шпоргалка / Шпоры на 1 семестр

1.Множества, операции над множествами.

Мн-ва – набор предметов произв. природы. Обознач А,В,С. Предметы: а,в,с. Пустые мн-ва – несодержащие ни одног эл-та. Равные мн-ва – мн-ва, кот. состоят из одинаковых элементов. Объеденение мн-ств – мн-во, состоящее из эл-тов, кот. принадлежат или А или Б. Пересечение мн-ств – мн-во, сост. из эл-тов, кот. принадл. и А и Б.

2. Нат, цел, рац числа.. Иррациональность √2. Опред. дейст. числа.

*N- мн. натур. чисел, Z- мн. цел. чисел, Q- мн. рац. чисел.

* Не каждую т. можно снабдить Q числом. Рассм. квадрат со стороной 1 и диагональю √2. Пусть √2=m/n (m/n несократима), то 2=m^2/n^2, m^2=2n^2 -> m – четное, то m=2k -> 4k^2=2n^2, n^2=2k^2. n- четное -> m/n сократима -> √2 не принад. Q.

* Дест. число – любая бесконеч. десятич. дробь +-x0,x1,x2…,xn. Мн-во дейст. чисел R. Если дробь без R переодична, то её считают изображение рац. числа.

16.Точки разрыва ф-ии. Классификация т. разрыва. Кусочно непрерывная ф-ия.

***Опр. Если y=f(x) не явл. непрерывной в т.х₀, то она наз. разрывной в этой т., а сама т.х₀ наз. разрывной. Замечание. точками разрыва ф-ии явл. точки, в кот. ф-ии неопределенна, но кот. являются предельными т. области опред.

***1. Устранимая. x₀ – устранимая т. разрыва, если сущ. lim f(x)=a, но либо f(x) не определен. в т.х₀, либо f(x0)<>0. Эту т. разрыва легко устранить, деопределив ей в т.разрыва предельным значением. y=(sinx)/x где (x<>0) =1 где (x=0). 2 1 рода. х₀ – т. разрыва 1 рода, если сущ. _x->x0- lim f(x)=f(x0-), но они не равны между собой. Ф-ия в т. разрыва 1 рода боится сделать скачок, величина кот.=модуля разности односторонних пределов. y=sgn (x)=1 при х>0, =-1 при x<0, при х=0 при х=0. 3. 2 рода. х₀-т. разрыва 2 рода, если хотя бы один из односторонних пределов не сущ., или равен бесконечности. *** Опр1. y=f(x) наз кусочно непрерывной на [a,b] если она непрерывна во всех точках этого отрезка за искл. коненчого числа, в кот. она имеет разрывы первого рода и сущ. одностор. пределы в а и b. Опр2. y=f(x) наз кусочно непрерыв. на всем промежутке, если она кусоч. непрерывна на любом принадлежащем отрезке.

31. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциал высших порядков.

*** Пусть y=f(x) дифф-ма в т. х0, тогда ∆y=f ’(x0)*∆x+E(∆x)*∆x, E(∆x)→0при ∆x→0

∆y=f(x)-f(x0). С точностью до беск. м. более высокого порядка, чем ∆х имеет место ∆y=dy или y(x) ≈y(x0)+y’(x0)*(x-x0)

***y=f(x) dy=f ‘(x)dx Пусть х=φ(t) dy=f ‘(φ(t))*φ’(t)dt=f ‘(x)dx, т.е. дифференециал имеет одну и ту же форму, когда х-незав. Переменная и когда х-ф-ия др.переменной

d²y=f ”(x)dx²,если х-незав.переменная. Пусть х=φ(t). d²y=d(dy)=d(f ‘(φ(t))*φ(t)dt=

=f “(φ(t))*φ’(t)*φ’(t)dt²+f ’(φ(t))*φ”(t)dt²=f “(φ(t))*(φ’(t)dt)²+f ‘(φ(t))*φ “(t)dt²=

=f “(x)*dx²+f ‘(x) d²x, если х-ф-ия др.переменной

*** y=f(x) дифф-ма на (а,в) тогда dy=f ‘(x) dx-ф-ия 2 переменных х и dx. Если зафиксировать dx,то dy будут ф-ей х, поэтому d(dy)=d(f ‘(x)dx)=d(f ‘(x))dx=f “(x)*∆x*dx Если ∆х=dx, то d(dy)=d²y=f “(x)dx²-дифференцирование 2-ого порядка. Аналогично d³y=

=d(d²y)=d(f “(x) dx²)=f “’(x)∆xdx²=f “’(x)dx³

dⁿ y=f⁽ⁿ⁾(x)-dx⁽ⁿ⁾→f⁽ⁿ⁾(x)=(dⁿy)/(dxⁿ)

3. Точные грани числовых множеств. Теорема о точной верхней грани.

* Любое ограниченное сверху или снизу мн-во имеет бесконечно много верхних и нижних граней. . Мн-во наз. ограничным, если оно ограничено сверху и снизу. Наименьшее из верхних граней…..наибольшее из всех нижних граней… .

* Теорема: всякое не пустое ограниченное сверху (снизу) мн-во имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. |||пусть Х- непустое множество, ограниченное сверху. Тогда множество Y чисел, ограничивающих Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого хХ и любого yY имеет место неравенство xy. Согласно свойству непрерывности вещественных чисел (пусть X u Y два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хХ и yY выполняется неравенство xy, то существует хотя бы одно число с, такое что для любых чисел х и y выполняются неравенства: xc y ) существует число с, что для любых x u y выполняется неравенства: xc y. Из первого неравенств в силу определения верхней грани следует, что число с ограничивает множество Х сверху, т.е. является верхней гранью, из второго что оно наименьшее из таких чисел, т.е. является точной верхней гранью|||

17. Монотонные ф-ии. Точки разрыва непр.ф-ии. Критерии непрерывности монотонной ф-ии.

***Опр1. ф-ия y=f(x) – неуб. (невозраст.) в некот. множ. x, если при люб. x₁,x₂ принад. X, х₁<x₂ => f(x₁)<=f(x₂) (f(x₁)>=f(x₂)). Неуб. и невозрас. ф-ии наз. монотонными.

Опр2. y=f(x) наз. возраст. (убыв) на Х, если х₁,х₂ прин. Х, х₁<x₂ => f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)). Возраст. и убыв. ф-ии наз. строго монотонными.

