32. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов в действительной области.

Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Апеля: Если степенной ряд сходится при x = x₁ ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно для всех |x|<|x₁|.

Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех |x|>|x₁|.

Свойства:

1.Сумма S(x) степенного ряда

_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ + …

является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R).

2.Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

(1)

при –R<x<R выполняется равенство (2)

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (1) –R<a<x<R выполняется равенство (3)

Ряды (2) и (3) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

33. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

34. Разложение в ряд Маклорена функций е^х, sin х, cos х, ln(l+x), (1 + х)^а.

Разложение элементарных функций по степеням x при x → 0: , где .

35. Приложение степенных рядов для решения задачи Коши для ду n-го порядка.

1 способ. (метод неопределенных коэффициентов)

Этот метод наиболее удобен для ЛДУ с переменными коэффициентами.

Пусть требуется решить ДУ:

с начальными условиями:

Предполагая, что коэффициенты и свободный член разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение y = y(x) ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

Коэффициенты определяются при помощи начальных условий:

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд два раза (в зависимости от порядка ДУ) и подставляем в выражение для функции у и ее производной в уравнение (1), заменив в нем их разложениями.

В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (2) сходится в том же интервале и служит решением уравнения.

2 способ (метод последовательного дифференцирования)

Решение у = у(х) уравнения ищем в виде ряда Тейлора.

При этом первые 2 коэфф. находим из нач. условий

Подставив в уравнение (1) находим третий коэфф.

. Значения …….. находим путем последовательного дифференцирования уравнения(1) по х и вычисления производных при . Найденные значения производных(коэффициентов) подставляем в равенство(3).