Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальным уравнением первого порядка называется любое уравнение вида

.

Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой вобращает уравнение в тождество:

.

Если уравнение можно разрешить относительно производной , то говорят, что уравнение записано в нормальной форме:

.

Задача Коши для уравнения заключается в нахождении решения, удовлетворяющего условию. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши утверждает, что, если функцияи её частная производнаянепрерывны по совокупности аргументов, то найдется такой интервал, на котором имеется, и притом единственное, решениеуравнения, для которого.

Общее решение дифференциального уравнения 1го порядка есть соотношение видатакое, что

1) для любого решения уравнениянайдется константа, для которой;

2) для любой константы неявное уравнениеопределяет некоторое решениедифференциального уравнения.

Имеется несколько стандартных уравнений первого порядка, в которых нахождение общего решения сводится к взятию подходящих интегралов.

Уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения имеют вид

.

Решение уравнения сводится к преобразованию



Задача 4.3.а) Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Запишем каки перегруппируем правую и левую части уравнения, так чтобы слева от знака равенства остались члены, зависящие только от, а справа –только от.

Вычисляя интеграл от левой части, получим:

.

Для правой части получаем

.

Окончательно,

.

Однородные уравнения. Уравнения имеют вид

.

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены

,,

откуда следует, что

.

Задача 4.3.б) Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть уравнения является функцией от , поскольку.Будем искать решение в виде . Тогда, и исходное уравнение можно записать в следующем виде

.

Разделяем переменные

,

откуда

Для первого слагаемого получаем:

.

Для второго,

.

Следовательно,

.

С учетом табличного интеграла

,

получаем

.

Остается вернуться к переменной .

Ответ: .

Линейные уравнения. Линейные уравнения имеют вид

,

где ипроизвольные функции. Для решения линейных уравнений будем использовать метод Бернулли. Он заключается в том, что решение ищется в виде произведения двух функций, одну из которых мы выберем специальным образом. С учетом соотношения

,

получим

.

В качестве возьмем произвольное решение уравнения с разделяющимися переменными

.

Тогда ,и функция есть решение уравнения

.

Задача 4.3.в Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Положим , тогда и мы получаем

.

Выберем в качестве функции произвольное частное решение уравнения.Тогда уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Первое уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными:

,

откуда

.

Поскольку нас интересует частное решение этого уравнения, положим . Тогда

.

Второе уравнение системы теперь можно записать в виде

,

откуда

Ответ:

Уравнения Бернулли.

Уравнения Бернулли либо сводятся к линейным с помощью замены , либо интегрируются с помощью подстановки Бернулли.

Задача 4.3.г Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Воспользуемся подстановкой Бернулли

, ,

откуда

Приравнивая нулю сумму второго и третьего слагаемых, получим систему

Находим частное решение первого уравнения



,

Следовательно,

.

Полагая , получим

.

Для второго уравнения системы теперь получаем

,

откуда

.

Для интеграла слева получаем

.

Для интеграла справа получаем

.

Следовательно,

.

Вовзращаясь к , получим

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Рассмотрим уравнение

где иконстанты, а функцияв правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть ,– корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

,

если , два различных вещественных числа; имеет вид

если и, наконец, решение имеет вид

если , комплексносопряженные корни характеристического уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения. Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число. Еслине является корнем характеристического уравнения, то частное решениеищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

если , и в виде

если или. Здесь,многочлены степени, коэффициенты которых можно определить, подставивв исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Еслиявляется корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов,увеличивается на 1.

Задача 4.4.а. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение



Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

.

Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Получаем:

,

.

Подставляя ,,в исходное уравнение, получаем:

Сокращая на и приводя подобные, получим

,

,

откуда



Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид

.

Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:

,

Поскольку , второе уравнение имеет вид. Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и:

Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:

.

Далее,

.

Ответ: .

Задача 4.4.б. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

,

откуда

,

где  мнимая единица. Следовательно, ,, и общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что

,

получим:

откуда

и, следовательно,

, .

Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция

.

Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде

.

Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия

, .

Так как

,

получаем систему линейных уравнений на и :

откуда .

Числовые и функциональные ряды.

Числовым рядом называется формальное выражение вида

,

где число слагаемых неограниченно. Выражение называется общим, илиным, членом ряда. Сумме бесконечного числа слагаемых нужно придать смысл. Делается это следующим образом. Назовем –ной частичной суммой рядасумму первыхслагаемых

.

Суммой ряда называется предел частичных сумм

.

Ряд с конечной суммой называется сходящимся. Если предела частичных сумм не существует, говорят, что ряд расходится.