Лемма1. Если y=f(x) монотонна на (a,x₀] то сущ. _x->x0- limf(x). Если f(x) монотонная, напр. возраст. на (a,x₀] и не огранич. сверху, то _x->x0 limf(x)=+беск. |||| y=f(x) возраст. на (a,x₀]. Д-м, что сущ. _x->x0- limf(x)=sup{f(x)}=M. F(x)-ограниченна сверху на (a,x₀] поэтому сущ. sup{f(x)}=M при x<x₀. 1. при люб. х a<x<x₀ =>f(x)<=M. 2. при люб. Е>0 сущ. х_E, т.ч. а(х_Е)>M-E. Возьмем x_E<x<x0, т.к. f(x) возраст., то M-E<f(x_E)<f(x)<=m<M-E => |f(x)-M|<E. При любом E>0 сущ. б=x₀-x_E т.ч. при люб. х: 0<x₀-x<б =>|f(x)-M|<E это означает, что x->x₀- lim f(x)=M. Если f(x) не ограничена сверху,то при любом E>0 сущ. E>0 сущ. х_Е прин. (a,x₀]. f(x_E) >E; при любом E>0 сущ. б=x₀-x_E т.ч. при люб. х: 0<x₀-x<б => f(x)>E т.к. x->x₀- limf(x)=+беск||||| Лемма2. если f(x)=y монотонна на [x₀,b], то сущ. x->x₀ lim f(x)=inf{f(x)}. Если f(x) возрст. на [x₀,b], не ограничена снизу, то _x-.x0 lim f(x)=-беск.

***Теор. если f(x) монотонна на (а,b), то в любом x0 прин. (a,b) f(x) может имеет разрыв 2 рода. |||| при любом х0 прин. (а,b), по лемме 1. сущ x->x0- lim f(x)=f(x0-), по лемме (2) сущ. x->x0+ lim f(x)=f(x0+). Если f(x0-)<>f(x0+), то x0 – т.р. 1 рода|||

***Пусть f(x) монотонна на [a,b]Для непр f(x) на [a,b] необ и дост чтобы при люб.L,леж между f(a) и f(b), нашлось x0 принад. [a,b] т.ч. f(x0)=L

32.Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

*** Пусть х и y есть ф-ии параметра t: x=φ(t) y=ψ(t). Если сущ. t=φ^-1(x), то y=ψ(φ^-1(х))-ф-ия у от х. Если t=ψ^-1(y), то х=φ(ψ^-1(у)) есть ф-ия х от у. Система (1), в к-ой одна из ф-ий имеет обратную, определяет ф-ию у от х, или х от у. Такой способ задания ф-ии наз-ся параметрический. Будем находить производные у от х, их обозначают y_х’,y_xx’’… Пусть φ(t) и ψ(t) имеет нужное число производных по t. В силу инвариантности формы дифференциала y_х’=(dy)/(dx)=(ψ’(t)dt)/(φ’(t)dt)= (ψ’(t))/(φ’(t)) y_xx’’= ((y_х’)’ t)/x’t

***Говорят, что у есть неявная ф-ия от х, если она задана f(x,y)=0, не разрешенная отн-но у. е^ху-х-у=0 Чтобы найти y_х’ дифференцируют F(x,y)=0 по х помня, что у есть ф-ия от х(т.е. умножать на y ‘),затем разрешают полученное рав-во отн-но y_х’: y_х’=f(x,y) Чтобы найти y_хх’’ дифференцируют по х y_х’: y_хx’’=φ(x,y, y’) y_хx’’=φ(x,y,f(x,y))=Ф(х,y)

34. Теорема Ролля и Лагранжа.

***Пусть f(x) непр. на [a,b], дифференцируема хотя бы на (а,b) и f(a)=f(b). Тогда сущ. с (a,b), в к-ой f ‘(c)=0|||Док-во. Т.к.f(x) непр. на [a,b], то по 2-ой т. Вейерштрасса она достигает на нем своего наим. м и наиб. М значений.Возьмем 2 случая:1) м=М f(x)=const на [a,b]→ f ‘(x)=0 при люб. х[a,b]. 2)м<М тогда или м, или М достигается во внутр. т. с (a,b). Тогда т. с- т.лок.экстремума и по т. Ферма f ‘(c)=0|||

***Пусть f(x) y непр. на [a,b], дифф-ма на (а,b) тогда сущ. с  (а,b) т.,ч. f(b)-f(a)=f ‘(c)*(b-a)||| Док-во.Рассм. вспом. ф-ию F(x)=f(x)-f(a)-((f(b)-f(a))/(b-a))*(x-a). F(x) непр. на [a,b], дифф-ма на (a,b) и F’(x)=f ‘(x)-((f(b)-f(a))/(b-a)). F(a)=0; F(b)=0; По т. Ролля сущ. с  (a,b), в к-ой F’(c)=f ‘(c)-((f(b)-f(a))/(b-a))=0|||

4. Предел числ. послед. Единственность предела. Ограниченность сходящейся послед.

* **Число а называется пределом последоват. x_n при n->беск., то найдется номер такой, что при люб. n>N ->|x_n-a|<E.

* **Если послед-ть имеет конечный предел, то она наз. сход-ся.

Теор. Сход-ся послед. имеет единств. предел. ||| _{n-> беск} lim x_n=a, _{n-> беск} lim x_n=b, a<>b. При люб. Е>0 сущ. N(E) т.ч. при люб. n>N ->|x_n-a|<E. При люб. E>0 сущ. N(E) т.ч. при люб. n>N -> |x_n-b|<b. Выберем E=|b-a|/2 и N=max(N1,N2), при любю a>N |b-a|=|b-x_n+x_n-a|<=|b-x_n|+|x_n-a|<E+E=|b-a| - против. ->A=B.|||

***Теор. Сходящ. послед. будет ограниченной. ||| _n->беск. lim xn=a. При люб E>0 сущ. N(e) т.ч. при люб. n>N => |x_n-a|<E. E=1 сущ. N т.ч. при любю n>N => |x_n-a|<1. |x_n|=|x_n-a+a|<=|x_n-a|+|a|<1+|a|. M=max{|x₁|,..|x_n|,..1+|a|}. При люб. |x_n|<=M т.ч. {x_n} – огранич.||||

5. Предел суммы, произведении и частного двух сходящихся послед. Предельный переход в нер-ах.

* **Теор. Если {x_n} и {y} сх-ся, то {x_n+-y_n}, {x_n*y_n}, {x_n/y_n}, y_n<>0 сч-ся, причем при _n->беск. 1.lim(x_n+-y_n)= limx_n +-limy_n. 2. Lim(xn*y_n)= limx_n*limy_n. 3. lim(x_n/y_n)= limx_n/limy_n.

