2 Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа).
Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется по крайней одна точка с, a<c<b что для неё выполняется равенство
Геометрическое толкование теоремы:
Заметим, что отношение
есть угловой коэффициент секущей АB,
а
- есть угловой коэффициент касательной
к кривой y=f(x) в точке с абсциссой
x=c. Таким образом, утверждение теоремы
Лагранжа равносильно следующему: дуге
АВ всегда найдется, по крайней мере,
одна точка, точка M, в которой
касательная параллельна хорде АВ.
3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)
Если
и
- функции непрерывные на отрезке [a, b]
и дифференцируемые внутри него, причем
нигде внутри отрезка не обращается в
нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется
такая точка х=с, a<c<b
что
-
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
Теорема (правило
Лопиталя). Пусть функция
и
на некотором отрезке
удовлетворяет условиям теоремы Коши и
обращается в нуль в точке
,
то есть
тогда, если существует предел отношения
при
то существуют и
причём
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Теорема. Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы при всех
в окрестности точки
,
причём производная
не обращается в нуль; пусть далее,
,
и пусть существует предел
Тогда существует предел и
и
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
-
Возрастание и убывание функции, и связь с производной.
Как известно, функция
определенная на
промежутке
,
называется возрастающей
или убывающей на этом промежутке,
если для любых
из
или
следует
или
Оказывается характер
монотонности функции связан со знаком
производной. Геометрические соображения
подсказывают, что если дифференцируемая,
функция
возрастает на заданном
промежутке
,
то касательная к графику функции в любой
точке
либо составляет с положительным
направлением оси абсцисс острый угол
,
либо параллельна
абсцисс и поэтому
.
А так как
,
то
.
Если же дифференцируемая функция
убывает на промежутке
то касательная к
графику функции в любой точке
,
либо составляет с
положительным направлением оси абсцисс
тупой угол
,
либо параллельна оси абсцисс. В этом
случае
и, значит,
Теперь мы применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1.
1) Если функция
,
имеющая производную на
отрезке
возрастает; на этом отрезке, то её
производная на отрезке
не отрицательна то есть
.
2) Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в промежутке
причем
для
,то
эта функция возрастает на отрезке
.
-
Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума.
Определение максимума.
Функция
в точке
имеет максимум
(maximum)
если значение функции
в точке
больше, чем её значения во всех точках
некоторого интервала, содержащего точку
.
Иначе говоря, функция
имеет максимум при
,
если
,
при любых
(положительная и отрицательная) достаточно
малых по абсолютной величине.
Определение минимума.
Функция
имеет минимум (minimum)
при
,
если
при любых
- как положительных так и отрицательных,
- достаточно малых по абсолютной величине.
В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующее обстоятельства:
1 Функция, определенная на
отрезке, может достигать максимума и
минимума только при значениях
,
заключенных внутри
рассматриваемого отрезка.
2 Не следует думать, что max и min - функции являются, соответственно, её наибольшими и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Максимумы и минимумы функции называют экстремумами или экстремальными значениями функции.
Экстремальные значения
функции и их расположение на отрезке
в известной степени характеризуют
изменение функции в зависимости от
изменения аргумента.
Теорема 1.
(необходимое условие
существования экстремума).
Если;
дифференцируемая
функция
имеет в
точке
максимум или минимум,
то её производная обращается в нуль в
этой точке, т.е.
или не существует.
Из теоремы 1 непосредственно
вытекает следствие: если, при всех
рассматриваемых значениях аргумента
функции
имеет производную,
то она может иметь экстремум (максимум
или минимум) только при тех значениях,
при которых производная обращается в
нуль.
Теорема 2. (достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция
непрерывна в некотором
интервале, содержащем критическую точку
и дифференцируема во всех точках этого
интервала (кроме быть может самой точки
).
Если при переходе слева направо через
эту точку производная меняет знак с
плюса, на минус, то при
функция имеет max.
Если же при переходе
через точку
слева направо производная меняет знак
с минуса на плюс, то функция имеет в этой
точке min.
Таким образом:
если а)
то в точке
функция
имеет max
если б)
то в точке
функция имеет min.
Схема исследования дифференцируемой функции на max и min с помощью первой производной.
На основании изложенного
можно сформулировать следующее правило
для исследования дифференцируемой
функции
на max
и min.
1. Имеем первую производную
функции, то есть
.
2. Находим критические
(точки) значения аргумента
для этого:
а) приравниваем первую
производную к нулю и
находим действительные
корни полученного уравнения
;
б) находим значения
при которых производная
терпит разрыв.
3. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа достаточно определить знак производной вблизи от критической точки.
4. Вычисляется значение
функции
при каждом критическом значении
аргумента.
Пример.
Исследуем на экстремум функцию
Решение:
Имеем
Находим действительные корни производной
Таким образом, получили две
стационарные точки
,
.
Производная всюду непрерывна,
значит других критических точек нет.
Исследуем первую критическую точку
.
Так как
то при
имеем
имеем
Значит при переходе через
точку
производная меняет
знак с «+» на «-», следовательно в точке
функция имеет max.
При переходе через точку
производная меняет знак с «-» на «+»,
значат в этой точке функция имеет min.
Итак,
