К О Р О Л Ё В С К И Й И Н С Т И Т У Т УПРАВЛЕНИЯ, ЭКОНОМИКИ И СОЦИОЛОГИИ

Утверждаю:

Проректор по учебной и научной работе КИУЭС

В.В.Котрин

«___»___________ 2004 г.

Кафедра математики математика и ее приложения

Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ.

Методические материалы и указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочной формы обучения

Королёв, 2004

Борисова О.Н., Яцкевич А.Б. (под редакцией Борисова В.Ф.) Математика и ее приложения. Методические материалы и указания к выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения. Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ. Королёв: КИУЭС, 2004,83с.

Рецензенты: к.ф.м.н., доцент Сдвижков О.А., к.ф.м.н., доцент Киселев В.Н..

В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения и приводятся решения задач контрольных работ по математике для студентовзаочников КИУЭС. Пособие может служить путеводителем при работе с более полными и подробными курсами математики.

РЕКОМЕНДОВАНО Учебно-методическим советом КИУЭС Протокол № от 2004 г.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики. Протокол № 2от19.10 2004г.

Зав. кафедрой математики КИУЭС д.ф.-м.н., профессор Борисов В.Ф.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Решение систем линейных уравнений.

Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера.

Задача 1.1. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных; б) по формуле с вычислением обратной матрицы; в) по формулам Крамера.

Решение. а) Начнем с метода Гаусса последовательных исключений неизвестных. Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит, отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменнаяосталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит, отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключениемнеизвестных ,,и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения ,,,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения.

Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе на , а затем сложим полученные уравнения. Получим

Аналогично, умножим первое уравнение системы на 8, второе  на , а затем сложим.

Данное преобразование будем записывать в следующем виде:



Возьмем теперь второе уравнение и с его помощью исключим переменную из третьего уравнения системы. Для этого второе уравнение системы умножим на 63, третье уравнение умножим на, и сложим полученные уравнения.



Мы привели систему уравнений к так называемому верхне-треугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной из последнего уравнения системы, затем значение переменнойиз второго уравнения, и, наконец, значение переменнойиз первого уравнения.

Ответ: .

б) Решим теперь ту же систему уравнений матричным способом, с вычислением обратной матрицы.

Напомним основные понятия матричной алгебры. Матрицей размера называется таблица, в которой имеетсястрок истолбцов. Элемент матрицы, стоящий в-й строке,–м столбце, обозначается через. Матрицы иразмераиможно перемножить, и получить в результате матрицу,, размерапо следующему правилу:

.

Другими словами, элементы й строки матрицы умножается почленно на элементы–го столбца матрицы, затем полученные произведения складываются и записываются в–й строке,-м столбце матрицы.

Рассмотрим квадратные матрицы, у которых число строк и столбцов одно и то же. Единичной матрицей размера называется матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а остальные элементы равны 0,

.

Основное свойство единичной матрицы состоит в том, что для любой матрицы размерапроизведениеравно. Матрицаназываетсяобратной для квадратной матрицы , если. Обозначается обратная матрица. Обратная матрицаопределена однозначно, но существует тогда и только тогда, когда. Как вычислять определительи как находить обратную матрицу, будет объяснено ниже.

Используя правило умножения матрицы и векторстолбца размера , запишем исходную систему линейных уравнений в виде

где

Поскольку по определению обратной матрицы имеем

,

и так как , решение системы можно записать в виде

.

Чтобы находить , необходимо научиться вычислять определительматрицы.

Нам понадобятся два понятия: знак элемента матрицы и минор элемента. Для элемента , стоящего в–й строке,–м столбце матрицы,знак равен числу. Удобно использовать следующее правило знакочередования: у элементапервой строки, первого столбца знак равен, а у любых двух соседних по строке или столбцу элементов знаки различны.

Минором элементаназывается определитель матрицы, которая получается вычеркиваниемй строки и –го столбца исходной матрицы.

Определение определителя матриц начнем с матриц размера . Определитель матрицы размера равен произведению элементов главной диагонали (то есть диагонали, идущей сверху вниз и слева направо) минус произведение элементов сопряженной диагонали,

.

В частности, .

Определитель матрицы размера сводится к вычислению трех определителей матриц размерапо следующему правилу: надо выделить произвольную строку (или столбец) матрицы, умножить каждый элемент этой строки (столбца) на знак этого элемента, и умножить на минор элемента, а затем все полученные произведения сложить. Это правило называетсяразложением определителя по строке (столбцу). Можно показать, что результат не зависит от выбора строки или столбца.

Приведем результат разложения определителя матрицы по первой строке:

В частном случае:

Поскольку , обратная матрицасуществует. Для вычисленияиспользуем формулу

,

где – алгебраические дополнения элементовматрицы(заметим, что алгебраические дополнения элементов строк записываются в соответствующие столбцы). Получаем:

, ,

, ,,

, ,.

Обратная матрица, следовательно, имеет вид

Остается умножить матрицу на столбец,

Результаты совпали.

в) Рассмотрим третий способ решения систем линейных уравнений, который является непосредственным следствием матричной формулы  правило Крамера.

Обозначим через определитель матрицы. Пустьесть определитель матрицы, в которой вместо первого столбца стоит столбец. Пустьесть определитель матрицы, в которой вместо второго столбца стоит столбец. Наконец, пустьесть определитель матрицы, в которой вместо третьего столбца стоит столбец.

,

, ,

Если , то согласно правилу Крамера решение системы уравнений можно найти по формулам

, ,.