_{|||| x->беск}. lim x_n=a, limy _n=b. При люб. E>0, сущю N₁т.ч. при люб n>N₁ -> |x_n-a|<E\2. При люб. E>0 сущ. N₂, т.ч. при люб. n>N₂ -> |y_n-b|<E\2. N=max(N₁,N₂) при люб. n>N надо док. |(x_n+y_n)-(a-b)|<=|x_n-a|+|y_n-b|<E|||

*** Теор. Если {x_n} и {y_n} сх-ся и x_n<=y_n начиная с N₃, то _n->беск limx_n<= _n->беск lim y_n ||| Пусть limxn=a, limyn=b. Надо док. a<=b. Пусть a>b. При люб. E>0 сущ N₁, т.ч. при люб. n>N₁ |x_n-a|<Ea-E<x_n<a+E. При люб. E>0 сущ N₂, т.ч. при люб. n>N₂ |y_n-b|<Eb-E<y_n<b+E. N=max(N₁,N_2,N₃); E=(a-b)\2. При люб. n>N => x_n>a-((a-b)/2)=(a+b)/2 y_n<b+((a-b)/2)=(a+b)2 => y_n<x_n – противоречие. => a<=b.||||

18. Теорема об обращении в нуль непрерывной на отрезке ф-ии. Метод половинного деления.

*** Теор. Если f(x) непр. на [a,b] и f(a)*f(b)<0, то внутра отрезка сущ. С прин. (a,b), т.ч. f(c)=0 |||| f(a)<0, f(b)>0. Обозначим {x}={x:f(x)<0}. Это множество не пусток, т.к. содержит т.а и ограничено сверху, напр. b. Поэтому сущ. sup{x}=c. Т. С – внутр. т., т.к. по теореме об устойчивости знака непр. ф-ии сущ правая полуокр. т.А., в которой f(x)<0 и сущ левая полуокр. т.b, в кот. f(x)>0. Пусть f(c)<>0, тогда сущ окр. т. С в кот. f(x) сохр. знак. Это противоречит определению супремума, поэтому f(c)=0.|||

*** Предположим, что найден [a,b] f(a)*f(b)<0. |||Пусть на [a,b] содержит 1 корень. Делим от. [a,b] пополам и из 2-х половинок подбираем тот, на концах кот. разные знаки и т.д. На n-ом шаге получаем отр. длинной (b-a)/2^n, в кот. есть искомый корень. За приближенные значения корня берут середину последнего отрезка.

19. Теорема о промежуточном значении непрерыв. ф-ии.

*** Теор. Если ф-ия f(x) непр. на [a,b], f(a)=A, f(b)=B, то при люб. C, лежащим между А и В сущ ξ принад. [a,b], т.ч. f(ξ)=c. |||| Пусть А<C<B. Рассмотрим ф-ию y=f(x)-c. Она непрерыв. на [a,b]. φ(а)=A-C<0. φ(b)=B-C>0, то по 1-ой теореме Больцмана Коши сущ. ξ прин. (а,b), т.ч. φ(ξ)=f(ξ)-c=0=>f(ξ)=c||||

35.Следствия из теоремы Лагранжа:необходимые и достаточные условия постоянства и монотонности функции.

***Т1. Если f(x) дифф-ма на (a,b) и f ‘(x)=0 на (a,b), то f(x)=const=f((a+b)/2).|||f(x)-f((a+b)/2)=f(с)*f(x-(a+b)/2)=0→f(x)=f(a+b)/2 для люб.х (a,b)|||Следствие.Если f(x) и g(x) дифф-мы на (a,b) и f ‘(x)=g ‘(x), то f(x)=g(x)+C***Т2. f(x) дифф-ма на (a,b). f(x) не убыв(не возр) на (a,b) ↔f ‘(x)>=0(<=0) на (a,b)|||Док-во.Необ-ть. f(x) не убывает на (a,b).Это равносильно ((∆f(x))/∆x)>=0, тогда переходя к пределу ­_∆х→0lim((∆f(x))/∆x)=f ‘(x)>=0.Дост-ть. f ‘(x)>=0 для люб. x (a,b) для люб. x1,x2  (a,b), x1>x2. По ф-ле Лагранжа f(x2)-f(x1)=f ‘(c)(x2-x1), c(x1,x2). Т.к. f ‘(c)>=0 и x2-x1>0, то f(x2)-f(x1)>=0

f(x2)>=f(x1), т.е. f(x) не убыв||***Т3. Если f(x) дифф-ма на (a,b), тогда f(x) возр.(убыв) на (a,b). для люб. x1,x2 (a,b), x1<x2, по т. Лагранжа f(x2)-f(x1)=f ‘(c)(x2-x1)>0→ f(x2)>f(x1) и f(x1) возр.***Т4. f(x) дифф-ма на (a,b) f(x) возр.(убыв) на (a,b)↔f ‘(x)>=0(<=0) на (a,b) и f ‘(x)<>0 ни на каком отрезке [α,β] с (a,b).|||Док-во. Необ-ть. f(x) возр на (a,b), тогда f ‘(x) >=0 на (a,b). Если предположить что f ‘(x)триравно0 на [α,β] с (a,b), то f(x)=const на [α,β], что противоречит определению возрастающей ф-ии.Дост-ть. Т.к.

f ‘(x)>=0, то f(x) не убыв. на (a,b) Если f(x)=const на [α,β] с (a,b), то f(x)=0 на [α,β], что противоречит условию. Поэтому f(x) возр.|||Следствие Если f ‘(x)>0(<0) на (a,b) за исключением конечного числа точек, то f(x) возр(убыв) на (a,b)

6. Бесконечно малые и бесконечно большие после. Свойства. Связь между ними.

*** Опр. {x_n}-б.м., если _n->беск. lim x_n=0

*** Теор. Если {x_n} и {y_n} б.м., то {x_n+-y_n}, {x_n*y_n}, {k*x_n} – б.м. Если {x_n} б.м., а {y_n} огранич., то {x_n*y_n}- б.м. |||| | x_n*y_n |<=|x_n|*|x_n|<=M*|x_n|, где M>=|y_n|. –M|x_n|<=x_n*y_n<=M*|x_n| всё это ->0 при n-> беск. поэтому x_ny_n->0.

