Добавил:

arhimagist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Статистика случайных процессов

Файл:

ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.07.2017

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

D[Y (t)] 2 (t τ)K X (τ) dτ 2σ2X (t τ)e αt (1 ατ) dτ

2σ2X

(2αt 3) e αt (αt

3) 1366.

Задача

4.3.

Известно, что

X (t) – стационарный

случайный процесс,

dX (t)

V (t)

Y (t) V (t1)dt1.

Будет ли стационарным случайный процесс Y (t) ?

Решение.

(τ)

d 2K X (τ)

, поэтому

dτ2

D[Y (t)] 2 (t τ)K X (τ) dτ 2

(t τ)

K X (τ)dτ.

dτ2

С учетом того, что

dK X (0)

получим

dτ

D[Y (t)] 2 K X (τ)dτ 2K X (t) 2K X (0).

Поскольку дисперсия зависит от времени, то процесс Y (t) не является

стационарным процессом. ▼

Упражнения. Доказать соотношения

t s

1) X (t)dt, Y

X (t), Y dt ; 2)

X (u)du, X (v)dv

K (u,v)du dv.

α α

4.4. Интегралы по процессу с ортогональными приращениями

Определение 4.3. Процесс второго порядка X (t) называется процессом

E X

с ортогональными приращениями, если

для

любых непересекающихся интервалов (t1, t2], (t3, t4]. ▼

Построение стохастического интеграла по этому процессу разобьем на этапы.

1. Построение спектральной функции F . Построим такую неубы-

вающую действительную функцию F , что

F(t) F(s) E |X (t) X (s)|2, t s. (4.3)

Функцию F (t) назовем спектральной функцией.

Для построения F (t) выберем фиксированный момент времени t0 T и положим

F(t) E \|X (t) X (t )\|2	,	t t ,	F(t) E \|X (t ) X (t)\|2	,	t t	.
0		0	0		0

Проверим для этой функции соотношение (4.3). Поскольку для всех случаев проверка делается аналогично, ограничимся случаем t s t0 . Имеем

F (t) F (s) E | X (t) X (t0 )|2 E | X (s) X (t0)|2

E | X (t) X (s) X (s) X (t0 )|2 E | X (s) X (t0)|2 E |X (t) X (s)|2 .

2.Определение интеграла по процессу с ортогональными прираще-

ниями для ступенчатых функций. Определим поэтапно интеграл Стилтьеса по случайному процессу с ортогональными приращениями X (t) от неслу-

чайной функции f (t) .
Пусть		ступенчатая			функция f (t) определена формулой	f (t)
n1
ciI(t , t			](t),	где ti	точки непрерывности спектральной функции	F (t).
i0	i	i 1
i0
Для функции			f (t)	интеграл определяется формулой
					n 1
				f (t)dX (t) ci(X (ti 1) X (ti)).		(4.4)
				T	i 0

Напомним, что H – это гильбертово пространство случайных величин. Скалярное произведение в H определено равенством X , Y E(XY ). Пусть

L2 (dF ) – гильбертово пространство функций на множестве T со скалярным

произведением ( f , g) ( f (t), g (t))dF (t), где F – спектральная функция.

Соотношение (4.4) задает взаимно однозначное соответствие между ступен-

чатыми функциями f (t) из L2(T , dF ) и линейными комбинациями значений случайного процесса X (t). Покажем, что это соответствие сохраняет скалярные произведения, т. е.

f (t) dX (t),	g(t) dX (t)	( f , g).	(4.5)
T	T

Пусть даны две произвольные ступенчатые функции f и g . Если f и g имеют различные точки скачков, то, не умаляя общности, множества этих точек можно объединить, поэтому будем предполагать, что функции f и g имеют скачки в одинаковых точках.

Вычислим скалярное произведение интегралов от этих функций:

	n1			n1
f (t) dX (t), g(t) dX (t)	ciI(t , t		](t),	d j I(t	j	, t	j 1	](t)
	i0	i i 1		j0	j		j 1
	i0			j0
n1
cidi F (ti 1) F (ti )		f (t) g (t) dF (t) ( f , g).
i1		T

Равенство (4.5) доказано.

3. Построение стохастического интеграла в общем случае. Теперь распространим это соотношение с подмножества ступенчатых функций на

все гильбертово пространство L2 (dF ) .

Пусть f – произвольная функция из L2 (dF ) . Поскольку ступенчатые функции всюду плотны в L2 (dF ) , можно выбрать последовательность сту-

пенчатых функций fn таких, что fn f в метрике L2 (dF ). Значит, последо-

вательность fn является последовательностью Коши в L2 (dF ) .

