14. Лнду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение y” + p · y’ + q · y = f (x), где p и q – некоторые числа.

Согласно теореме о структуре общего решения ЛНДУ, общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения y* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть f (x) уравнения y” + p · y’ + q · y = f (x) имеет так называемый «специальный вид»:

I. f (x) = P_n (x) · e^αx или II. f (x) = e^αx · (P_n (x) · cos βx + Q_m (x) · sin βx).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f (x) уравнения y” + p · y’ + q · y = f (x) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение y” + p · y’ + q · y = f (x) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

15. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Задача Коши для нормальных систем. Линейные системы ду. Матричная задача

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y₁, y₂, … , y_n, следующий:

{ F₁ (x ; y₁ ; y₂ ; … ; y_n ; y’₁ ; y’₂ ; … ; y’_n ) = 0,

{ ……………………………………………….

{ F_n (x ; y₁ ; y₂ ; … ; y_n ; y’₁ ; y’₂ ; … ; y’_n ) = 0.

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

{ dy₁/dx = f₁ (x ; y₁ ; y₂ ; … ; y_n ),

{ dy₂/dx = f₂ (x ; y₁ ; y₂ ; … ; y_n ), (1)

{…………………………………

{ dy_n/dx = f_n (x ; y₁ ; y₂ ; … ; y_n ),

Называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание: во многих случая системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Решением системы (1) называется совокупность из n функций y₁, y₂, … , y_n, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид:

y₁ (x₀) = y⁰₁, y₂ (x₀) = y⁰₂, … , y_n (x₀) = y⁰_n .

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям y₁ (x₀) = y⁰₁, y₂ (x₀) = y⁰₂, … , y_n (x₀) = y⁰_n .

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема: если в системе (1) все функции f_i (x ; y₁ ; … , y_n ) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по y_i в некоторой области D ((n + 1)-мерного пространства), то в каждой точке M₀ (x₀ ; y⁰₁ ; y⁰₂ ; … ; y⁰_n ) этой области существует, и притом единственное, решение y₁ = φ₁ (x), y₂ = φ₂ (x), … , y_n = φ_n (x) системы, удовлетворяющее начальным условиям y₁ (x₀) = y⁰₁, y₂ (x₀) = y⁰₂, … , y_n (x₀) = y⁰_n .

Линейные системы ДУ имеют вид:

dx₁/dt = a₁₁ (t) x₁ + a₁₂ (t) x₂ + … + a_1n (t) x_n + f₁ (t) }

dx₂/dt = a₂₁ (t) x₁ + a₂₂ (t) x₂ + … + a_2n (t) x_n + f₂ (t) } (1)

…………………………………………………….. }

dx_n/dt = a_n1 (t) x₁ + a_n2 (t) x₂ + … + a_nn (t) x_n + f_n (t) }

где f_i (t) – некоторые функции.

dx_i/dt = _ij (t) x_j + f_i (t), где i = 1,2, … , n.

dX/dt = A · X + F

(dx₁/dt) (x₁ ) (a₁₁ a₁₂ … a_1n) (f₁ (t) )

dX/dt = (dx₂/dt) , X = (x₂ ) , A = (a₂₁ a₂₂ … a_2n) , F = (f₂ (t) )

(…….) (…) (……………) (…… )

(dx_n/dt) (x_n ) (a_n1 a_n2 … a_nn) (f_n (t) )

Если все функции a_ij (t) и f_i (t) в системе (1) на некотором отрезке a ≤ t ≤ b непрерывны, то в достаточно малой окрестности точки t₀ a < t₀ < b, координаты которой (t₀, x₁₀, x₂₀ , … , x_n0), выполняются условия теоремы Коши о существовании и единственности решения задачи Коши.