*** Опр. {x_n}-б.б, если _n->беск. lim x_n=беск.

*** Теор. Если {x_n}-б.м. и x_n<>0, то {1/x_n}- б.б.

20.Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке ф-ии.

*** Теор. Непрерывные на отр. ф-ии ограничены на нём |||| От противного. f(x) неогранич. на [a,b] т.е. при люб. E>0 прин. x_E прин.[a,b] т.ч. |f(x_E)|>E. Для Е=1 прин х, т.ч. |f(x₁)|>1. Для E=2 прин. x₂, т.ч. |f(x₂)|>2. {x_n}-ограниченная. Из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся последовательность {x_n}->x₀. В силу направленности f(x): lim(f(x₁))=f(x₀) с др. стороны |f(x_nk)|>_nk при люб. nk, т.е. lim|f(nk)|=+беск. -> противоречие. |||||

21.Теорема о достижении непрерывной на отрезке ф-ии точной верхней и нижней грани.

***Теор. Непр. на отр. ф-ия достигает своей точной и верхней грани. ||| Рассмотрим случай для точной верхней грани. Из 1-ой теоремы следует -> f(x) ограничена на [a,b], следовательно сущ. sup f(x)=M, inf f(x)=m. Надо док. что сущ. x₀ прин[a,b], в кот. f(x₀)=M. От противного, пусть f(x)<>M ни для какого х прин. [a,b]. Тогда f(x)<M при люб. x прин. [a,b] M-f(x)>0. Рассм. φ(a)=1/(M-f(x)) непр. на [a,b]=>φ(x) <α (1/(M-f(x)))<α => M-f(x)>(1/α) => f(x)< m-(1/α), т.е. число M-(1/α) есть верхная грань для f(x), что противоречит условию sup. ||||||

36. Теорема Коши.

***Теор. f(x) и g(x) непр. на [a,b] дифф-ма на (a,b), g(x)<>0.Тогда сущ. с (a,b)

f(b)-f(a)=((f ‘(c))/(g ‘(c)))*(g(b)-g(a)).|||Док-во. Д-м, что g(a)<>g(b). Если g(a)=g(b), то для g(x) выполнены все условия т. Ролля, поэтому сущ. ζ  (a,b), g’(ζ)=0 – это противоречит условию g’(x)<>0. Поэтому g(a)<>g(b). Рассм. вспомог. ф-ию F(x)=f(x)-f(a)-(((f(b)-f(a))/

/((g(b)-g(a)))*(g(x)-g(a)). F(x) удовл.условием т. Ролля. F(x) непр-на как разность непр-ых ф-ий. F(x) дифф-ма, причем F ‘(x)=f ‘(x)-(((f(b)-f(a))//((g(b)-g(a)))*g’(x). F(a)=0; F(b)=0.→ по т Ролля сущ. с  (a,b), F ‘(c)=f ‘(c)-(((f(b)-f(a))//((g(b)-g(a)))*g’(c)=0||| Замечания. Теорема Лагранжа явл. частным случаем т. Коши при g(x)=x.

8. Монотонная последовательность. Теорема Вейерштрасса. Число е.

*** Опр. {x_n} наз-ся неубыв., если x_n<=x_n+1 для люб. n прин. N, наз-ся невозраст. если x_n>=x_n+1 для любого n прин. N, наз убыв. если x_n>x_n+1, возраст x_n<x_n+1. Неуб, невозрст. – монотонные, а возраст и убыв. – строго монотонными.

***Теор Вейрштрасса. Всякая неубывающая огранич-ая сверху послед. x_n имеет предел равный sup{x_n}. Всякая невозраст. огранич. снизу последоват. x_n имеет n->беск.limx_n=inf{x_n}. по этой теореме {(1+(1/n))^n} сходится(имеет предел) Предел=e (2,.7).

9.Функции. Основные понятия. Способы задания. Композиция ф-ий. Элементарные ф-ии.

*** Опр.Функцией заданной на X наз. правило по кот. к каждому х прин. Х ставится соответственный элемент у прин. У.

Опр. если f(x)=y, то ф-ия наз. съюрективной. Если для различ. значений х прин. Х, x₁<>x₂ => f(x₁)<>f(x₂), то f(x) наз-ся инъективной. Инъктивная и съюрективная наз биективной. Если У числовое множ., то функц. наз скалярной. Если и Х числ. мннож. то функ. наз. числовой ф-ией одной переменной.

*** 1. Аналитический (с помощью 1 или неск. форм.) 2. Словесный 3. Табличный 4. Графический.

*** Элемент. ф-ия – ф-ия, кот. м.б. получена из основных элем.ф-ий с помощью конечного числа алгебраичечких операций и композиций. 1. Степенная х^альфа. альфа<>0. 2. Показательная a^x, a>=0, a<>1. 3. Логарифмическая a>0, a<>1. 4. Тригонометрическая sinx, cosx, tgx. 5. Обратнотриг. arcsinx….

22.Теорема о существовании и непрерывности обратной ф-ии.

***Теор. Пусть f(x)=y определена и неопр. на мн-ве X=пр.(а,b) строго возраст. (убывает), тогда существует обратная ф-ия y=f^-1(y), кот. определена на мн-ве Y=пр.(fа-);f(b+)), непрерывна и строго возраст. (убывает ) на X. ||||Отображение f: мн-во x->y инъективно, т.е. при любом x₁,x₂ прин. Х, x₁<>x₂ => f(x₁)<>f(x₂), т.к. если x₁<x₂, то f(x₁)<f(x₂), если x₁>x₂, то f(x₁)>f(x₂). Отображение f: мн-во х->y съюрективной, т.е. по критерию непр. монотонной ф-ии при любом y прин. Y сущ. х прин. Х, т.ч. f(x)=y. Следовательно, это взаимнооднозначное отображение для него. Обратное отображение сущ. При люб. y₁,y₂ прин. У, у₁<y₂, надо доказать, что: f^-1(y₁)<f^-1(y₂). Пусть f^-1(y₁)>= f^-1(y₂), тогда в силу того, что ф-ия f(x) возраст., то имеем f(f^-1(y₁))>=f(f^-1(y2)) => y1>=y2. Это противоречие, то x=f^-1(y) возрастающая. Непрерывность обрат .ф-ии следует из критерия непр-ти монот ф-ии: при люб. х прин Х сущ. у=f^-1(x). Есть y=f(x), разрешает отн. х: х=f^-1(y), затем меняем местами х и у. Получаем y=f^-1(x). График прямой и обрат. ф-ии симметричные относ. у=х.||||