Поскольку для ступенчатых функций построенное соответствие сохраняет скалярное произведение, последовательность интеграловfn dX (t) также является последовательностью Коши в пространстве H.

В силу полноты пространства H последовательность Коши fn dX (t) име-

ет в H предел. Этот предел сопоставим функции f и обозначим f dX (t).

При распространении соответствия равенство скалярных произведений сохраняется, поэтому для любых f и g выполняется равенство ( f , g)

E f dX (t) g dX (t) f g dF (t) .▼

E | A(ω) |2

Задача 4.4. Используя ковариационную функцию,			найти ковариацион-
		t
ную функцию KY (s, t) случайного процесса Y (t) f (u) dX (u) .
		0
Решение. Используя приближение интеграла интегральными суммами,
получим
s	t
KY (s, t) E	f (u) dX (u)	f (v) dX (v)
	0
0	0

lim E

ti s

lim

ti s t j t

)( X (t ) X (t

))

f (ξ

(ξ

)( X (t

) X

j 1

i 1

t j t

)E ( X (t ) X (t

)

f (ξ

) f (x

)) ( X (t

) X

j 1

i 1

lim		\| f (ξ	) \|2E \| X (t ) X (t		) \|2
		i	i	i 1
	ti min(s, t)
lim		\| f (ξi ) \|2 (F (ti ) F (ti 1))				\| f (u) \|2 dF (u).
	ti min(s, t)				umin(s, t)

В этих равенствах предполагается, что ξi [ti 1, ti ], i 1, ..., n , и что

пределы берутся при max(ti ti 1) 0 . Таким образом, доказано равенство
i n
KY (s, t)		\| f (u)\|2 dF (u).▼

umin(s, t)

5.ПРИМЕРЫ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕСОВ

ВШИРОКОМ СМЫСЛЕ

Пример 5.1 (комплекснозначный случайный процесс, определяемый од-

ной случайной величиной). Пусть стационарный случайный процесс X (t) имеет вид X (t) f (t) A(ω) , где f (t) − неслучайная комплекснозначная дифференцируемая функция, а A(ω) − случайная величина, удовлетворяющая


условию 0 E \| A \|2 . Из стационарности случайного процесса X (t)							сле-
дует, что для любых моментов времени t и s				произведение f (t s)		(t)
					f

	EX (t s) X	(t)	не зависит от t. В частности,	положив s 0, получим,			что

функция | f (t) |2 не зависит от t. Следовательно, для некоторой веществен-

ной дифференцируемой функции			λ(t)			справедливо	представление
f (t) \|f (0)\| eiλ(t) f (0) eiλ(t) . Отсюда следует, что
	d		d
	d		d
0		f (t s) f (t) \| f (0)\|2		exp{i(λ(t s) λ(t))}
0	dt	f (t s) f (t) \| f (0)\|2	dt	exp{i(λ(t s) λ(t))}
\| f (0) \|2 i exp{i(λ(t s) λ(t))}					d	(λ(t s) λ(t)).
\| f (0) \|2 i exp{i(λ(t s) λ(t))}					dt	(λ(t s) λ(t)).
					dt

Такое равенство может выполняться, только если λ (t s) λ (t) для лю-

бых t и s , т. е. при условии, что λ (t) λ , где λ − постоянная. Таким образом, λ(t) λt c для некоторой константы c, а процесс X (t) может быть представлен в виде X (t) A(ω) f (0) ei c ei λ t X (0) ei λ t . Процесс X (t) называется гармоническим процессом (гармоническим сигналом). Его ковариационная матрица равна K(t) E | X (0) |2 ei λ t .

В технической литературе этот процесс часто записывают в форме

X (t) X exp {i( 2 π f0 t θ)}, где X − амплитуда; f0 − частота,	1	− пери-

	f0
од, θ − фаза процесса. ▼

Пример 5.2 (комплекснозначный случайный процесс, определяемый несколькими случайными величинами). В качестве обобщения примера 5.1 мож-

	n
но рассмотреть случайный процесс X (t) Aj ei λ j t , зависящий от n не-
	j 1
коррелированных случайных величин A , ..., A с ковариационной функцией
1	n

K (s) n E | A |2 eiλ j s .

j 1

Пример 5.3 (комплекснозначный случайный процесс, определяемый бесконечным числом случайных величин). Последняя модель может быть распро-


странена на	бесконечное число слагаемых: X (t) Aj ei λ j t ,
		j 1

K (s) E \|Aj\|2 eiλ j s при условии		E \|Aj\|2 .
j1		j 1

Пример 5.4 (почти периодические процессы). Почти периодические процессы − это процессы, представимые в виде конечной или бесконечной суммы гармонических процессов с несоизмеримыми частотами, например

Y (t) X1cos (2t θ1) X2cos (3t θ2) X3cos (50t θ3).

