Билеты МЛиТА

1. Понятия формальной системы и дедуктивной теории. Основные определения теории формальных систем. Свойства формальных систем. Примеры.

Опр. Формальная система (или формальная теория) - результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная теория считается определенной, если:

- задано конечное или счётное множество произвольных символов (Алфавит);

- имеется подмножество выражений, называемых формулами;

- выделено подмножество формул, называемых аксиомами;

- имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода.

Опр. Аксиомы-подмножество формул(выражений)

Опр. Правила вывода –позволяют получить из множества формул получить новые формулы.

Опр. Выводимость : ф-ла В явл. выводимой в рамках некоторой формальной теории Т ,если существует ее вывод в рамках этой Т.

Опр. Теория для которой существует эффективный алгоритм, позволяющий узнать по формуле выводима ли она –называется эффективно разрешимой теорией.

Дедуктивная теория – формальная теория, которая задается след. образом:

1. Задан алфавит (множество) и правила образования выражений в этом алфавите.

2. Заданы правила образования формул (правильно построенных, корректных выражений).

3. Из множества формул некоторым способом выделено подмножество T теорем (доказуемых формул).

Разновидности дедуктивных теорий

• Задание аксиом и правил вывода(Таким способом задается формальная теория (формальная аксиоматическая теория, формальное (логическое) исчисление).)

• Задание только аксиом(Геометрия Евклида)

• Задание только правил вывода(Теория молнията, теория естественного вывода)

Свойства дедуктивных теорий

• Противоречивость(Теория, в которой множество теорем покрывает всё множество формул)

• Полнота(Теория называется полной, если в ней для любой формулы F выводима либо сама F, либо ее отрицание .)

• Независимость аксиом(Отдельная аксиома теории считается независимой, если эту аксиому нельзя вывести из остальных аксиом.)

• Разрешимость(Теория называется разрешимой, если существует эффективный алгоритм, позволяющий для любой формулы за конечное число шагов определить, является она теоремой или нет.)

Примеры: Исчисление высказываний (логика высказываний, теория L),Теория первого порядка (теория K), и частный случай — логика первого порядка (исчисление предикатов, теория K₁),Формальная арифметика (теория S).

• Опр.Теория в которой все ф-лы выводимы -непротиворечивая теория.

2. Алгебра высказываний. Основные определения и понятия. Ранг формулы. Примеры подсчета ранга формулы.

Алгебра высказываний изучает способы построения высказываний из уже имеющихся высказываний, закономерности таких способов сочетания высказываний. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.). Высказывание- утверждение на естественном языке о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Основные операции алгебры высказываний:

1.Инверсия (отрицание);

Отрицание–это логическая операция, которая каждому простому

высказыванию ставит в соответствие составное высказывание,

заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

2.Конъюнкция (логическое умножение);

Конъюнкция-это логическая операция, ставящая в соответствие

каждым двум простым высказываниям составное высказывание,

являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных

высказывания истинны.

3.Дизъюнкция (логическое сложение);

Дизъюнкция- это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

4.Импликация (логическое следование и

эквивалентность (логическое равенство).

Импликация-это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда посылка (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Эквивалентность– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

В курсе математической логики дается следующее определение формулы алгебры высказываний:

1. Переменные являются формулами.

2. Если A и B — формулы, то выражение A<связка>B являются формулой.

3. Всякая формула есть либо переменная или образуется из переменных последовательным применением правила 2.

(?)Ранг ф-лы – это число сопостав. фор-л по след правилам:

1. Ранг атомарный(прост.ф-ла/буква=0)

2. Если у имеются ф-лы F и G рангов n₁ и n₂ мост. То р-г ф-л (F^G) равен (F→(G)) max(n₁ , n₂)

3. Логическое значение сложного высказывания в алгебре высказываний. Логическая эквивалентность и ее свойства. Признак логической эквивалентности. Основные эквивалентности алгебры высказываний.

Сложное высказывание –это логическая функция, которая устанавливает соответствие между одним или несколькими высказываниями, которые называются аргументами функции, и высказыванием которое называется значением функции.

Теорема о интерпретации сложной формулы:

Логическое значение сложной формулы F(A₁…A_n) равно значению формулы F(x₁….x_n) на наборе I(A₁)…I(A_n).

1) Определение 4.1. Формулы F(X1,X2,…,Xn) и G(X1,X2,…,Xn) алгебры высказываний называются равносильными (эквивалентными), если при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных логические значения получающихся из формул F и G высказываний совпадают.

2)I(A)- значение ф-лы А при интерпретации

Опр. Назовем F(x₁…x_n) G(x₁…x_n) равносильными(лог. эквивалентными), если I(F)=I(G)для любой интерпретации I.

Пример: F=A→B ↔ G=¬A∨B

A	B	F	G
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	1

Сущность признака состоит в выявлении тесной связи между понятием равносильности формул и понятием тавтологии. Теорема 4.2 (признак равносильности формул). Две формулы F и G алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда формула F↔G является тавтологией. Следствие 4.3. Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

а) рефлексивно: F≅F; б) симметрично: если

F1≅F2, то F2≅F1; в) транзитивно: если

F1≅F2и F2≅F3, то F1≅F3, т.е. отношение равносильности является отношением эквивалентности.

коммутативность

• A∧B≅B∧A

• A∨B≅B∨A;

Ассоциативность

• A∧(B∧C)≅(A∧B)∧C;

• A∨(B∨C)≅(A∨B)∨C;

Дистрибутивность

• A∧(B∨C)≅(A∧B)∨(A∧B);

• A∨(B∧C)≅(A∨B)∧(A∨C);

Правила поглощения:

• A∧(A∨B)≅A;

• A∨(A∧B)≅A;

Законы Де-Моргана

• ¬(A∧Q)≅¬A∨¬B;

• ¬(A∨B)≅¬A∧¬B;

Снятие 2го отрицания

• ¬¬А≅А

Идемпотентность

• A∧A≅A

• A∨A≅A;

Свойства констант

• A∨1≅1,  A∧1≅A;

• A∨0≅A,  A∧0≅0.