37*1-ое правило Лопиталя. Пусть f(x), g(x) дифф-мы в Ө(а), ­_х→аlimf(x)= _x→alimg(x) =0,g’(x)<>0 в Ө(a).Тогда если сущ. конечный или бесконечный _х→аlim (f ‘(x))//(g’(x)), то сущ. _х→аlim(f(x))/(g(x))=_x→alim(f’(x)) /(g’(x))||| Док-во Будем считать,что _x→alim(f’(x))/(g’(x)) = L(конечен) т.к. в против. случае можно рассмотреть_x→alim(f’ (x))/(g’(x)).По опр-ию предела для люб. Е>0 сущ. б(Е) т.ч. для люб. х:0<|x-a|<б→|((f’(x))/(g’(x)))-L|<E. Доопределим f(a)=g(a)=0 По т Коши |(((f’(x)) /(g’(x)))-L|=|(((f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)))-L|=|(f ‘(c))/(g’(c))-L|<E→_x→a lim(f(x))/(g(x))=L|||Следствие. Если f ‘(x), g’(x) удовл-ют условиям пред. теоремы, то 1-ое правило Лопиталя можно применить дважды. _x→alim(f(x))/(g(x))= _x→alim(f’(x))/(g’(x)) _x→alim(f’’(x))/(g’’(x)).1-ое Лопиталя легко переносится х→±беск. Пусть х→±беск. ф-ии f(x), g(x) дифф-мы на (а;+беск.) _{x→+беск}limf(x)= _{x→+беск.}limg(x)=0 g’(x)<>0. Если сущ. _{x→+беск.}lim(f ’(x))/(g’(x)), то сущ. _{x→+беск.}lim(f(x))/(g(x))= _{x→+беск.}lim(f ‘(x))/(g’(x))|||Док-во. Замена х=1/t, f(1/t), g(1/t) опр. на (0,1/a) _{x→+беск.}lim(f(x))/(g(x))= _t→0+lim(f(1/t))/(g(1/t))= _t→0+lim(f ‘(1/t))/(g’(1/t))= _{x→+беск.}lim(f ’(x))/(g’(x))||| ***2-ое правило Лопиталя.Пусть ф-ии f(x) и g(x) опр-ны и дифференцируемы в некот Ө(а), _x→а.limf(x)= _x→а.limg(x)=беск. g’(x)<>0 в Ө(а). Если сущ. _x→а.lim(f‘(x)) /(g’(x)), то сущ._x→а.lim(f (x))/(g(x))= _x→а.lim(f ‘(x))/(g’(x))***Раскрытие неопр.во всех след примерах _x→а.lim.1. limf(x)=0 limg(x) =беск. lim(f(x)*g(x)) =(0*беск.)= lim(f(x)/(1/g(x)))=(0/0)= lim(g(x)/(1/f(x)))= (беск./беск) 2.limf(x)=limg(x) =беск.lim(f(x)-g(x))=(беск-беск)=lim(1/(1/f(x)-1/(1/g(x))=lim((1/g(x)-1/f(x))/(1/(f(x)-g(x)))= (0/0).3. limf(x)=1 limg(x)=беск. lim(f(x))^g(x)=1^беск.=lim e^g(x)lnf(x)=e^{lim(g(x)*lnf(x))} lim(g(x) *lnf(x))=(беск.*0) 4. limf(x)=беск limg(x)=0 lim(f(x))^g(x)=беск⁰ =lim e^g(x)*lnf(x)= e^{limg(x) *lnf(x)} limg(x)*lnf(x)=(0*беск)

10.Предел ф-ии в точке. Сведение предела ф-ии к пределу послед. Предел слож. функции.

*** Опр1. В наз. lim(f(x)), если для люб. E>0 найдется х т.ч. при люб. х: 0<|x-a|<б => |f(x)-b|. Опр2. lim(f(x))=b, если при люб E>0 сущ. треуг.>0 т.ч. при люб. х: x>тре. =>

|f(x)-b|<=E. Опр3. lim(f(x))=b, если при люб E>0 сущ. тре>0 т.ч. при люб. х: |x|>1=>|f(x)-b|<E. Опр4. Lim(f(x))=+беск., если при люб. Е>0 сущ. б>0 т.ч. при люб. x: 0<|x-a|<б=>f(x)>E.

*** Теор(свед. пред. ф-ии к пред. послед.) Для того чтобы lim(f(x))=b необходимо и достаточ, чтобы для любого {x_n} x_n->a, x_n<>a, соотвестввующая последовательность f(x)->b при n->беск.

Теор2. Если _x->a lim f(x) сущ., то он единственный.

Теор3. Если _x->a limf(x)=b и limg(x)=d то при _x->a 1.lim (f(x)+-g(x))=b+-d 2. lim (f(x)*g(x))= b*d и так же разность.

***Теор.если _x-x0lim(fx)=y0 и при люб. х прин. выколотой окрест. х0, f(x)<>yo, а _y->y0 lim (g(y))=b, то _x->x0 lim (g(f(x)))=b

23. Производная и дифференциал ф-ии. Связь между ними. Непрерывность дифференцируемой ф-ии.

***Опр1. y=(x) наз. дифферинцируемой в т.x₀, её приращением в этой т.представимо в виде: ⌂y=A*⌂x+E(⌂x)* ⌂x, где А-число, Е(⌂х)-> при ⌂x->0. Опр2.Если сущ. ⌂x->0 lim ((f(x₀+⌂x)-f(x₀))/ ⌂x), то он наз. производной f(x) в т. х₀ и обознач. f(x₀)=(d*f(x₀))/dx.

