шпоргалка / шпора 16-30

№16. Длина дуги кривой: рассмотрим сначала кривую L, заданную в декартовых координатах уравнением y=(x), axb. Бу­дем считать, что функция (x) имеет непрерывную производную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] несколько частей точками x_i:a=x₀<x₁<... <x_n=b. Соответствующие точки на кривой L обозначим буквами M₀, M₁,..., M_n. Соединим точки M₀, M₁,..., M_n отрезками. Получим ломаную L_n. Обозначим длину этой лома­ной L_n. Назовём длиной кривой L предел длин ломаных при x0, где x=max_1inx_i, а x_i=x_i+1–x_i, l=lim_x0l_n. Если указанный предел существует, то кривая L наз. спрямляемой. Покажем, что при сделанных предположениях (функция (x) имеет непрерывную производную) Кривая L явл. спрямляе­мой.Вычислим длину участка ломаной l_i, соответствующ. от­резку [x_i-1, x_i] оси Ox. По теореме Пифагора l_i=x_i²+y_i². Приращение функции y_i можно представить по теореме Лагранжа в виде: y_i=(x_i)–(x_i-1)='(_i)(x_i–x_i-1)='(_i)x_i, где _i некоторая точка интервала (x_i-1,x_i). Поэтому длина ломаной l_n выражается формулой l_n=x_i²+('(_i)x_i)²

=1+('(_i))²x_i. Последняя сумма явл. интегральной суммой для функции 1+('(x))². Так как эта функция по условию непрерывна, то оп­ределенный интеграл от функции 1+('(x))² сущ. и, =>, существует предел длин ломаных. Т.о., кривая L явл. спрямляемой и её дли­на l может быть вычислена по формуле l=_a^b1+('(x))²dx. Вычисление длины дуги кривой, заданной парамет­рически: очень часто кривую L удобно задать параметрически x=(t), y=(t), t₁tt₂

Пример: часть окружности x²+y²=1, расположенную в верхней полуплоскости можно задать явно: y=1–x², |x|1, а можно задать параметрически: x=cos t, y=sin t, 0t. Теор: Пусть кривая L задана параметрически: x=(t) непрерывные производные на отрезке [t₁,t₂]. Тогда это кривая спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле: l=_t1^t2('(t))²+('(t))²)dx Док: Проведём рассуждения для случая, когда '(t)0, t[t₁,t₂]. Для определенности считаем, что '(t)>0. В этом случае существует обратная функция t=^-1(x), x[a,b], где a=(t₁), b=(t₂). Переменную y можно считать сложной функцией переменной x: y=(x)= (^-1(x)). Применим результат предыдущего пункта.

l=_a^b1+('(x))²dx=_a^b1+((^-1(x))²((^-1(x)')²dx= =_t1^t21+('(t)/'(t))²dt=_t1^t2('(t))²+('(t))²dt. При преобразованиях интеграла сделана замена переменной x=(t). Теор. док. Вычисление длины дуги кривой, заданной в поляр­ных координатах: пусть кривая L задана в полярных координатах уравнением r=(), ₁₂, где функция () имеет непрерывную про­изводную на отрезке [₁,₂]. Тогда кривая L спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле l=_1^2²()+('())²d [1]. Док. формулы [1] основано на использовании формулы для вычисления длины дуги, заданной параметрически. В качестве параметра в этом случае выступает переменная : x=rcos =()cos , y=rsin =()sin , ₁₂, Подставляя выражения для x() и y() в соответствующую формулу и проделав все нужные выкладки, получаем формулу [1].

№21 Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ. N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ; (число)

(x₁, x₂, …,x_m)-независимые переменные.

Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ. , для любого

Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),

A(a₁, a₂,…, a_m)

Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем

Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

M(x₁, x₂, …,x_n) ; … ; A(a₁, a₂, …,a_n)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.

№24 Теорема (достаточное условие диф): Если Z=f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности т. Po(Xo,Yo), непрерывна в самой точке Po, то она диф. В точке Po(Xo,Yo).

Если Z=f(x,y) дифф. В т. Po(Xo,Yo),, то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции Z=f(x,y) в т. Po

Дифф. сложной ф-ции нескольких переменных.

U=f(x,y,z); x=x(t), y=y(t), z=z(t)

U=f(x(t),y(t),z(t))=F(t)

Теорема: Если ф-ция U=f(x,y,z) дифф. В т. Po(xo,yo,zo) принадл. D(f), а x=x(t), y=y(t), z=z(t)

- дифф. в т. To прин. D(f), то U=f(x(t),y(t),z(t)) будет дифф. в т. To прин. D(f), и

;

;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

№27 Теорема Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

Определитель этой матрицы называется определитель Гессе или также Гессианом.