Закон исключения третьего и закон противоречия

A∧¬A≅0, A∨¬A≅1;

Правило склеивания

(A∨ B) ∧ (A∨¬B) ≅A

(A∧ B) ∨ (A∧ B) ≅A

4. Классификация формул алгебры высказываний. Соответствие между формулами алгебры высказываний и формализованного исчисления высказываний. Основные тавтологии алгебры высказываний (с хотя бы одной проверкой).

Опр. Фор-ла АВ, истина в любой интерпретации называется тавтологией.

Опр. Фор-ла АВ, ложная при любой интерпретации называется противоречивой.

Опр. Фор-ла АВ, истина хотя бы в одной интерпретации называется выполнимой.

Опр. Фор-ла АВ, ложная хотя бы в 1 интерпретации называется опровержимой.

В основе формализованного исчисления высказываний лежат понятия, относящиеся к так называемой области синтаксиса, т.е. понятия, представляющие собой некие абстрактные, лишенные смысла знаки и формальные действия с ними: алфавит, формула, аксиома, правило вывода, доказательство, теорема. Эти понятия принято называть синтаксическими. В то же время алгебра высказываний пронизана содержательным смыслом: за каждой переменной стоит конкретное высказывание нашего языка, каждая формула может превращаться в конкретное составное высказывание, некоторые формулы могут превращаться только в истинные высказывания (тавтологии) и т.д. В данной сфере, являющейся областью семантики, каждое понятие наполнено каким-то внутренним содержанием, смыслом. Понятия истины и лжи, тождественной истинности и тождественной ложности формул, равносильности и логического следования формул считаются понятиями семантическими.

Формулы ИВ можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого будем трактовать переменные ИВ как переменные алгебры высказываний, т.е. переменные в содержательном смысле, принимающие два значения: 1 и 0.

Т.3.1. Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной (тавтологией) в алгебре высказываний.

Т.3.2. Каждая тождественно истинная формула (тавтология) алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.

 Теоремы 3.1 и 3.2 - формулировка свойств полноты исчисления высказываний.

 Т.3.3. Формула тогда и только тогда доказуема в исчислении высказываний (является теоремой исчисления), когда она является тавтологией алгебры высказываний.

Основные тавтологии:

а) закон исключенного третьего A∨¬A ; б) закон отрицания противоречия ¬(A∧¬A); в) закон двойного отрицания ¬¬A↔A; г) закон тождества A→A; д) закон контрапозиции (A→B)↔(¬B→¬A); е) закон силлогизма (правило цепного заключения) ((A→B)∧(B→C))→(A→C); ж) закон противоположности (A↔B)↔(¬A↔¬B); з) правило добавления антецедента ("истина из чего угодно") A→(B→A); и) правило "из ложного что угодно" ¬A→(A→B); к) правило modus ponen (A∧(A→B))→B; л) правило modus tollens ((A→B)∧¬B)→¬A; м) правило перестановки посылок (A→(B→C))↔(B→(A→C)); н) правило объединения (и разъединения) посылок (A→(B→C))↔((A∧B)→C); о) правило разбора случаев ((A→C)∧(B→C))↔((A∨B)→C); п) правило приведения к абсурду ((¬A→B)∧(¬A→¬B))→A, (¬A→(B∧→B))→A

5. Формализованное исчисление высказываний. Основные определения и понятия формализованного исчисления высказываний. Примеры теорем в формализованном исчислении высказываний и выводимости из гипотез.

Зададим формальную систему связанную с ИВ:

1. Алфавит, служебные символы, связки: основные и дополнительные.

2. Правило построения ф-л(Переменные являются формулами. Если A и B — формулы, то выражение A<связка>B формула. )

3. Аксиома-выделенное из множества формул подмножество.

4. Правило вывода - множество отношений из множества формул,позволяющие из аксиом получить теоремы формальной теории.

Опр. Вывод в теории ИВ,это такая последовательность формул которая удовлетворяет требованиям: 1. F₁ аксиома 2. F_1….. F_n аксиомы или следствия из предыдущих шагов вывода 3. F_n теорема

Опр. Т выводима, если существует ее вывод в И; Т выводима↔ теорема Т.

Опр. Гипотеза-некоторое утверждение ФИВ необязательно являющиеся аксиомами, но на которые мы можем опираться при док-ве тех или иных утверждений ФИВ по нашему условию.

Пусть верно А : А ⊢(В→А)

1. А {гипотеза} 2. А→(В→А) {А₁} 3. В→А {mp 1,2}

Опр. Выводим F из множества гипотез G-послед. ф-л F₁….F_n где

1. F₁ – аксиома или гипотеза

2. F₂ …F_n – гипотезы ,аксиомы полученные из пред. шагов по правилам вывода

3. F_n =F

16. Чистое ИП(1 порядка)- формальная теория K,в которой определены след.компоненты.

1.Алфавит и связки: основные→¬ дополнительные&∨

2.Служебные символы(,)

3.Кванторы:всеобщности ∀ и существования Ǝ

4.Предметные константы(a,b…,a₁,b₁) и переменные(x,y…)

5.Предметные предикаты(P,Q,..) функциональные символы(f;g,..)

С каждым предикатом и функ.буквой связано некоторое натуральное число,которое называется арностью,местностью,вместимостью.