методические указания для выполнения контрольных работ / системы счисления

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Методические указания к выполнению

Контрольной работы №1 по курсу “Информатика”

для студентов специальности ЭУМ заочной формы обучения

Саратов 2000

Цель работы: ознакомление с назначением и принципом записи чисел в различных системах счисления; освоить методику перевода чисел из одной СС в другую; изучить правила выполнения арифметических действий над двоичными числами; освоить методику выполнения арифметических операций над числами.

Существующие типы систем исчисления

Любая вычислительная машина может быть представлена как машина, реализующая различные алгоритмы путем выполнения арифметических операций над числами, представленными в той или иной системе исчисления, в заданных форматах и с использованием специальных машинных кодов.

Под системой исчисления понимается способ представления любого числа по средствам некоторого алфавита символов, называемых цифрами существует два типа систем исчисления:

• позиционные, обладающие преимуществом в наглядности представлении чисел и в простоте выполнения арифметических операций (пример: десятичная система исчисления).

• Непозиционные, имеющие очень сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций (пример: римская система исчисления).

В общем случае в позиционных системах с основанием R любое число может быть представлено в виде полинома от основания R:

a_na_n-1...a₀,b₁b₂...b_m=a_nRⁿ+a_n-1R^n-1+ ....+b₁R^-1+b₂R^-2+b_mR^-m– полином Горнера

где a_n,a_n-1,a₀ –целая часть числа;

b_1,b₂...b_m –дробная часть числа.

Запятая отделяет целую часть числа от дробной и опускается, если нет дробной части. Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называют разрядами. В позиционной системе счисления значения каждого разряда больше значения сосоеднего справа разряда в число раз, равное основанию R системы.

Пример в десятичной системе исчисления число 6097,108 может быть представлено в виде:

6097,108=610³+010²+910¹+710⁰+110^-1+010^-2+810^-3

В ЭВМ применяют наряду с десятичной системой счисления (подготовка исходных данных, выдача результатов вычисления) двоичную систему (работа простых элементов машины), шестнадцатеричную и восьмеричную (запись программ) и некоторые другие.

Наибольшее распространение в ЭВМ двоичная система исчисления, для записи чисел, в которой используется два числа 0 (нуль) и 1 (единица)

Пример двоичное число представленное в виде полинома (10101101,101)₂=12⁷+02⁶+12⁵+02⁴+12³+12²+02¹+12⁰+12^-1+02^-2+12^-3

Соответствует десятичному числу (173,625)₁₀

Применение двоичной системы позволяет уменьшить общее количество аппаратуры и создает большие удобства для проектирование ЦВМ, т. к. Для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент имеющий только два устойчивых состояния. Такими элементами являются реле, триггерные схемы и т. д. Для представления десятичного разряда потребовалось четыре таких элемента.

Для записи чисел в восьмеричной системе (R=8) используется восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. В шестнадцатеричной системе (R=16) Для записи чисел используется 16 цифр: 0от 0 до 15, при этом, чтобы не изображать одну цифру двумя знаками, вводят специальное обозначение математическими буквами:

Десять – А, одиннадцать – В, двенадцать - С, тринадцать –D, четырнадцать - E, пятнадцать – F.

Перевод чисел из системы исчисления в другую автоматически устройством машины. Однако при составлении программы решения задачи у оператора может возникнуть необходимость ручного перевода отдельных чисел из одной системы исчисления в другую.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел из десятичной СС в любую другую СС производиться методом последовательного деления на основание новой системы до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания новой СС . Число в новой СС записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево.

Примеры 36₁₀=100100₂ 36₁₀=44₈ 36₁₀=24₁₆

36	2							36	8					36	16
0	18	2						4	4					4	4
	0	9	2
		1	4	2
			0	2	2
				0	1

Перевод дробной части десятичного числа производиться путем последовательного умножения на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Для некоторых чисел такое условие не выполняется и количество цифр после запятой определяется требуемой точностью. Дробь в новой системе исчисления записывается в виде целых частей полученных произведений, начиная с первого числа

Пример 0,26=0,01₂

0,	26
	2
0,	52
	2
1,	04
	2
0,	08
	2
2,	16

Перевод десятичной дроби производиться в два этапа: сначала переводиться целая часть числа, затем дробная

25,115₁₀=11001,0001₂

25	2							0	115
1	12	2							2
	0	6	2					0	230
		0	3	2					2
			1	1				0	460
									2
								0	920
									2
	2510=110012							1	840

0,115₁₀=0,0001₂

Обратный перевод из какой-либо позиционной СС в десятичную осуществляется составлением полинома Гарнера с основанием данной системы с последующим вычислением его значения.