Найти сумму ряда точно почти никогда не удается. В действительности важно знать, сходится ли ряд вообще, или нет. Именно этот вопрос нас и будет интересовать.

Необходимое условие сходимости ряда

.

Ряд называется знакоопределенным, если все слагаемые имеют один знак. Имеется несколько простых достаточных условий сходимости знакоположительных рядов.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

.

Тогда, если , то ряд сходится; если , то ряд расходится.

Признак Коши (радикальный). Пусть существует предел

.

Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Признак Коши (интегральный). Если найдется такая монотонно убывающая положительная функция , чтодля всех, то тогда из сходимости интеграласледует сходимость ряда , а из расходимости интеграла следует расходимость ряда .

Иногда для исследования сходимости знакоположительного ряда удобно использовать признаки сравнения. Если и ряд сходится, то и сходится. Если и ряд расходится, то и расходится.

Из признаков сходимости знаконеопределенных рядов нам потребуется признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Если мы имеем ряд

,

где , и при этом , то рядсходится. Для рядов, удовлетворяющих условию Лейбница (то есть знакочередущихся рядов, у которых монотонный предел модуля –го члена равен нулю), имеется следующая полезная оценка:

,

то есть остаток ряда, начиная с произвольного члена , по модулю не превосходит этого члена.

Задача 4.5.а Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем , , и, по признаку Даламбера,

Следовательно, ряд сходится.

Задача 4.5.б Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем: , и, по радикальному признаку Коши,

Следовательно, ряд сходится.

Задача 4.5.в Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем:

Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости ряда и ряд расходится.

Задача 4.5.г Исследовать сходимость ряда .

Решение. Подберем ряд для сравнения. С учетом неравенств , , выполненных при всех , имеем

.

Для ряда воспользуемся интегральным признаком Коши. Положим . Тогда

.

Следовательно, и ряд , и ряд сходятся.

Функциональным рядом называется выражение вида

Для каждого фиксированного значения параметра сходимость ряда определяется как предел частичных сумм соответствующего числового ряда. Область сходимости – множество значений , при которых ряд сходится. Для степенного ряда

областью сходимости является интервал , где . Здесь обозначает верхний предел последовательности , то есть наибольший из пределов всех сходящихся подпоследовательностей.Внутри данного интервала ряд сходится абсолютно (то есть сходится ряд, составленный из модулей членов). Сходимость степенного ряда в граничных точках исследуется отдельно.

Рядом Тейлора функции в точкеназывается степенной ряд

где

.

Если значение равно сумме ее ряда Тейлора, то функция называется аналитической в точке. Ряд Тейлора определен однозначно в том смысле что, если для какого-либо степенного ряда,то тогда . Степенные ряды внутри области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать: если , то тогда

,

Задача 4.6. Выписать ряд Тейлора функции с центром в точке. Найти область сходимости ряда.

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

при .

Для этого сначала поделим с остатком числитель дроби на знаменатель:

.

Далее,

где .

Следовательно,

.

Окончательно,

Чтобы найти область сходимости ряда, воспользуемся признаком Даламбера. Зафиксируем и рассмотрим ряд из модулей:

Тогда общий член ряда записывается формулой ,, и, следовательно,

Согласно признаку Даламбера при ряд сходится, а при ряд расходится. Интервал сходимости ряда . Исследуем поведение ряда в граничных точках. Приполучаем:

.

Поскольку , то необходимое условие сходимости ряда оказывается невыполненным, и ряд расходится. Приряд расходится по той же причине.

Задача 4.7. Вычислить приближенно с точностью до =0.001 значение интеграла , используя разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора.

Решение. Воспользуемся формулой

Подставляя вместо , получим:

.

Интегрируя почленно, получим

Чтобы понять, сколько членов ряда нужно взять, чтобы найти сумму ряда с точностью до 0.001, воспользуемся оценкой остатка лейбницевского ряда: сумма отброшенных слагаемых по модулю не превосходит первого отброшенного числа. Таким образом, остается решить, для какого натурального числа впервые будет выполнено неравенство

.

Последовательно подставляя в данное неравенство значения , убеждаемся, что впервые неравенство оказывается выполненным при:

.

В частности, все слагаемые ряда, начиная с , можно отбросить.

Ответ: .

Рядом Фурье на интервале называется функциональный ряд вида

Если функция непрерывна (или имеет конечное число разрывов первого рода) на интервале , и ее производная существует всюду, кроме конечного числа точек, и при этом ограничена по модулю , то значениев точках непрерывности равно сумме ряда Фурье

,

коэффициенты икоторого определяются по формулам

, , , ,.

Задача 4.8. Представить функцию рядом Фурье в интервале (0,2).

Решение.Имеем:

.

Окончательно, получаем:

.