шпоргалка / Ответы / 4-3

В компьютере может храниться и обрабатываться информация различного характера: числа, адреса, команды, различные сим­волы, графические изображения и т.д. Любая информация в ком­пьютере представляется в числовой форме, при этом используют­ся различные системы счисления.

Под системой счисления понимается способ представления чи­сел с помощью символов (цифр), имеющих определенное коли­чественное значение. В любой системе счисления числа представ­ляются в виде последовательности цифр. Каждая цифра числа за­нимает определенное место, называемое позицией или разрядом. Разряды нумеруются, обычно слева направо начиная с нулевого разряда. Количество различных цифр, используемых в позицион­ной системе счисления, называется ее основанием. Таким обра­зом, число А с основанием q, состоящее из п разрядов, записыва­ется в следующем виде:

А = а_п._Ла_п_₂... a_i...a₂a_ia₀,

где а,- — цифры числа А (/ = 0, 1, п - 1).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисле­ния. В позиционных системах значение цифры зависит от ее пози­ции. Например в десятичном числе А₁₀ = 121 левая цифра «1» име­ет значение «сто», цифра «2» — значение «двадцать», а правая цифра «1» — значение «один».

В зависимости от величины основания различают двоичную, восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную и другие систе­мы счисления. В двоичной системе счисления используют две цифры (О и 1), в восьмеричной — восемь (0, 1, 7), в десятичной — десять (0,1, 9).

В шестнадцатеричной системе счисления необходимо исполь­зовать 16 цифр. Чтобы не изображать одной цифрой два символа, кроме десятичных цифр применяют шесть первых прописных букв латинского алфавита, имеющих следующие значения: А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15. В любой системе счисления младшая цифра равна нулю, а старшая на единицу меньше осно­вания.

В позиционных системах счисления каждая цифра имеет вес. Обычно вес старшей цифры по отношению к весу соседней млад­шей цифры больше в количество раз, равное основанию системы счисления. При этом для целых чисел вес младшего разряда в любой системе счисления равен единице. Тогда значение целого числа в системе счисления с основанием q может быть определе­но следующим образом:

А = (^fl«-i^fl«-2 - a₂a_la₀)g= a_n__xqⁿ~^x + a_n^q"'² + - + a₂q² + a_xq^l + a₀q°.

В общем случае число состоит из целой и дробной частей. Тогда его значение определяется из следующего соотношения:

Л = (^fl«-i^a«-2 ••• а₂а_ха_йа_ла_₂ - О? =

= + dn-iq"'² + - + a₂q² + a_{q^x + a₀q° + a__xq~^l +

+ a_₂q~²+ ... + a__mq-^m,

где n — число разрядов целой части числа; т — число разрядов дробной части числа.

В качестве примера приведем запись десятичного числа A_w -= 46,25 в системах счисления с основаниями 2, 8 и 16:

А₂ = (101110,01)₂ = (1-2⁵ + 1-2³ + 1-2² + 1-2' + 1-2;% = = (32 + 8 + 4 + 2 + '/₄)io = 46,25₁₀;

Л = (56,2)₈ = (5 • 8¹ + 6 • 8° + 2 • 8-'),о = (40 + 6 + ²/₈) = 46,25₁₀;

А₁₆ = (2Е,4)₁₆ = (2 • 16¹ + 14-16° + 4-16-% = = (32 + 14 + У₁₆)₁₀ = 46,25₁₀.

При хранении и обработке информации внутри компьютера используется двоичная система счисления. Это объясняется необ­ходимостью физического представления только двух цифр (0 и 1), простотой выполнения арифметических операций и возмож­ностью осуществления любых преобразований информации с по­мощью двоичных логических элементов.

Шестнадцатеричная (и реже восьмеричная) система счисле­ния используется для более компактного представления инфор­мации (по сравнению с двоичной системой) при вводе и выводе больших массивов двоичных данных. Это связано с простотой пе­рехода от двоичной системы счисления к шестнадцатеричной (восьмеричной) и наоборот.

Для перевода числа из двоичной в шестнадцатеричную (восьме­ричную) систему счисления следует разделить двоичное число на группы по четыре (три) разряда, начиная от запятой влево и впра­во, а недостающие до полной группы разряды заполнить нулями. Затем заменить каждую группу шестнадцатеричной (восьмери­чной) цифрой. Например:

А₂ = (101110,01)₂ = (0010 1110,0100)₂ = (2Е,4)₁₆; А₂ = (101110,01), = (101 110,010)₂ = (5б,2)„.

При переводе из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную достаточно заменить каждую шестнаддате-ричную (восьмеричную) цифру соответствующим четырехразряд­ным (трехразрядным) двоичным числом. Например:

А₁₆ = (2В7,5)₁₆ = (0010 1011 0Ш,0101)₂ = (1010110111,0101)₂; А_г = (1042,3)8 = (001 000 100 010,011)₂ = (1000100010,011)₂.