Пример, 11001,001₂=12⁴+12³+02²+02¹+12⁰+02^-1+02^-2+12^-3=25,125₁₀

Для перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную( или шестнадцатеричную) СС поступают следующим образом:

Двигаясь от запятой в лево и в право, разбивают двоичное число на группы по три (или четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы, Затем каждую из групп по три (по четыре) разряда заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. (см. табл. 1)

Пример

(1101111001,1101)₂=

001	101	111	001,	110	100	=(1571,64)8
1	5	7	1,	6	4

0011	0111	1001,	1101	=(379,D)16
3	7	9,	D

Для перевода восьмеричного числа в двоичную форму каждую цифру этого числа заменяют соответствующим трехразрядным двоичным числом. Таким же образом для перевода от шестнадцатеричной системы к двоичной каждую цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом. Ненужные нули отбрасываются.

Пример (305,4)₈=(11000101,1)₂

3	0	5,	4
011	000	101,	100	=(11000101,1)2

(305,4)₁₆=(1100000101,01)₂

3	0	5,	4
0011	0000	0101,	0100	=(1100000101,01)2

7	B	2,	E
0111	1011	0010,	1110	=(111110110010,111)2

Двоичная арифметика

Двоичная система и двоичный алфавит используется во многих ЦВМ для представления и хранения чисел и команд, и при выполнении арифметических и логических операций.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами таблицами двоичного сложения, вычитания, умножения

Таблица двоичного сложения		Таблица двоичного вычитания		Таблица двоичного умножения
0+0=0		0-0=0		00=0
0+1=1		1-0=1		01=0
1+0=1		1-1=0		10=0
1+1=0+еденица переноса в старший разряд		10-1=1		11=1

Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны. Поэтому сложение двух чисел в двоичной системе можно выполнить столбиком начиная с младшего разряда. В результате цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также единица переноса в старший разряд.

Пример,

+	1	1	0	1	1	1,	0	1
		1	0	0	1	1,	1	0
1	0	0	1	0	1	0,	1	1

При вычитании чисел в данном разряде двоичной системы при необходимости занимается единица из следующего старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного разряда.

-	1	1	0	1	1,	1	0
		1	1	0	1,	0	1
		1	1	1	0,	0	1

Умножение двух многоразрядных чисел производиться путем образования частных произведений и последующего их суммирования. В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит единица. Операция умножения многоразрядных двоичных чисел сводиться к операциям сдвигам и сложениям, Положение запятой определяется также, как при умножении десятичных чисел.

1011,1101,01=111100,0011

					1	0	1	1	1
					1	0	1	0	1
					1	0	1	1	1
				0	0	0	0	0
			1	0	1	1	1
		0	0	0	0	0
	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	0	0	0	1	1

Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению десятичных чисел. Делимое и делитель приводят к виду целых двоичных чисел путем переноса запятой в делителе и делимом на одинаковое число разрядов и дописывание нулей в недостающие справа разряды

Пример, 1100,011:10,01=101,1

1	1	0	0	0	1	1		1	0	0	1	0
1	0	0	1	0				1	0	1,	1
	0	1	1	0	1	1
		1	0	0	1	0
			1	0	0	1	0
			1	0	0	1	0
					0

Прямой обратный и дополнительный коды

При проектировании вычислительных устройств необходимо решить вопрос о способах представления в машине положительных и отрицательных чисел и о признаке переполнения разрядной сетки. Данный вопрос решается применением специальных кодов позволяющий все арифметические операции свести к сложению и сдвигу вправо или влево. Во всех этих кодах используется старший разряд для представления знака числа. Знак «плюс» кодируется цифрой нуль, а знак «минус» - цифрой единица. В прямом коде число хранится в виде абсолютной величины и кода знака числа.

Пример, а=+1101 а=-1101

а_пр=0.0001101 а_пр=1.0001101

восьмиразрядная сетка

В обратном коде запись положительных чисел не изменяется. Для записи отрицательных чисел в обратном коде записывают еденицу в знаковый разряд и выполняют инверсию цифровых разрядов.

Пример, а=+1101 а=-1101

а_обр= а_пр=0.0001101 а_обр=1.1110010

В дополнительном коде запись положительных чисел не изменяется. Для перевода отрицательных чисел в дополнительный код записывают еденицу в знаковый разряд и выполняют инверсию цифровых разрядов, прибавляют «единицу» в младший разряд числа.

Пример, а=+1101 а=-1101

а_доп=а_обр =а_пр=0.0001101 а_доп=а_обр+1=

+	1.	1	1	1	0	0	1	0
								1
	1.	1	1	1	0	0	1	1

Машинные арифметические операции над числами производятся в зависимости от формы представления этих чисел. Существует две формы представления этих чисел: