23. Необходимое и достаточное условие экстремума функции (2 – ая производная).

Пусть при производная функции обращается в нуль, то есть . Пусть, кроме того, вторая производная существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда справедлива следующая теорема:

«Пусть , тогда при функция имеет max, если и min, если ».

Если в критической точке , то в этой точке может быть или max и min, или не может быть ни max ни min. В этом случае исследование нужно вести первым способом. Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице:

		характер критической точки
0	-	точка max
0	+	точка min
0	0	неизвестен

Пример: Исследуем на экстремум функцию

Решение: Найдём производную

Из уравнения находим 2 стационарные точки: .

Критических точек нет.

Далее, найдем вторую производную . Определим знак агорой производной в каждой из найденных стационарных точек. Имеем ; , следовательно, есть точка максимума, а - точка минимума функции.

24. Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть, функция непрерывна на отрезке . Тогда на этом отрезке функция достигает своего наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка , то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Итак, функция на отрезке достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции; оно достигается либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке то надо:

1) найти все max функции на отрезке.

2) определить значения функции на концах отрезка, т.е. вычислить и

3) из всех порученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять наибольшее значение функции на отрезке.

Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.

25. Точки перегиба графика функции. Определение.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны над нею.

Установим теперь условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема (Необходимое условие точки перегиба). Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке необходимо чтобы функция была дифференцируема в точке и чтобы в этой точке вторая производная либо не существовала, либо была равна нулю.

Доказательство: Могут представиться лишь четыре случая:

а)

б)

в)

г) не существует.

Но в случаях а) и б) по теореме (ранее доказанной) кривая располагается по одну сторону от касательной; т.е. в этом случае точка не может быть точкой перегиба. Значит, возможны случаи в) и г), что и требует доказать.

Теорема. (Достаточное условие точки перегиба)

Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то эта точка есть точка перегиба.

Доказательство: Пусть при и при . Тогда при кривая обращена выпуклостью вверх и при выпуклостью вниз. Следовательно, точка , есть точка перегиба.