26. Выпуклость и вогнутость графика функций.

Рассмотрим не плоскости кривую являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции .

Определение 1. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на этом интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, и кривую обращенную выпуклостью вниз - вогнутой.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой её формы. Установим её признаки, по которым можно было бы, исследуя функцию судить о направлении выпуклости её графика на различных интервалах.

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, то есть то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т.е. , то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

27. Асимптоты. Определение и классификация. Формулы для их нахождения.

Очень часто приходится исследовать форму кривой , а значит и характер изменения соответствующей функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно). При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении её переменной точи в бесконечность, неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой если расстояние её от переменной точки кривой до этой точки при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

В дальнейшем будем различать вертикальные (т.е. // оси ординат) и наклонные (т.е. не // оси ординат).

1. Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая есть асимптота кривой и обратно, если прямая есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения , при приближении к которым функция стремится к бесконечности. Тогда прямая будет вертикальной асимптотой.

Пример. Кривая имеет вертикальную асимптоту , так как .

2. Наклонные асимптоты. Пусть кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид:

(1)

Определим числа . Построим произведение

Пусть точка, лежащая на кривой и точка лежащая на асимптоте. Длина отрезка равна расстоянию от точки до асимптоты. По условию

(2)

Если обозначим через угол наклона асимптоты к оси , то из найдем

Так как постоянный угол (неравный ), то в силу предыдущего равенства

(2*)

И, наоборот, из равенства следует равенство (2)

Но

и равенство (2*) принимает вид

(3)

Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), и наоборот если, при постоянных и выполняется равенство (3), то прямая есть асимптота. Определим теперь и , вынося за скобки в равенстве (3) получим:

Так как , то должно выполняться равенство:

При постоянном . Следовательно,

или

(4)

Зная из равенства (3) находим

(5)

Итак, если прямая есть асимптота, то и , если прямая находятся по формулам (4) и (5). Обратно если существуют пределы (4)-и (5), то выполняется равенство (3) и прямая есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет.

28. Общая схема исследования функций с использованием производной.

    1. найти область определения функции,

    2. найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках,

    3. четная, нечетная,

    4. периодичность,

    5. найти точки пересечения ее с осями координат,

    6. найти асимптоты (вертикальные и наклонные),

    7. найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции,

    8. найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости,

    9. построить график.

29. Комплексное число. Определение и геометрический смысл.

30. Тригонометрическая, показательная и алгебраическая форма записи комплексного числа.

31. Основные действия с комплексными числами (возведение в степень, извлечение корня).

Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел с установленным порядком следования

z=(a,b), a=Re(z), b=Im(z).

Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.

a=(a,0) - вещественное число, (0,b) - чисто мнимое число. (0,1)=i - мнимая единица.

Еще примеры комплексных чисел: 0=(0,0), -1=(-1,0), -i=(0,-1). Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.

1. Действия с комплексными числами.

1) Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: z₁=(a₁,b₁), z₂=(a₂,b₂). Если ₁=z₂  a₁=a₂, b₁=b₂. Операция сравнения не определена. Множество комплексных чисел - неупорядоченное множество.

2) Сложение. z₁+z₂=(a₁+a₂,b₁+b₂).

Пример: (0,1)+(1,0)=(1,1).

3. Умножение. z₁z₂=(a₁ a₂ - b₁b₂, a₁b₂+a₂b₁).

Операции сложения и умножения включают действия с действительными числами. Пример: Умножение чисто вещественного числа на чисто мнимое число. (b,0)(0,1)=(0,b)= ib - тем самым чисто мнимое число есть произведение соответствующего действительного числа на мнимую единицу.

 алгебраическая форма записи комплексного числа z = a + ib = Re(z) + iIm(z).

Обратные операции.

4) Вычитание. z₁ - z₂ = (a₁ - a₂, b₁ - b₂).

5) Деление.

.

Пример. 1/i = -i.

5. Возведение в целую степень. Действия с многочленами.

Примеры:

a) i² = i i= (0,1)(0,1) = -1.

б) z= (a, b) = a + ib. z² = (a+ib)² = a² + 2iab - b² = (a² - b²) + i 2ab  ; Re(z²)=(a²- b²), Im(z²) = 2ab.

7) Комплексное сопряжение. z=(a, b)=a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b;

z^* = (a, -b) = a - ib. Re(z^*) = a ; Im(z^*) = -b. ; Re(z) = ( z + z^* ) / 2; Im(z) = (z - z^* ) / 2i.

Некоторые свойства. (z₁  z₂)^*= z₁^*  z₂^* ; (z₁ z₂)^* = z₁^* z₂^*; (z₁ / z₂)^* = z₁^* / z₂^*; (z^*)^* = z.

Примеры. а) z z^* = (a + ib)(a - ib) = a² + b²; б) (z z) ^* = (z²)^* = (a² - b²) - i 2ab; в) z₁ / z₂ = z₁ z₂^* / z₂ z₂^*; г) i^* = -i; 1^* = 1.

II. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. z = (x, y) = x + iy  точка плоскости (x, y). Взаимно однозначное соответствие.

Комплексная плоскость:

Ось абсцисс Re(z) - действительная ось. Ось ординат Im(z) - мнимая ось