,5064						0,361
	(0)	(1)	(2)	=				0,7625				0,6		x	1								2			0,7625		x	3	=		0,6
U U U				=		0,2209		0,7625				0,6	;	x			= 0,2209 ; x							=		0,7625	;	x		=		0,6	.
								−0,398				0,7														−0,398						0,7
						−0,58		−0,398				0,7								−0,58						−0,398						0,7
		Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной
точности, т.е. (x1 , x 2 )= −0,00384;												(x1 , x3 )= 0,0081;										(x 2 , x3 )= −0,0039.

1 . 2 . 3 . Частичная проблема собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод

Рассмотренный метод вращения решает полную проблему собственных значений и собственных векторов матриц (симметрических) в том смысле, что определяются все собственные значения и собственные векторы.

Зачастую не нужно находить все собственные значения (спектр) и все собственные векторы, а необходимо найти максимальное и минимальное из них. Существует степенной метод по определению спектрального радиуса матрицы, т.е. максимального собственного значения матрицы, и соответствующего ему собственного вектора.

Пусть дана матрица A и пусть ее собственные значения упорядочены по абсолютным величинам:

λ1		>		λ2		≥... ≥		λn		(1.25)

www.uchites.ru

Тогда, выбрав некоторый вектор y(0) , например, вектор, компоненты которого равны единице y(0) = (11 ... 1)T , можно для определения λ1 построить следующий итерационный процесс:

		y(1)
y (1) = Ay (0) ,	λ(1) =		j
y (1) = Ay (0) ,	λ(1) =
	1	y(j0)
		y(j0)
			y	(2)
y (2) = Ay (1) ,	λ(2) =			j	;
y (2) = Ay (1) ,	λ(2) =				;
	1		y(1j )
			y(1j )
………………………………………
				y	( k )
y ( k ) = Ay ( k −1) , λ( k )		=			j	;
y ( k ) = Ay ( k −1) , λ( k )		=				;
	1			y(jk −1)
				y(jk −1)
где y(jk −1) , y (jk ) -	соответствующие компоненты векторов

(1.26)

y( k −1) , y ( k ) . При этом в

качестве номера j может использоваться любое число из диапазона j =1, n .

В связи с тем, что вектор y(k ) на k -ой итерации может быть представлен в виде

y ( k ) = Ay ( k −1) = Ak y(0) , рассматриваемый итерационный процесс носит название

"степенной метод". При выполнении условий ( 1.25 ) итерационный процесс сходится к искомому собственному значению λ1 и соответствующему

собственному вектору, причем скорость сходимости определяется отношением

	λ2			(чем оно меньше, тем выше скорость сходимости).

	λ


	1

В качестве критерия завершения вычислений используется следующее условие:

ε( k ) = λ1(k ) − λ1(k −1) ≤ ε , где ε - задаваемая вычислителем точность расчета.

Пример 1.8.

Вычислить спектральный радиус матрицы

с точностью ε = 0,1.

A =

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем

y (0) = (111)T .

Реализуем итерационный процесс (2.90), полагая j =1 .

y (1) = Ay ( 0) = (8 6 6)T , λ(1) =

y1(1)

= 8 ;

y1(0)

y ( 2) = Ay (1)

= (58

38 40)T , λ(2) =

y1(2)

= 7,25 ;

y1(1)

ε( 2) =

λ(2) − λ(1)

= 0,75 >ε ;

www.uchites.ru

y (3) = Ay (2)

= (480

250

274)T ,

λ1(3) =

y1(3)

480

= 7,034 ;

y1( 2)

ε(3) =

λ(3) − λ(2)

= 0,216 >ε ;

y (4) = Ay (3)

= (2838

1682

1888)T , λ(4) =

y1(4)

2838

= 6,9559 ;

y1(3)

408

ε( 4) =

λ(4) − λ(3)

= 0,078 <ε .

Таким образом,

полученное

на

4-ой

итерации значение

λ(4)

=6,9559

удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного

значения λ1 . Искомое значение спектрального радиуса ρ( A) = max

λi

λ1

= 6,9559.

Рассмотренный выше пример наглядно иллюстрирует существенный

недостаток алгоритма (1.26), связанный с сильным возрастанием компонентов

( k )

итерируемого вектора y(k ) в ходе итерационного процесса. Видно, что

≈

y(jk −1)

Во избежание неограниченного возрастания (при λ1 >1) или убывания (при

λ	<1) компонентов	y(k ) по мере увеличения числа итераций k обычно при
1

проведении компьютерных расчетов применяется степенной метод с нормировкой итерируемого вектора. С этой целью алгоритм (2.89) модифицируется следующим образом:

z( k ) = Ay ( k −1) ,	λ( k ) =	z	(jk )	, y( k ) =	z( k )	(1.27)
z( k ) = Ay ( k −1) ,	λ( k ) =			, y( k ) =		(1.27)
	1	y(jk −1)			z( k )
		y(jk −1)			z( k )

При этом в качестве начального приближения y(0) берется вектор с единичной

нормой.

