MATMEDECONOM (1)

1. Решим прямую задачу линейного программирования М - симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x₁ - 2x₂ при следующих условиях-ограничений.

2x₁ + x₂ = 15

3х₁ + 2х₂ =6

4x₁ - 2x₂ = 18

5x₁ - 5x₂ = 16

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. Во 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисные переменную -x₄ и х₇. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆.

f(x) = 3*x₁-2*x₂+x₃*0+x₄*0 + x₅*0 + x₆*0 - M*x₇ → max

2x₁ + x₂ + x₃*1+x₄*0 + x₅*0 + x₆*0 = 15

3*х₁ + 2*х₂ + х₃*0 - х₄*1 + х₅*0 + х₆*0+ 1х₇ =6

4* x₁ - 2*x₂ + X₃*0 + X₄*0 + X₅*1 + X₆*0 = 18

5*x₁ - 5*x₂ + X₃*0 + X₄*0 + X₅*0 + X₆*1 = 16

№ интерации	базис	Сi	Решение bi	3	-2	0	0	0	0	- M
				x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x3	0	15	2	1	1	0	0	0	0
	x7	-M	6	3	2	0	-1	0	0	1
	x5	0	18	4	-2	0	0	1	0	0
	x6	0	16	5	-5	0	0	0	1	0
	- f	Δj	6М	3+3M	-2+2M	0	-M	0	0	0

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (15 : 2 , 6 : 3, 18 : 4, 16 : 5 ) = 2

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Получаем новую симплекс-таблицу:

№ интерации	базис	Сi	Решение bi	3	-2	0	0	0	0
				x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x3	0	0	0	0	0	0	0	0
	x1	3	7 1/2	1	1/2	1/2	0	0	0
	x5	0	-30	14	2	-4	0	0	1
	x6	0	-21 1/2	0	-7 1/2	-2 1/2	0	0	1
	- f	Δj	-22 1/2	0	-3 1/2	-1 1/2	0	0	0

В последней симплекс-таблице в строке симплекс - разности все значения < 0.

f = 22 1/2

X=(7 1/2; 0; 0; 0; 30; 21 1/2)

2. Решим прямую задачу линейного программирования М - симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 50x1+27x2+34x3+54x4 при следующих условиях-ограничений.

5*x1+4*x2+6*x3+7*x4 = 275

2*x1+0*x2+4*x3+2*х4=100

3*х1+2*x2+0*x3+1*x4=85

№ интерации	базис	Сi	Решение bi	50	27	34	54	0	0	0
				x1	x2	x3	x4	x5	x6	х7
0	x5	0	275	5	4	6	7	1	0	0
	x6	0	100	2	0	4	2	0	1	0
	x7	0	85	3	2	0	1	0	0	1
	- f	j	0	50	27	34	54	0	0	0

Выбираем наибольшую положительную симплекс - разность (которая определит ведущий столбец). Чтобы определить ведущую строку, вычисляем неотрицательное отношение типа: min {bi/aij}. Новая симплекс-таблица:

№ интерации	базис	Сi	Решение bi	50	27	34	54	0	0	0
				x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1	x4	54	39 2/7	5/7	4/7	6/7	1	1/7	0	0
	x6	0	21 3/7	4/7	-1 1/7	2 2/7	0	- 2/7	1	0
	x7	0	45 5/7	2 2/7	1 3/7	- 6/7	0	- 1/7	0	1
	- f	j	-2121 3/7	11 3/7	-3 6/7	-12 2/7	0	-7 5/7	0	0

Аналогично выбираем наибольшую положительную симплекс - разность (которая определит ведущий столбец). Чтобы определить ведущую строку, вычисляем неотрицательное отношение типа: min {bi/aij}. Новая симплекс-таблица:

№ интерации	базис	Сi	Решение bi	50	27	34	54	0	0	0
				x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
2	x4	54	25	0	1/8	1 1/8	1	1/5	0	- 1/3
	x6	0	10	0	-1 1/2	2 1/2	0	- 1/4	1	- 1/4
	x1	50	20	1	5/8	- 3/8	0	-0	0	4/9
	- f	j	-2350	0	-11	-8	0	-7	0	-5

В последней симплекс-таблице в строке симплекс - разности все значения < 0

f = 2350

X=(20; 0; 0; 25; 0; 10).

Решим двойственную задачу:

b = (50, 27, 34, 54)

275

с = 100

85

5 4 6 7

А = 2 0 4 2

3 2 0 1

Транспортируем матрицу:

5 2 3

А^т = 4 0 2

6 4 0

7 2 1

F(x) = 275х1 + 100х2 + 85х3 → min

5х1 + 2х2 + 3х3 = 50

4х1 + 0х2 + 2х3 = 27

6х1 + 4х2 + 0х3 = 34

7х1 + 2х2 + 1х3 = 54

Решение двойственной задачи:

Z = 2350

y1 = 7 y5 = 11

y2 = 0 y6 = 8

y3 = 5 y7 = 0

y4 = 0

3. 3.1. Поиск опорного плана методом северо - западного угла:

Вариант задачи
	В1	В2	В3	В4	В5	Наличие
А1	1) 65 7	2)55 4	15	9	14	120 (55) (0)
А2	11	3)35 2	4)60 7	5)55 3	10	150 (90) (0)
А3	4	5	12	6)15 8	7) 85 17	100 (0)
Потребность	65 (0)	90 (35) (0)	60 (0)	70 (15) (0)	300 (215)

Добавим фиктивную строку:

Вариант задачи
	В1	В2	В3	В4	В5	Наличие
А1	1) 65 7	2)55 4	15	9	14	120 (55) (0)
А2	11	3)35 2	4)60 7	5)55 3	10	150 (90) (0)
А3	4	5	12	6)15 8	7) 85 17	100 (0)
А4	17	17	17	17	8)215 17	215 (0)
Потребность	65	90	60	70	300

2. Метод наименьшей стоимости:

Для всех свободных клеток находим значения γij = cij – (αi+βj)

α1 + β5 = С15	14	α1	7	β5	7		γ11	1
α2 + β2 = С22	2	α2	0	β2	2		γ12	-5
α2 + β4 = С23	3	α2	0	β4	3		γ13	1
α3 + β1 = С31	4	α3	5	β1	-1		γ14	-1
α3 + β3 = С33	12	α3	5	β3	7		γ21	12
α3 + β4 = С34	8	α3	5	β4	3		γ23	0
α4 + β3 = С43	17	α4	10	β3	7		γ25	3
α4 + β5 = С45	17	α4	10	β5	7		γ32	-2
							γ35	5
							γ41	8
							γ42	5
							γ44	4

Среди посчитанных гамм, выбираем « - » наибольшее по модулю. Для клеткиЮ которой соответствует эта гамма строится цикл:

α1 + β2 = С12	4	α1	0	β2	4		γ11	1
α1 + β5 = С15	14	α1	0	β5	14		γ13	1
α2 + β2 = С22	2	α2	-2	β2	4		γ14	4
α2 + β4 = С24	3	α2	-2	β4	5		γ21	7
α3 + β1 = С31	4	α3	-2	β1	6		γ23	-5
α3+ β3 = С33	12	α3	-2	β3	14		γ25	-2
α4 + β3 = С43	17	α4	3	β3	14		γ32	3
α4 + β5 = С45	17	α4	3	β5	14		γ34	5
							γ35	5
							γ41	8
							γ42	10
							γ44	9