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации в методе Ньютона.

№17. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, может быть выражена как функция от x, т.е. в виде, то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ox плоскостями x=a и x=b, находится по формуле

Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Если фигура, ограниченная кривыми и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения

№20

Квадратурная формула левых прямоугольников

Очевидно, что ее алгебраическая степень точности d=0 и формула является интерполяционной.

Квадратурная формула правых прямоугольников

Квадратурная формула средних прямоугольников

Алгебраическая степень точности d=1 и формула является интерполяционной.

3. Квадратурная формула трапеций

Алгебраическая степень точности формулы трапеций d=1.

4. Квадратурная формула Симпсона

Правило Рунге практической оценки погрешности (экстраполяция по Ричардсону)

Будем предполагать, что f(x) имеет непрерывные на [a,b] производные требуемого порядка.

Пусть SN — квадратурная сумма с N разбиениями.

S2N — квадратурная сумма с 2N разбиениями.

I — точное значение интеграла.

Можно показать, что главный член погрешности может быть вычислен следующим образом:

№18 Пусть f(x) определена на и инт на ;

Пусть

Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.

Свойтсва НИ-1.

1. Аддитивность

Если сходится, то

2. Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Исследование на сходимость.

Т1: Пусть ф-ции f(x) и g(x) , тогда если и , то

сходится сходится

расходится пасходится

Предельный признак сравнения для НИ-1.

Т2: Пусть, ; , тогда если конечный , то и сходятся или расходятся одновременно.

При k=1 при

Т3: Если и сходится, то сходится.

Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .

Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся .

Главное значении.

Главным значением называется ; VP-Value principul

Если и сходится, то и

№30 Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

№29. u=f(M)=f(x₁,x₂,_..,x_n) опред. в окр. т.М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰). Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М₀ локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М₀ в кот.при ММ₀ выполняется след. нер-во: f(M)<f(M₀), (f(M)>f(M₀)).

∆u=f(M)-f(M₀)<0, если М₀ т.локал. мах.; ∆u>0, если М₀ т.локал. мin.

Теор.(необход.усл.экстремума).

Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М₀ и М₀ – т.лок. max (min), то в этой точке: (x1..xn)

Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.

u=xy², u_x’=y²=0; u_y’=2xy=0; M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.

∆u=u(M)-u(M₀)= xy²>(<)0

Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:

z=1-√x²+y²; z_x’=x/√x²+y²; z_y’=y/√x²+y²; z(0,0)=1; z(∆x,∆y)<1

Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)

Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M₀ и т.M₀ – стационар.т., u=f(M) (df(M₀)=0), тогда если для любых dx₁,dx₂,..dx_n не равных одновременно 0:

d²f(M₀)>0, то т.M₀-т.лок.min; d²f(M₀)<0, то т.M₀-т.лок.max;

1. d ²f(M₀)>0↔a₁₁>0,

2. d²f(M₀)<0↔a₁₁<0,

Если d²f(M₀) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M₀ экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)>0 то полож.опр.

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)≥0 то казизнакополож.опр

х₁²+2х₁²х₂²+х₂²+(х₁+х₁)²≥0; х₁=-х₂.

№19 f(x) определена на [a,b); ; , т.е.

называется НИ-2 и обозначается “интеграл а-b f(x)dx”. Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.

Свойства НИ-2.

{Аналогично НИ-1. }

1)Аддитивность: Если инт(а-беск) сходится, то

2)Линейность: если инт(а-беск) сходится и инт(а-беск) g(x)dx сходится, то инт(алфа*f(x) +бета*g(x)) сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

№22 Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

№23 ; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.

Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то

Док-во: ; ;

№25. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z . F(x,y,z)=0 x+y+z=e^z - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x²+y²+z²=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z)  непрерывна в т. р₀(x₀,y₀,z₀) и ее производная по z F_z(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)

z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz

F(x₀,y₀,z₀)=0dF=0

F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0

dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**)

Сравнивая (*) и(**) 

z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)

z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

№26. f(x,y)= f(x₀,y₀)+A∆x+B∆x+o(ρ); z₀=f(x₀,y₀); z=f(x,y); ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀;

z₀=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀); z₀-z=A(x-x₀)+B(y-y₀);

z₀-z=f_x‘(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y‘(x₀,y₀)(y-y₀)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.

z=f(x,y) (x₀,y₀,z₀).

Нормалью к поверхн. в данной точке М₀(x₀,y₀,z₀) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀)=(z-z₀)/(-1) – ур-ние нормали

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀,z₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀,z₀)=(z-z₀)/f_z‘(x₀,y₀,z₀)

№28 u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М₀€[М]

└→(R_k+1(N))

N отр М₀М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М₀.