ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов

Определение 2.7. Ковариационной функцией случайного процесса X(t) называются функция K(s, t) EX (s)X (t). ▼

Определение 2.8. Стационарным или строго стационарным случайным процессом называется процесс, распределение которого не зависит от сдвига по времени. В терминах конечномерных распределений это свойство процесса сводится к выполнению условия

для всех допустимых наборов t1, ..., tn, h T и для всех измеримых C из про-

странства S n .

Определение 2.9. Стационарным в широком смысле называется случай-

Строго стационарный процесс с конечной дисперсией является процессом, стационарным в широком смысле.

Для стационарных в широком смысле случайных процессов всегда справедливо равенство K(t, s) K(t s, 0), т. е. ковариационная функция является по существу функцией одной переменной. В этом случае функция K1(t) K (t, 0) также называется ковариационной функцией стационарного в широком смысле процесса X (t) и для нее обычно используется прежнее обозначение K (t) .

Определение 2.10. Случайный процесс называется нормальным (гауссовским), если все его конечномерные распределения нормальны. ▼

Известно, что распределение гауссовского вектора полностью определяется математическими ожиданиями и ковариационными матрицами. Поэтому конечномерные распределения а, следовательно, и распределение нормального случайного процесса полностью определяются математическими ожиданиями и ковариационной функцией.

Если имеется случайный процесс с K(s, t) EX (s) X (t), m(t) EX (t), то можно построить нормальный случайный процесс с теми же K(s, t) и m(t) . Пусть X (t) – случайный процесс.

Для каждого t определим два множества случайных величин F t и F t , где множество F t состоит из ограниченных случайных величин, являющихся функциями от величин {X s, s t}, а множество F t состоит из огра-

11

ниченных случайных величин, являющихся функциями от величин

{X s, s t}.

Определение 2.11. Марковское свойство случайного процесса X (t) состоит в том, что при любом выборе момента времени t и любом выборе случайных величин B t F t и B t F t выполняется равенство

B t | X (t)) E(B t | X (t)) E(B t | X (t)). ▼

Это определение можно записать в следующей форме: при любом t и любом выборе случайных величин B t F t и B t F t выполняется равен-

ство E(B t | F t ) E(B t | X (t)).

Замечание. Марковское свойство случайного процесса качественно можно выразить в следующей форме: для любого момента времени t при известном настоящем X (t) прошедшее и будущее (определяемые в терминах значений процесса) независимы.

Определение 2.12. Случайный процесс, обладающий марковским свойством, называется марковским. ▼

Теорема 2.1. Пусть X (t), t T R1, − вещественный нормальный случайный процесс. Он является марковским тогда и только тогда, когда для

где K – ковариационная функция процесса X (t) .

Доказательство необходимости. Используя свойства условных математических ожиданий из 1.6, получаем

K (a, c) EX (a) X (c) EE( X (a) X (c) | F b)

E[ X (a) E( X (c) | F b )] E[ X (a) E( X (c) | X (b))]

Доказательство достаточности в теореме 2.1 не приводится, поскольку оно значительно сложнее. ▼

Упражнение. Доказать, что если X (t) является стационарным гауссовским процессом, то

12

3. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ)

3.1. Критерии непрерывности и дифференцируемости случайных процессов

Пусть X (t), t R1, − случайный процесс с конечными вторыми моментами. Введем обозначения K(s, t) EX (s)X (t), m(t) EX (t). Пусть H – гильбертово пространство случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве и обладающих конечными вторыми моментами. В про-

понимается в среднеквадратичном, т. е. по норме пространства H . Определение 3.1. Случайный процесс X (t) называется непрерывным в

Определение 3.2. Случайный процесс Y (t) называется среднеквадратической производной случайного процесса X (t) в точке t , если

Если производная существует для любого t (a, b), то процесс X (t) называеся дифференцируемым на интервале (a, b) . ▼

Для среднеквадратичных производных используется обычное обозначе-

ние Y (t) X (t) dX (t) . dt

Теорема 3.1 (критерий существования предела у процесса X (t) ). Сле-

дующие утверждения равносильны: а) существует предел lim X (t) , б) суще-

t t0

ствует предел lim K (s,t) .

s,t t0

Доказательство. Докажем сначала, что из а) следует б).

13

Скалярное произведение в любом гильбертовом пространстве непре-

Из этого соотношения и полноты гильбертова пространства H следует существование предела процесса X (t) . При t t0.▼

Из теоремы 3.1 непосредственно следует следующая теорема.

Теорема 3.2 (критерий непрерывности). Следующие утверждения рав-

б) Чтобы процесс был непрерывно дифференцируем на интервале (α, β) , необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная при t, s (α, β)

смешанная вторая производная 2K (t, s) .

t s

Доказательство. а) По случайному процессу X (t) и точке t0 построим случайный процесс Y (h) 1h ( X (t0 h) X (t0)), h 0. Существование произ-

водной случайного процесса X (t) в точке t0 равносильно существованию предела для процесса Y (h) при h 0 . В силу теоремы 3.1 существование

14

Предположим теперь, что существует непрерывная частная производная

2K (t, s) , тогда левая часть (3.1), являясь разностным аналогом этой частной

t s

производной имеет предел при h, k 0. Дифференцируемость процесса X (t) теперь непосредственно следует из соотношения (3.1). ▼

Следствие. Если производная X (t), t (α, β), непрерывна, то

Доказательство. Это равенство для элементов, стоящих на главной диагонали матриц, получено при доказательстве теоремы 3.3. Для остальных двух элементов матрицы доказательства одинаковы, так что приведем только одно из них.