Исследование таких процессов наиболее сложно.

Пример 5.5 (полигармонические процессы). Полигармонические процес-

сы – это периодические процессы, представимые своими рядами Фурье со случайными коэффициентами:

X (t)

(an cos(2πnf1t) bn sin (2πnf1t)))

C e2πinf1 ,

cos (2πnf t) θ)

arctg

где f

–

частота;

–

период; X

, θ

x(t) cos (2πnf1t) dt,

x(t) sin (2πnf1t)) dt.

Полигармонические процессы в общем случае не являются стационарными, но стационарны при ортогональности коэффициентов.

Замечание. Траектории рассмотренных процессов являются периодическими или почти периодическими функциями, но они стационарны в широком смысле.

Пример 5.6 (дискретный белый шум). Последовательность случайных величин{ξn} с нулевым математическим ожиданием называется дискретным

белым шумом, если она стационарна в широком смысле и K (0) σ2, K(n) 0, n 0. Значения шума в различные моменты времени ортогональ-

ны. При σ2 1 белый шум {ξn} является ортонормированной последовательностью. В этом случае с помощью {ξn} удобно определять другие случайные процессы. ▼

Пример 5.7 (процесс скользящего среднего). Процесс скользящего сред-


него определяется равенством X n		ck ξn k . Предполагается, что
	k


DX n	\| ck \|2 . Это условие		обеспечивает сходимость	в среднем
	k
квадратичном ряда, определяющего X n .

Из соотношений E( X n m X		n )	ck ck m K (m) следует,	что X n –
		k

стационарный процесс. ▼ Теорема 5.1. Для процесса скользящего среднего справедливо соотно-

шение

K(m) 0, m .

Доказательство.


		K m
\|K (m)\|	ck ck m		\|ck\|2 \|ck\|2	\|ck\|2	\|ck\|2 .
	k	k K m	k	\|k\| K	k

Второе слагаемое можно сделать меньшим произвольного положительного ε за счет выбора достаточно большого значения K . Затем при фиксированном K первое слагаемое можно сделать меньшим произвольного поло-

	K m
жительного ε , поскольку		\|ck\|2 не превосходит остаточной суммы.
	k K m
Поэтому K(m) 0,	\|m\| .

Свойство ковариационной функции, сформулированное в теореме 5.1, выполняется для многих известных случайных процессов, но не для всех. Например, оно не выполняется для случайных процессов, описанных в при-

мерах 5.1, 5.2, 5.4, 5.5.

Пример 5.8 (рекуррентные случайные процессы). Рекуррентный слу-

чайный процесс определяется соотношением Xn α Xn 1 β ξn . Здесь α, β 0 , ξn – ортонормированная последовательность случайных величин, каждая из которых представляет собой «новую информацию» в момент n . Итерируя это равенство, получим

Xn βξn αβξn 1 α2βξn 2 ... αkβξn k αk 1Xn k 1.

Всилу стационарности случайного процесса X n его норма ограничена.

Следовательно, α 1, откуда вытекает, что ряд αk ξn k сходится по k 1

норме и αk 1Xn k 1 0

(k ). Таким образом,

процесс представим в

виде X n β αk ξn k , т.

е. является процессом скользящего среднего. Его

k 0

ковариационная функция имеет вид

K (m) EX n m X

β|2 E

αk ξn m k α p

n p

p 0

k 0

|β|2

αk α p E(ξ

n m k

n p

)

p 0 k 0

|β|2

αk α p E(ξ

n m k

n p

)

| β|2

αk

α k m

k 0 p k m

k m

= |β|2

αk m α k

| β|2 αm

= |β|2 e mln α

1 |α|2

k 0

Замечание. Из вида ковариационной функции X n следует, что этот про-

цесс является марковским (см. упражнение в конце разд. 2).▼

Пример 5.9 (построение стационарного процесса с помощью теории

гильбертовых пространств). Обозначим:

H – гильбертово пространство случайных величин со скалярным произведе-

нием

X ,Y EXY

;

U – унитарный оператор в гильбертовом пространстве

пространстве H , т. е. оператор, сохраняющий

скалярное

произведение:

X , Y

UX , UY

U *UX , Y .

