Арифметические операции над числами

Арифметические операции над числами включают: сложение, вычитание, умножение и деление. Умножение и деление являются производными от сложения и вычитания. Рассмотрим данные операции для всех рассмотренных выше систем счисления.

Десятичная система счисления. Каждый из нас знает правила сложения, вычитания, умножения и деления в десятичной системе счисления. Вспомним эти правила, которые также распространяются на все системы счисления:

• В случае, когда наибольший цифровой символ данной системы счисления возрастает на единицу в данном разряде числа, то в этом разряде образуется ноль и происходит перенос единицы в следующий более высокий разряд.

• Если в данном разряде числа происходит вычитание числа большего чем исходное, то происходит заем у старшего разряда, а сам старший разряд уменьшается на единицу.

Двоичная система счисления. В двоичной арифметике используют следующие правила.

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0=0	0-0=0	00=0
0+1=1	1-0=1	01=0
1+0=1	1-1=0	10=0
1+1=10	10-1=1	11=1

Сложение двух многоразрядных чисел начинается с младшего разряда, производится поразрядно с учетом единиц переноса из предыдущих разрядов.

Пример № 11.

+

1010

101

1111

При вычитании в каком-либо разряде единицы из нуля, необходимо «занимать» недостающее количество в соседних старших разрядах. Вычитание начинается с младших разрядов.

Пример № 12.

-

1010

101

101

Умножение двух многоразрядных чисел в двоичной системе счисления выполняется по правилам десятичной системы, и результат представлен в двоичном виде.

Пример № 13.

Деление двух многоразрядных чисел представляет собой многократное вычитание делителя из делимого.

Пример № 14.

1010

101

-

101

10

0

Восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления. В данных системах счисления сложение, вычитание, умножение и деление выполняется аналогично вычислениям в двоичной системе счисления.

Кодирование чисел

Обычно используется три формы записи целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Положительные числа в прямом, обратном, дополнительном кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде, который отделяется запятой.

Например: число А=100111₂ положительно, значит прямой код равен:

А_ПК=0,100111₂

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах имеют разное изображение:

• прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части помещается двоичный код его абсолютной величины.

Например: число А=100111₂ отрицательно, значит прямой код для отрицательного числа равен:

А_ПК=1,100111₂

• обратный код получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Свойства обратного кода:

• ноль в обратном коде имеет двоякое значение, если ноль положительное число, значит 0,0000, а если ноль отрицательное число, то 1,11111. Двойственное представление нуля явилось причиной того, что все числа в современных ЭВМ представляются не в обратном, а дополнительном коде.

Например: число А=100111₂ отрицательно, тогда получим:

А_ОБ=1,011000₂

• дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Например: число А=100111₂ отрицательно, тогда дополнительный код:

А_ДК=100111₂=1,011000+1=1,011001₂

Сравнение форм кодирования целых чисел со знаком показывает, что на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, а также время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов.

Пример № 15. Выполнить следующие действия (С+D), (С-D),

(-С+D), (-С-D), применяя прямой, обратный и дополнительный коды.

С=22₁₀=10110₂ D=34₁₀=100010₂

1. (С+D). Поскольку числа C и D положительны, то во всех кодах они будут равны. Рассмотрим сложение двух положительных чисел в прямом коде. Так как число С имеет 5 разрядов, то добавим еще один разряд слева, чтобы число разрядов в обоих числах стало одинаковым.

С_ПК=0,010110₂ D_ПК=0,100010₂

0,010110

0,100010

0,111000

+

(С+D)_ПК=0,111000₂=32+16+8=56₁₀

Вывод: при сложении двух положительных чисел в любом коде результат равен положительному числу в прямом коде.

2. (С-D) и (-С+D). В данном случае только одно из чисел является отрицательным. Рассмотрим оба случая:

а) С<D, С>0, D<0. Рассмотрим случай, когда число D больше С, и оно отрицательно, для этого переведем число D в дополнительный код, а число С оставим без изменения, так как оно положительно. Получим:

С_ПК=0,010110₂ D_ДК=1,011101₂+1=1,011110₂

(С-D)_ДК=1,110100₂

Вывод: при сложении таких двух чисел результат отрицательный в обратном коде, чтобы получить нормальный вид результата необходимо инвертировать само число кроме знакового разряда.

Ответ: (С-D)_0К=1,110100₂=1,001011₂= - 11₁₀

Теперь рассмотрим случай, когда при сложении этих чисел используется обратный код, тогда:

С_ПК=0,010110₂ D_ДК=1,011101₂

Сложим эти два числа:

1,011101

0,010110

1,110011

1 – машинная единица

1,110100 → 1,001011

+

Вывод: В результате сложения двух чисел с помощью обратного кода, при данных условиях, результат получится отрицательным в обратном коде, увеличенный на машинную единицу.

Ответ: (С-D)_пК=1,110100₂=1,001011₂= - 11₁₀

б) С<D, С<0, D>0. Рассмотрим аналогичный случай. Только теперь число D положительно, а С – отрицательно, поэтому переведем его в дополнительный код.

С_ДК=1,101001₂+1=1,101010₂ D_ПК=0,100010₂

+

1,101010

0,100010

10,001100

1

0,001101

Вывод: при сложении таких двух чисел результат получается положительным в прямом коде. Из-за переполнения знакового разряда к младшему разряду прибавляем 1 и получаем окончательный ответ.

Ответ: (С-D)_ПК=0,001011₂= 11₁₀

Рассмотрим сложение этих двух чисел, но с применением обратного кода.

С_ОК=1,101001₂ D_ПК=0,100010₂

Сложим эти числа:

+

Единица, которая получается при переполнении знакового разряда отбрасывается.

Вывод: результат сложения этих чисел получается положительным и в прямом коде.

(-C+D)=0,001011₂= 11₁₀

3. (-С-D). В данном случае можно поступить двумя способами вынести знак «-» за скобки и сложить два положительных числа в прямом коде. Другой способ – это оба числа перевести в дополнительные коды, а затем их сложить.

С_ДК=1,101010₂ D_ДК=1,011110₂

1,101010

1,011110

10,001000

10,110111

1

0,111000

+

Вывод: при сложении двух отрицательных чисел результат получается положительный, но в обратном коде. Вначале результат необходимо инвертировать, кроме знакового разряда, а затем из-за переполнения знакового разряда к младшему разряду прибавить 1 и получится окончательный ответ.

(-С-D)_ОК=0,111000₂=32+16+8=56₁₀

Рассмотрим случай для этих двух чисел в обратном коде

С_ОК=1,101001₂ D_ОК=1,011101₂

Сложим и получим

Вывод: результат данного вычисления получается отрицательным в обратном коде.

(-C-D)=1,000111₂= 1,111000₂= - 56₁₀