Имеем:

Следовательно, по формулам Крамера,

, ,.

Ответы вновь совпали.

Решение вырожденных систем линейных уравнений.

Если определитель матрицы системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система противоречива, и решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

Задача 1.2. Решить систему уравнений

Решение. С помощью первого уравнения исключим переменную из второго и третьего уравнений системы.

Получаем:

Исключим теперь с помощью второго уравнения системы переменную из третьего уравнения.

В результате третье уравнение системы превращается в тождество , и остается только два уравнения:

Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для и для) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные, объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.

Отсюда:

Ответ:, где  произвольные параметры.

Геометрия на плоскости.

Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид

,

где  произвольная точка на прямой, а – направляющий вектор. Если уравнение прямой записано в виде

,

то – направляющий вектор, а вектор нормали (направленный по перпендикуляру к прямой). Нам потребуется еще формула деления отрезка пополам: если задан отрезок , и координаты точек,известны, то серединой отрезкаявляется точка

.

Задача 1.3. В треугольнике ABC с вершиной A(10,7) известны уравнения высоты BB₁:

2xy+37=0

и медианы CC₁:

8x+11y162=0.

Написать уравнения всех сторон треугольника ABC.

C

B₁

A(10,7)

C₁ B

Решение. Проще всего написать уравнение стороны , поскольку мы знаем точку, через которую проходит прямая, и знаем направляющий вектор(вектор нормали к высоте). Следовательно, уравнениеимеет вид

Чтобы написать уравнение прямой , найдем сначала координаты точки. Обозначим эти координаты через. С одной стороны, точка лежитна прямой, и, следовательно,

С другой стороны, поскольку является серединой отрезка, то. Нолежит на прямой, поэтому

Решая совместно систему уравнений

получаем

Итак, точка имеет координаты, направляющий вектор прямойравен.Уравнение прямой имеет вид

Прежде чем написать уравнение прямой , найдем координаты точки. Она лежит на пересечении прямыхи, поэтому ее координаты являются решением системы уравнений

За направляющий вектор прямой можно взять вектор

,

а уравнение запишется в виде

Аналитическая геометрия в пространстве.

Нам необходимо знать следующие три операции над векторами в трехмерном пространстве.

1) Скалярное произведение векторов:

где ,– длины векторови, а угол между ними. В координатах: если ,, то

2) Векторное произведение векторов: есть вектор,

а) направленный по нормали к плоскости, натянутой на вектора ,;

б) имеющий длину, равную площади параллелограмма , построенного на векторах,;

в) и, наконец, направление вектора должно быть таким, что вращение от векторак векторувнутри параллелограммабудет осуществлятьсяпротив часовой стрелки, если глядеть с конца стрелки вектора .

В координатах:

.

3) Смешанное произведение векторов:

В координатах:

Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что естьобъем параллелепипеда, построенного на векторах

Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:

где  координаты произвольной точки прямой, а есть произвольный направляющий вектор.

Имеется два типа уравнения плоскости в пространстве

а) .

Здесь  вектор нормали к плоскости, а  координаты произвольной точки плоскости.

б) ,

где , любые два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, а , попрежнему, произвольная точка плоскости.

Задача 1.4. В пирамиде ABCD с вершинами A(10,7,1), B(7,10,0), C(1,10,7), D(7,1,17) найти:

а) угол между ребрами AB и AD;

б) угол между ребром AD и плоскостью ABC;

в) площадь основания ABC;

г) объем пирамиды;

д) расстояние от вершины D до плоскости ABC.

Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.

Решение. а). Найдем векторы ив координатах. Напомним, что для этого следует из координат конца вектора вычесть координаты начала:

,

.

Чтобы найти угол между векторами ,, вычислим скалярное произведение векторовив координатах, затем найдем длины векторови, и подставим полученные значения в формулу скалярного произведения. Получаем:

,

,

.

Подставляем в формулу скалярного произведения:

,

откуда ,.

б) Угол между ребром AD и плоскостью ABC равен , где угол между ребром AD и нормалью к плоскости ABC. Начнем поэтому с вычисления нормали к плоскости ABC. В качестве вектора нормали можно взять векторное произведение векторов и (поскольку). Векторв координатах имеет вид

.

Следовательно,

Обозначим для краткости . Теперь, как и в пункте а) вычислим скалярное произведение векторов и , и с его помощью определим угол между векторами и .

,

,

,

.

Следовательно, угол между ребром AD и плоскостью ABC равен .

в) Площадь основания ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и .По второму свойству векторного произведения, длина вектора как раз и равна площади этого параллелограмма. Следовательно,

.

г) Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Объем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного произведения . Имеем:

.

Заметим, однако, что нам нет необходимости заново вычислять этот определитель, поскольку он равен скалярному произведению векторов и , а эта величина была найдена выше, в пункте б). Следовательно,

.

д) Расстояние от вершины D до плоскости ABС можно найти, используя формулу объема пирамиды

,

поскольку все величины в ней, кроме высоты (которая и равна расстоянию от точкиD до плоскости ABС), уже известны. Получаем:

.

В заключение, напишем уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.

Направляющий вектор высоты равен(21,27, 18). Высота проходит через точкуD(7, 1,17). Следовательно, каноническое уравнение высоты имеет вид

.

Чтобы написать уравнение плоскости , воспользуемся уравнением . В качестве вектора вновь можно использовать вектор нормали , а в качестве – точкуD(7, 1,17). Получаем:

Задача полностью решена.