***Теор. Если ф-ия диф-ема в т.х₀, то она имеет в этой т.про-ую. Если сущ. про-ая ф-ии в т., то ф-ия f(x) будет диф-ема. |||| Пусть y=f(x) диф-ема в т. х₀, тогда ⌂у=А*⌂х+Е(⌂х)* ⌂х, E(⌂x)->0 при ⌂х->0. lim (⌂y/⌂x)= lim(A+E(⌂x))=A, т.е. f’(x₀)=A. Обратно, пусть сущ. f’(x₀)= _⌂x->0lim(⌂y/⌂x), или (⌂y/⌂x)=f’(x₀)+E(⌂x), где Е(⌂х)->0 при ⌂х->0. ⌂y=f(x₀)* ⌂x+E(⌂x)* ⌂x, т.е. f(x) диф-ема в х₀. Первое слагаемое в формуле является главной линейной частью приращ-ия ф-ии у=f(x) в т.х₀, кот. наз диф-алом. Обозначим df(x₀)=dy(x₀) т.е. d(x₀)=f(x₀)* ⌂x=f(x₀)*dx, где dx-дифференциал независимой переменной х. df(x)=f’(x)dx.||||

***Теор. Если y=f(x) диф-ема в х₀, то она и непрерывна в х₀. |||| ⌂y=f’(x₀)⌂x+E(⌂x) ⌂x, E(⌂x)->0 при ⌂х->0. _⌂x->0 lim(⌂y)=0 это означ. непрерывность y=f(x) в х₀. Непр-ая в т. ф-ия не всегда диф-ема в ней.||||

38.Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме

***Пусть f(x) опр-на в некот. окресности т. а и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда для люб. xO(a) и p>0 сущ.ζ между х и а т.ч. имеет место ф-ла: f(x)=f(a)+(f ‘(a)/1!)(x-a)+(f ‘’(a)/2!)/(x-a)²+…+(f⁽ⁿ⁾(a)/n!)(x-a)ⁿ +R­­_n+1(x), где R_n+1(x)=((x-a)/(x-ζ))^p * ((x-ζ)ⁿ⁺¹/(n!p)) *f⁽ⁿ⁺¹⁾(ζ)-остаточный член в общей форме(или в форме Шемилоха-роана)|||| Док-во Пусть x>a, R_n+1^(x)=f(x)-f_n(x,a) где f_n(x,a)=f(a)+ (f ‘(a)/1!)(x-a)+…+(f⁽ⁿ⁾(a)/n!)(x-a)ⁿ-многочлен Тейлора f(x). Рассм. вспомог. ф-ию. φ(t)=f(x)-f_n(x,t)-(x-t)^p*Q(x), где Q(x)=

(R_n+1(x))/(x-a)ⁿ φ(t)=f(x)-f(t)-(f ‘(t)/1!) (x-t)-…- (f⁽ⁿ⁾(t)/n!)(x-t)ⁿ-(x-t)ⁿ*Q(x). Проверим,что φ(t) удовл. т. Ролля на [a,x] φ(t) непр. на [a,x] дифф-ма на (а,х)(следует из условий теоремы) φ(х)=0 φ(а)=f(x)-f_n(x,a)-(x-a)ⁿ((R_n+1(x))/(x-a)ⁿ)=0, где R_n+1(x)=((x-a)/(x-ζ))^p * ((x-ζ)ⁿ⁺¹/(n!p)) *f⁽ⁿ⁺¹⁾(ζ)-?. По т Ролля сущ. ζ  (а,х) т.ч. φ’(ζ)=0. φ’(t)=-f ’(t)+f ‘(t)-(f ‘’(t)/1!)(x-t)+f ‘’(t)(x-t)-(f ‘’’(t))/2*(x-t)²+…+(1/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(t)-((f⁽ⁿ⁺¹⁾(t))/n!)*(x-t)ⁿ+p(x-t)^p-1 *Q(x). φ(ζ)=-((f ⁽ⁿ⁺¹⁾(ζ))/n!)(x-ζ)ⁿ+p(x-ζ)^p-1 * (R_n+1(x)/(x-a)ⁿ)=0 R_n+1(x)= -((f⁽ⁿ⁺¹⁾(ζ))/n!) (x-ζ)ⁿ * ((x-a)^p/( p(x-ζ)^n-1)=((x-a)/(x-ζ))^p |||

11. Предельный переход в неравенствах. Первый замеч. предел и следствия из него.

***Теор1. Если в некот. проколот. окрестн. (а) имеет место нер-во f(x)<=g(x), то _x->a lim(f(x))<= _x->a lim(g(x)) Теор2. Если в некот. прокол. окрестн. (а) имеет место f(x)<=фи(х)<=g(x) и lim(fx)=lim(gx)=b, то lim(фи(х))=b. Теор3. Если limf(x)=b и (b>0 или b<0), то сущ. выколот. окрест. (а) в кот. f(x)>0 или f(x)<0.

***lim sinx/x=1 при x, S тр-ка OAB<= S сект.(ОАВ) <= S тр-ка, S тр ОАВ=(R*R*sinx)/2 S сект. = (x**R*R)/2 = (x*R*R)/2. S тр-ка ОАС = (R*R*tgx)/2 (R*R*sinx)/2<=(x*R*R)/2<=(R*R*tgx)/2 1<=sinx/x<=1/cosx

cosx<=sinx/x<=1 lim(cosx)=1 при x lim1=1 при x

По теореме о среднем : lim sinx/x=1 при х . Следствие: 1. lim tgx/x=lim sinx/xcosx=1 2.lim(1-coxx)/x^2=lim(ssin^2(x/2))/((x^2/4)*4))=1/2 3. lim ((arcsinx)/x)=lim (y/siny)=1 4.lim ((arctgx)/x)=1.

12.Второй замечательный предел и следствия из него.

***1.Рассм. х>=1. Обозначим цел. часть x=n, тогда n<=x<n+1. Отсюда (1/n+1)<(1/x)<=(1/n). Добавим 1 => (1/(n+1))+1<(1/x)+1<=(1/n)+1. Возведем в степень n,x,n+1 => !(1/(n+1))+1)^n<((1/x)+1)^x<=((1/n)+1)^n+1. По теореме о предельном переходе к неравенству => _x->беск. lim(1+(1/x))^x=e. 2.Рассм. x->беск. _{x->-беск.} lim(1+(1/x))^x=lim(1-(1/|x|))^-|x|=[|x|=y, y->+беск.]=lim(1-(1/y))^-y=e^lim(-y/-y)=e => оба соотношения объеденяются в _x->беск. lim(1+(1/x))^x=e

*** Cледствия: _{при x->0.} 1. lim(ln(1+x)/x)=lim(ln(1+x)^1/x)=ln e=1. 2. lim((e^x-1)/x)=[e^x-1=y, x=ln(1+y), y->o]=lim(y/(ln(1+y)))=1. 3.lim (a^x-1)/x=ln a. 4. lim((1-x)^альфа – 1)/x=аль

24. Уравнение касательной к графику ф-ии. Геом. смысл производной и диф-ла. Уравнение нормали.

***Опр. Невертикальная прямая наз. касательной к графику ф-ий f(x) в х₀, если её угл. коэффициент к=f’(x₀), поэтому ур-е запишем ур-ие касс-ой y=f(x₀)*x+b, т.к. т.х₀ прин. кас-ой, то f(x)= f’(x₀)*x₀+b=> b=f(x₀)-b’(x₀)*x₀. Т.о. y=f(x₀)+f’(x₀)*(x-x₀).