Для

такого

оператора

верно

соотношение

U *U I ;

М – замкнутое подпространство гильбертова пространства H ,

X M .

Теорема 5.2.

а) Случайный процесс X

U n X является стационарным процессом.

б) Любой стационарный процесс

может быть

представлен

в виде

U n X

с помощью некоторого унитарного оператора.

Доказательство. а)

Пусть X

U n X .

Тогда

ковариационная

функция

равна

K(n, m) EX

E(U n XU m X

) E(U n m XX

) EX

K (n m).

n m

Поскольку ковариационная функция K (n, m) зависит только от разности n m , процесс X n стационарен.

б) Пусть X n – произвольная стационарная последовательность; М – наименьшее замкнутое подпространство H , содержащее все случайные ве-


личины X n ;		M1 множество всевозможных линейных комбинаций величин
			1 M .		Для Y M1			определим оператор U равенством UY
X n ,	так, что M
	N			N
U	c X			c X		i 1	. Это унитарный оператор, порождающий слу-
	i	i		i
i N				i N
чайный процесс				X n ,	поскольку			для любого n выполняется равенство
UXn Xn 1.▼

6.СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

6.1.Спектральное представление для ковариационных функций

Определение 6.1. Функция K(t, s), t, s T , называется неотрицательно определенной, если

n n

K (t j , tk )z j zk 0

j 1k 1

для любого конечного набора моментов времени (t1, ..., tn ) и для любого на-

бора комплексных чисел (z1, ..., zn ).	Если при тех же условиях
n n
K (t j , tk ) z j zk 0 , то функция называется положительно определенной.
j 1k 1
Теорема 6.1. Функция K(t, s), t, s T ,	является ковариационной функ-

цией некоторого процесса X (t) тогда и только тогда, когда она неотрицательно определена. Она является положительно определенной тогда и только тогда, когда случайные величины X (t), t T , линейно независимы (с детерминированными коэффициентами).

Доказательство. Приведем доказательство только того, что ковариационная функция неотрицательно (положительно) определена. Доказательство обратного утверждения теоремы 6.1 сложно, и оно не приводится.

Пусть K(t, s), t,					s T – ковариационная функция процесса X (t) . Тогда
	n		2	n	n


0 E	zi	Xt		K (ti , t j )zi z j . Отрицательным это выражение быть не
	i1	i		i1 j1

может. Это выражение равно нулю при некотором наборе чисел (z1, ..., zn ) , тогда и только тогда, когда с вероятностью единица случайные величины

Xt , Xt		2	, ..., Xt		n	линейно	зависимы.	Следовательно,	если
1		2			n
n	n
K (ti , t j ) zi						z j 0 при всяком наборе чисел (z1, ..., zn ) , то случайные ве-
i 1 j 1
личины Xt				, Xt		, ..., Xt линейно независимы. ▼
			1		2	n
	Для стационарного процесса условие неотрицательной определенности
						n n
сводится к неравенству K (t j tk )z j zk 0 .
						j 1k 1
	Теорема 6.2 (Герглотца, см. [1]). Пусть последовательность чисел K (n)
неотрицательно определена. Тогда
							π
							K (n) einλdF (λ),		(6.1)
							π
где F – некоторая ограниченная неубывающая функция.
	Теорема 6.3 (Бохнера–Хинчина, см. [1]).							Пусть функция K (t) – непре-
рывна и неотрицательно определена на R1. Тогда

							K (t) eitλdF (λ),		(6.2)

где F – некоторая ограниченная неубывающая функция на R1.
	Теоремы 6.2, 6.3 возникли вне теории вероятностей, но оказались очень
полезными для нее.
	Определение 6.2. Мера Стильтьеса dF в соотношениях (6.1),								(6.2) на-

зывается спектральной мерой, а соответствующая ей плотность – спектральной плотностью. ▼

Поскольку ковариационные функции неотрицательно определены, то для них справедливы приведенные спектральные представления (6.1) и (6.2), причем в соотношениях (6.1), (6.2) можно использовать спектральную функцию, определенную соотношением (4.3).

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Статистика случайных процессов

#
08.07.2017214.73 Кб11exam_expamle.jpg
#
08.07.20171.25 Mб93ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов.pdf


		K m
\|K (m)\|	ck ck m		\|ck\|2 \|ck\|2	\|ck\|2	\|ck\|2 .
	k	k K m	k	\|k\| K	k