шпоргалка / краткие шпоры / 17

17. Алгебра высказываний

Алгебра - наиболее адекватный математический аппарат описания действия в этих системах, поэтому алгебраический аппарат наилучшим образом подходит для описания общих систем природы, отвлеченных от их предметной направленности.

Информатика изучает информацию, сообщения или знаковые системы, последовательности. Информационные процессы лучше структурируются и формализуются с помощью алгебраических структур.

Утверждение (высказывательная форма) – основная единица, неделимая с точки зрения информации, семантического смысла знаний.

Высказывание – повествовательное утверждение, про которое можно однозначно сказать, что оно истинно или оно ложно. (Логические переменные)

Рассмотрим примеры:

1. Москва – столица Российской Федерации.

2. Житель города Нальчика.

3. 5-9+8

4. 5-9+8=4

5. В пятую неделю зимы выпал снег.

6. На Юге Африки живут пингвины.

Высказывание должно быть однозначно истинным или ложным, поэтому высказываниями являются только утверждения 1, 4 ,6.

Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.

Выражения: х > 5, x > y – предикаты.

7>5 – высказывание.

Логической (булевой) функцией f(х) называется некоторая функциональная зависимость, в которой аргумент х – логическая переменная с заданным множеством изменений аргумента, а значения функции f(x) берутся из двухэлементного множества R(f) = {1,0}.

Множество логических переменных с определенными над ним операциями: – отрицания или инверсии, – логического сложения или дизъюнкции , – логического умножения или конъюнкции называется алгеброй предикатов (и высказываний) , если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

Основные аксиомы предикатов:

1. Аксиома двойного отрицания:

2. Аксиомы переместительности операндов (относительно операций дизъюнкции и конъюнкции):

3. Аксиомы переместительности операций дизъюнкции и конъюнкции (относительно операндов):

4. Аксиомы одинаковых операндов:

5. Аксиомы поглощения (множителем — множителя-суммы или слагаемым — слагаемого-произведения):

6. Аксиомы распределения операции (дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот):

7. Аксиомы де Моргана (перенесения бинарной операции на операнды):

8. Аксиомы нейтральности (взаимноинверсных множителей или слагаемых):

9. Аксиома существования единицы (истина, true, 1) и нуля (ложь, false, 0), причем,

Из этих аксиом следует ряд полезных соотношений, например,