***Теор.Если y=f(x) диф-ема в х₀, то в этой точке сущ. касс-ая. Замечание: если f’(x₀)=беск., то касс-ой по опр-ию считают х=х₀. Опр.: нормалью к кривой y=f(x) в точке х0 наз-ся прямая, ортогональная к касс-ой. Т.к. условие перпендикулярных прямых связаны k1*k2=-1. Ур-ие нормали: y=f(x₀)-(1/f’(x₀))*(x-x₀).|||

25.Правила диф-ия суммы, произведения и частного.

Теор. u(x) и v(x) диф-ема в точке х0, тогда в этой т. диф-ема u<>v, v*u, u/v., причем 1. (u+-v)’=v’+-u’. 2.(u*v)’=u’v+uv’. 3. (u/v)=(u’v-uv’)/v^2 |||| 1. (u+v)’=_⌂x->0 lim (u(x+⌂x)+v(x+⌂x)-v(x)-u(x))/ ⌂x=lim (u(x+⌂x)-u(x))/ ⌂x + lim(v(x+⌂x)-v(x))/⌂x=u’(x)+v’(x). 2. (u*v)’=_⌂x->0 lim(u(x+⌂x)*v(x+⌂x)-u(x)*v(x))/ ⌂x=lim(u(x+⌂x)*v(x+⌂x)-u(x)*v(x+⌂x)+u(x)*v(x+⌂x)-u(x)*v(x+⌂x))/ ⌂x= lim((u(x+⌂x)-u(x)*v(x+⌂x))/ ⌂x) + lim (v(x+⌂x)-v(x))/ ⌂x=u’(x)*v(x)+u(x)*v’(x). 3. Док-ем, что (1/v)’=-(u’/v^2). (1/v)’=_⌂x->0 lim ((1/(v(x+vx))) – (1/v(x)))/ ⌂x=lim(v(x)-v(x+⌂x))/(v(x+⌂x)*v(x)* ⌂x)= (v’(x))/(v^2(x)) (u/v)’=(u*1/v)’=u’(1/v)-u(v/v^2)’= (u’v-uv’)/v^2.

39.Различные формы остаточного члена.Формула Маклорена.

Т.к. ζ(а,х), то ζ=а+Θ(х-а), Θ(0,1) x-ζ=x-a-Θ(x-a)=(x-a)(1-Θ) R_n+1(x)=1/(1-Θ)^p *(((x-a)ⁿ⁺¹ *(1-Θ)ⁿ⁺¹)/(n!p))*fⁿ⁺¹(a+Θ(x-a)) при p=n+1, R_n+1(x)=((x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!) f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+Θ(x-a))-фор.Лагранжа. при p=1 R_n+1(x)=(((x-a)ⁿ⁺¹(1-Θ)ⁿ)/n!) f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+Θ(x-a))- ф-а Коши. Пусть a=x0, x-a=∆x, тогда f(x)=f(x0)+(f ‘(x0)/1!)*∆x+(f “(x0)/2!)*∆x²+…(f ⁿ (x0)/n!)*∆xⁿ+(f ⁿ⁺¹ (x0+Θ∆x)/(n+1)!)*(∆x)ⁿ⁺¹ Ф-ла Тейлора с центром разложения в т. а=0 наз-ся формулой Макллорена. f(x)=f(0)+(f ‘(0)/1!)(x)+(f ‘’(0)/2!)/(x)²+…+(f⁽ⁿ⁾(0)/n!)(x)ⁿ +R­­_n+1(x), где R_n+1(x)= ((x)ⁿ⁺¹/(n+1)!) f⁽ⁿ⁺¹⁾(Θ(x))-в форме Лагранжа. R_n+1(x)= (((x)ⁿ⁺¹(1-Θ)ⁿ)/n!) f⁽ⁿ⁺¹⁾(Θ(x))- в форме Коши R_n+1(x)=0(xⁿ)- в форме Пеано

13.Бесконечно малые и б.б. функции, связь между ними. Сравение бесконечно малых. Таблица эквивалентностей.

*** Опр. α(х) наз. б.м. в т. а, если _x->a lim α(x)=0. Св-ва: 1. Если α(х) и β(х) б.м. в т. О, то α(х)+β(х) и разность и произв. – есть б.м. в т.О. 2. Если ф-ия α(х) б.м. в т. а, а β(х) просто ограничена, то произведение б.м. Опр. φ(х) – б.б., если x->a lim|φ(x)|=беск. Теор. Если α(х)- б.м в т.А, и α(х)<>0, то φ(х)=1/α(x) – б.б. и наоборот.

*** 1. если lim a(x)/b(x)=0, то a(x) есть б.м. более высокого порядка по сравнению с b(x).

2. если lim a(x)/b(x)=k (k<>0, k<>беск.),то говорят что a(x) и b(x) б.м. одного порядка. 3. если lim a(x)/b(x)=1, то говорят что a(x) и b(x) б.м. эквивалентные.

*** Таблица: sin х~x, tg x~x, 1-cosx~(x^2)/2, arcsinx~x, arctgx~x, ln(1+x) ~x, e^x-1~x, a^x-1~xlna, (1+x)^α-1~αx.

26.Дифференцирование сложной ф-ии.

***Теор. Пусть y=f(x) диф-ема в т.х₀, а z=g(y) диф-ема в т.у₀, тогда сложная ф-ия z=g(f(x₀)) диф-ема в т.х₀, причем (g(f(x₀)))’=g’(y₀)*f(x₀). ||| z=g(y) диф-ема в т.у₀, т.е. ⌂z=g’(y₀)* ⌂y+E1(⌂y)* ⌂y, где Е*(⌂x)->0 при ⌂y->0. y=f(x) диф-ема в т.х₀, т.е. ⌂у=f’(x₀) ⌂x+E₂(⌂x)* ⌂x, где E(⌂x)->0 при ⌂х->0. ⌂z=g’(y₀)*f’(x₀)* ⌂x+g’(y₀)+E₂(⌂x)* ⌂x+ E₁(f’(x₀*⌂x+E₂(⌂x)* ⌂x))*(f’(x₀)* ⌂x+E₂(⌂x)* ⌂x)=g’(y₀)*f’(x₀)* ⌂x+⌂x+⌂x[g’(y₀)*E₂(⌂x)+f’(x₀)*E₁(⌂f(x₀))+E₂(⌂x)*E₁(⌂f(x₀))]. ⌂z=g’(y₀)*f’(x₀)* ⌂x+E(⌂x*⌂x), где E(⌂x)->0 при ⌂x->0, т.к. E₂(⌂x)->0. ⌂f(x₀)->a по скольку y=f(x) диф-ема в т.x₀, а значит и непрерывна в ней. Отсюда следует => z=g(f(x)) диф-ема в т.х₀ и (g(f(x₀)))’=g’(y₀)*f’(x₀).

