15. Параметрические функции и их производные.

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями

(3)

причем функция на отрезке имеет обратную функцию . Тогда, как известно, производная определяется формулой

(4)

Для нахождения второй производной дифференцируем по х равенство (4) имея в виду, что t есть функция от х

(5)

но

Подставляя эти выражения в формулу (5), получим:

Аналогично можно найти производные и т.д.

Пример: Функция у от х задана параметрически

Решение:

16. Производные высших порядков.

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается символом у" или : .

Так, например, если , то , .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается или .

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого порядка), от производной (n-1)-го порядка, и обозначается символом или

(Порядок производной берется в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени).

Производные 4-го, 5-го и высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр: , , .

В таком случае порядок производной можно писать без скобок.

Например, если ,

то ; ;

17. Дифференциал функции. Определение и геометрический смысл. Основные свойства дифференциала.

Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию . Приращение функции служит важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке . Однако непосредственно определение приращения функции иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим образом: разбивают отрезок на конечное число достаточно малых отрезков и приближённо считают, что на каждом из них прирост функции происходит по закону прямой пропорциональности. Иными словами, предполагается, что на достаточно малом отрезке имеет место приближённое равенство.

где коэффициент пропорциональности не зависит от , но, вообще, говоря зависит от .

Если при этом окажется, что при надлежащем подборе коэффициента пропорциональности погрешность , будет бесконечно малой величиной высшего порядка относительно , то есть отношение

будет бесконечно малым при , то величина , называется дифференциалом функции в точке (здесь буква - знак дифференциала).

В этом случае, как следует из соотношения справедливо равенство:

(1)

где при .

Иначе говоря

Определение. Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Таким образом, если функция имеет производную в точке , то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается

Вычисление дифференциала функции называется ее дифференцированием, то есть при дифференцировании функции надо вычислить ее производную, а результат помножить на ; поэтому процесс вычисления производной тоже часто называют дифференцированием.

Однако, ни в коем случае нельзя путать производную и дифференциал

друг с другом !!!

Производная функции зависит только от , тогда как дифференциал зависит также от , в приложениях дифференциал обычно считается величиной бесконечно малой, тогда как производная – величина конечной.

Геометрический смысл дифференциала функции состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной.

Таким образом, замена приращения функции на ее дифференциал геометрически означает, что график функции заменяется отрезком касательной к нему в точке . ясно, что для такой замены имеются основания, если достаточно мало.

Теорема единственности дифференциала.

Данная функция может иметь только один дифференциал.

Теорема о связи дифференциала и производной.

Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.

Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.

Определение. Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, то есть функции . Так как для , то согласно формуле имеем

то есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой независимой переменной.

Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Разделив обе части последней формулы на получим:

Что означает: производная функции равна отношению дифференциала этой функции и дифференциала независимой переменной.

Свойства дифференциала.

Задача нахождения дифференциала равносильна нахождению производной, так как умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции.

Следовательно, большинство теорем и формул сохраняет свою силу и для дифференциала. Так, например:

1. дифференциал суммы нескольких дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов, то есть .

2. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой, то есть

, так как

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций определяется по следующей формуле: .

4. Дифференциал дроби (частного) равен дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произведение числителя на дифференциал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби.

, тогда

18. Дифференциалы различных порядков

Пусть имеем функцию y=f(x), где х – независимая переменная. Дифференциал от этой функции

есть некоторая функция от х, но от х может зависеть только первый сомножитель , второй же сомножитель (dx) является приращением независимого переменного х, и от значения этого переменного не зависит. Так как dy есть функция от х, то мы имеем право говорить о дифференциале этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается через

Найдем выражение второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем

Так как dx от х не зависит, то dx при дифференцировании выносится за знак производной, и мы получаем:

Принято, записывая степень дифференциала, опускать скобки; так, например, вместо (dx)² принято писать dx², подразумевая под этим квадрат выражения dx, вместо (dx)³ пишут dx³ и т.д.

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго порядка.

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка.

(1)

Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

19. Теорема Роля, теорема Лагранжа, теорема Коши.

1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля).

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах х=а; х=b обращается в нуль , то существует внутри отрезка [a;b] по крайней мере одна точка x=c, a<c<b, в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Число c называется корнем функции φ(х), если φ(с)=0.

Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование:

Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось ОХ в точках с абсциссами a и b, то на этой кривой найдется по крайней мера одна точка с абсциссой с, a<c<b, в которой касательная параллельна оси ОХ.