15

При h 0 справедливы соотношения

которые доказывают следствие. ▼ Упражнение. Используя приведенное доказательство, выразить через

ковариационную функцию случайного процесса X (t) взаимную ковариационную функцию EX (t) X (s) случайных процессов X (t) и X (t) .

3.2. Свойства дифференцируемых функций

Дифференцируемые в среднем квадратичном процессы обладают некоторыми свойствами обычных дифференцируемых функций. В качестве примера рассмотрим следующую теорему.

Теорема 3.4. Пусть процесс X (t) непрерывен при t [α, β] и X (t) 0, t [α, β]. Тогда X (t) с вероятностью единица является постоянной случайной величиной на этом интервале.

Доказательство. Пусть H – гильбертово пространство случайных вели-

следнее соотношение справедливо для любого Y из H , поэтому X (t) X (α) с вероятностью единица. ▼

Случайные процессы со значениями в H не могут быть исследованы с помощью среднеквадратичных производных так, как исследуются с помощью производных обычные функции. Это связано с тем, что для процессов со значениями в H не определены отношения «больше» и «меньше». Как показывает приведенное доказательство теоремы 3.4, с помощью среднеквадра-

16

Определение 3.3. Нормальный случайный процесс W (t), t 0, называется винеровским процессом, если W (0) 0 и ковариационная функция процесса равна K(s, t) σ2 min (s, t).▼

Упражнение. Доказать, что винеровский процесс имеет независимые приращения, а его траектории непрерывны и нигде не дифференцируемы в среднем квадратичном.

4. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ИНТЕГРИРОВАНИЕ)

4.1. Определение интеграла от случайного процесса

β

чек ξi . Этот интеграл обозначается как обычный интеграл X (t) dt . ▼

α

Выше определен интеграл от случайного процесса по неслучайной мере Лебега. Позже будет определен другой интеграл от неслучайной функции по случайному процессу.

Определение 4.2. Случайный процесс X (t) называется интегрируемым на интервале [α, β] в среднем квадратичном, если для него существует среднеквадратический интеграл по этому интервалу. ▼

4.2. Свойства интеграла от случайного процесса

Теорема 4.1 (критерий сходимости Коши для интегральных сумм). Ин-

17

где предел берется по всем таким разбиениям , 1 интервала [α,β], для ко-

торых δ(S ) 0, δ(S 1 ) 0.

Доказательство теоремы 4.1 полностью повторяет доказательство аналогичной теоремы анализа для интеграла Римана. ▼

Теорема 4.2 (критерий интегрируемости случайного процесса в среднем квадратичном в терминах ковариационной функции).

β

Интеграл X (t) dt существует тогда и только тогда, когда существует конеч-

α

β β

ный двойной интеграл K (s, t) ds dt .

α α

Доказательство. Предположим, что интеграл существует. Пусть

β

S , S 1 две интегральные суммы для интеграла X (t) dt по разбиениям, схо-

α

дящимся к нулю. Не умаляя общности, можно считать, что все разбиения для интегральных сумм одинаковы. Тогда

α α

Аналогичные рассуждения можно провести относительно всех скалярных произведениях в правой части равенства соотношений (4.1). Следовательно, все четыре скалярных произведения имеют один и тот же предел, равный

18

β β

K (s, t) ds dt, поэтому левая часть соотношения (4.1) сходится к нулю. В

α α

силу критерия сходимости Коши интеграл X (t)dt существует.

β

Наоборот, предположим, что интеграл X (t) dt существует. Из непре-

α

рывности скалярного произведения для любого гильбертова пространства

является интегральной суммой Римана для интеграла K (s, t) ds dt , поэто-

α α

Замечания.

1. В ходе доказательства теоремы 4.2 было установлено, что при выполнении ее условий справедливо равенство

2. Как само определение интеграла, так и его свойства во многом аналогичны определению и свойствам обычного интеграла Римана. В частности, если процесс X (t) непрерывен на интервале [α, β], то он интегрируем этом интервале.

t

3. Интеграл с переменным верхним пределом Y (t) X (s) ds от ста-

α

ционарного случайного процесса X (t) может быть нестационарным процессом. Действительно, пусть X (t) − вещественный стационарный

19

случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Ковариационная функция процесса Y (t) равна

D(Y (t)) не зависит от α , поэтому вычисляя дисперсию по формуле (4.2), по-

t

лучим равенство D(Y (t)) 2 (t τ) K (τ) dτ . Отсюда следует, что D(Y (t)) все-

0

гда зависит от t.

4.3. Задачи на интегрирование случайных процессов

Задача 4.1. Определить вероятность того, что производная Y(t) X (t) от нормального стационарного случайного процесса X(t) в фиксирован-

Решение. Распределение нормального процесса в фиксированный момент времени определяется математическим ожиданием и дисперсией. Вычислим эти характеристики. Очевидно, mY 0,

Решение. При t 20

20