Широко распространена также версия степенного метода, использующая

скалярные произведения [2]:
z ( k ) = Ay ( k −1) , y (k ) =	z (k )	,	λ(k ) =( y( k ) , Ay( k ) )	(1.28)
z ( k ) = Ay ( k −1) , y (k ) =		,	λ(k ) =( y( k ) , Ay( k ) )	(1.28)
	z (k )		1
	z (k )
ЗАДАЧИ
Используя степенной метод, с точностью ε = 0,1				оценить спектральный

радиус симметрических матриц, заданных в разделе 1.2.2. Сравнить значение λ1 и

соответствующий ему собственный вектор с результатами, полученными в разделе 1.2.2. методом вращений.

www.uchites.ru

1.2.4. QR-алгоритм нахождения собственных значений матриц

При решении полной проблемы собственных значений для несимметричных матриц эффективным является подход, основанный на приведении матриц к подобным, имеющим треугольный или квазитреугольный вид. Одним из наиболее распространенных методов этого класса является QR- алгоритм, позволяющий находить как вещественные, так и комплексные собственные значения.

Воснове QR-алгоритма лежит представление матрицы в виде A = QR , где Q

-ортогональная матрица ( Q−1 = QT ), а R - верхняя треугольная. Такое разложение

существует для любой квадратной матрицы. Одним из возможных подходов к построению QR разложения является использование преобразования Хаусхолдера, позволяющего обратить в нуль группу поддиагональных элементов столбца матрицы.

Преобразование Хаусхолдера осуществляется с использованием матрицы Хаусхолдера, имеющей следующий вид:

H = E −	2	vvT	,	(1.29)
	vT v

где v - произвольный ненулевой вектор-столбец, E - единичная матрица, vvT - квадратная матрица того же размера.

Легко убедиться, что любая матрица такого вида является симметричной и ортогональной. При этом произвол в выборе вектора v дает возможность построить матрицу, отвечающую некоторым дополнительным требованиям.

Рассмотрим случай, когда необходимо обратить в нуль все элементы какого- либо вектора кроме первого, т.е. построить матрицу Хаусхолдера такую, что

~	= Hb , b = (b	,b	,...,b )T	~	~	,0,...,0)T .
b	= Hb , b = (b	,b	,...,b )T	, b	= (b	,0,...,0)T .
	1	2	n		1

Тогда вектор v определится следующим образом:

v = b + sign(b1 )

2 e1 ,

(1.30)

∑bi2

1/ 2

где

- евклидова норма вектора, e1 = (1,0,...,0)T .

www.uchites.ru

Применяя описанную процедуру с целью обнуления поддиагональных элементов каждого из столбцов исходной матрицы, можно за фиксированное

число шагов получить ее QR – разложение.

Рассмотрим подробнее реализацию данного процесса.

Положим

= A

построим

преобразование

Хаусхолдера H1 ( A1

= H1 A0 ),

переводящее матрицу A0 в матрицу A1

с нулевыми элементами первого столбца

под главной диагональю:

a110

a120

...

a10n

a1 ...

...

→ A =

a1 ...

...

... ... ... ...

... ... ...

an1

an2

ann

0 an2

ann

Ясно,

что матрица

Хаусхолдера

должна определяться по

первому

столбцу матрицы A0 , т.е в качестве вектора b в выражении (1.30) берется вектор

(a0

, a0 ,..., a0 )T . Тогда компоненты вектора v вычисляются следующим образом:

v11

= a110

1/ 2

+ sign(a110 ) ∑(a0j1 )2

j=1

vi1 = ai01 , i =

2, n

Матрица Хаусхолдера H1

вычисляется согласно (1.29):

= E −2

v1v1T

v1T v1

На следующем, втором, шаге рассматриваемого процесса строится

преобразование Хаусхолдера H2

( A2

= H2 A1 ) , обнуляющее расположенные ниже

главной

диагонали

элементы

второго столбца матрицы

A1 . Взяв

в качестве

вектора

вектор

(a122 , a321 ,..., a1n2 )T

размерности n −1,

получим

следующие

выражения для компонентов вектора v :

= 0 ,

v22

= a122

1/ 2

+ sign(a122 )

∑(a1j 2 )2

j=2

vi2 = ai11 , i = 3, n .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Конструирование летательных аппаратов

#
24.07.20171.87 Mб51ЛОНЖЕРОН 20-1-13 АКИМЕНКО-1.docx
#
24.07.20171.87 Mб61ЛОНЖЕРОН 20-1-13 АКИМЕНКО.docx
#
24.07.201728.07 Mб111Лукашевич В.П., Афанасьев И.Б. - Космические крылья - 2009.djvu
#
24.07.2017899.2 Кб58Маркетинг пассажирских авиаперевозок.docx
#
24.07.201722.02 Кб38Метод простой итерации.doc
#
24.07.2017476.35 Кб83Метод Якоби.pdf
#
24.07.20173.74 Mб72Методика расчета весового, масса взлетная, тяговооруженность, на-1.doc
#
24.07.20173.74 Mб61Методика расчета весового, масса взлетная, тяговооруженность, на.doc
#
24.07.20171.49 Mб62Миг-21 ПРЕЗЕТАЦИЯ.doc
#
24.07.201710.92 Кб18МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.docx
#
24.07.20171.01 Mб37Московский Авиационный Институт (Государственный Технический Уни.doc