40.Разложение по формуле Маклорена функций е^х,sin x, cos x,ln(1+x),(1+x)^a

1.y=e^x; y⁽ⁿ⁾=e^x;y⁽ⁿ⁾(0)=1; e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+R_n+1(x), где R_n+1(x)=((xⁿ⁺¹)/(n+1)!)*e^Θx,Θ (0,1).2. y=sinx; y⁽ⁿ⁾=sin(x+пn/2); y⁽ⁿ⁾(0)=sin (пn/2)= (0,n=2k)или((-1)^k-1 ,n=2k-1); sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)^n-1(x^2n-1)/(2n-1)!+R_2n+1(x), R_2n+1(x)=(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)*sin(Θx+п(2n+1)/2 )= (x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)cos(пn+Θx)=(-1)ⁿ*(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)cosΘx 3. y=cosx; y⁽ⁿ⁾=cos(x+пn/2); y⁽ⁿ⁾(0)=cos (пn/2)= (0, n=2k-1) или ( (-1)^k n=2k); cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)ⁿ*(x²ⁿ/(2n)!)+R_2n+2(x), где R_2n+2(x)=(x²ⁿ⁺²/(2n+2)!)*cos(Θx+п(2n+2)/2)= 4. y=ln(1+x); y’=1/(1+x); y”=-1/(1+x)²; y”’=1/(1+x)³;…;yⁿ=(-1)^n-1(n-1)!/(1+x)ⁿ; yⁿ(0)=(-1)^n-1(n-1)!; ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+..+(-1)^n-1 xⁿ/n+R_n+1(x); R_n+1(x)=(x²ⁿ⁺¹/(n+1)!)( ((-1)ⁿ*n!)/(1+Θx)ⁿ⁺¹)=((-1)ⁿ*xⁿ⁺¹)/((n+1)(1+Θx)ⁿ⁺¹) 5. y=(1+x)^a; y’=a(1+x)^a-1; y”=a(a-1)(1+x)^a-1;…;y⁽ⁿ⁾=a(a-1)..(a-n+1)(1+x)^a*n; y⁽ⁿ⁾(0)=a(a-1)..(a-n+1); (1+x)ⁿ=1+(a-x+/1!+(a(a-1)x²)/2!+..+(a(a-1)(a-n+1)xⁿ)/n!+R_n+1(x); R_n+1(x)=(xⁿ⁺¹/(n+1)!)* a(a-1)..(a-n)*(1+Θx)^a-n ??? если а=nN,то R_n+1(x)триравно0 и получаем ф-лу Ньютона. (1+x)ⁿ=1+nx+n(n-1)/x²+..+xⁿ Формулу или оценку, хар-ую поведение ф-ии f(x) при x→a; наз-ют асимптотической.

14. Односторонние пределы. Непрерывность ф-ии в точке: эквивалентные опр.

***Опр.говорят правосторонний предел, если при люб.. E>0 сущ. б(E)т.ч. при люб. х: 0<x-a<б => |f(x)-b|<E.

*** Опр.Ф-ия y=f(x) наз непрерыв. в т. x₀, если _x->x0 lim f(x)=f(x₀). Опр. Ф-ия y=f(x) непрерывна в т. х₀, если для любой О_E(f(x_o)) сущ. O_б(x₀), т.е. при люб. x: x прин. О_б(х₀)=> f(x) прин. О_б(f(x₀)) Опр. ф-ия y=f(x)наз. непрерывной на множестве Д, если она непрерывна в каждой т. Д. Опр. ф-ия y=f(x)наз. непрерывной справа в т. х₀, если _х->x0 limf(x)=f(x₀). Опр. ф-ия y=f(x)наз. непрерывной слева в т.х₀, если _x->x0 lim f(x)=f(x₀).

Теор. Для того, чтобы ф-ия y=f(x) была непрерывной в т. х₀, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке слева и справа. ||| Необ. Дано: ф-ия y=f(x) непрерывная в т. х₀, т.е. при люб. Е>0 сущ б(Е)>0, т.ч. при люб. х: |x-x₀|<б=>|f(x)-f(x₀)|<E. Т.к. |x-x₀|<б  x₀-б<x<x₀+б, то при люб. х: 0<x-x₀<б => |f(x)-f(x₀)|<E т.е._x->x0+ lim f(x)=f(x₀). При люб. x: -б<x-x₀<0 => |f(x)-f(x₀)|<E, т.е. _x->x0- limf(x)=f(x₀) Достаточность: при любом E>0 сущ. б₁(Е)>0 т.ч. при люб. х: 0<x-x₀<б => |f(x)-f(x₀)|<E. Для люб. Е>0 сущ. б₂(E)>0 т.ч. при люб. х: -б<x-x₀<0 => |f(x)-f(x₀)|<E. б=min(б₁,б₂) при люб. х: |x-x₀|<б => |f(x)-f(x₀)|<E, т.е. y=f(x) непр. в т. x₀

27. Производная обратной ф-ии. Логарифмичечкая производная.

***Теор.Пусть y=f(x) непрерывна и строго монотонна в некот. окрестн. т. х₀, f(x)- диф-ема в х₀. Тогда сущ обрат. ф-ия x=φ(y) в т. у₀, причем φ’(y₀)=(1/f’(x₀)) ||||y=f(x) диф-ема в т.х₀, поэтому ⌂у=f’(x₀) ⌂x+E(⌂x)* ⌂x где Е(⌂х)->0 при ⌂x->0. ⌂x=(⌂y)/(f’(x₀)+E(⌂x))=(1*⌂y)/(f’(x₀)) + ⌂ y*[1/(f’(x₀)+E(⌂x)) – (1/f(x₀))]. ⌂x=(⌂y/f’(x₀)) + E₁(⌂y)* ⌂у, где E₁(⌂y)->0 при ⌂у->0, т.к. при ⌂х->0 ⌂y->0 в силу непрерыв. y=f(x), поэтому E(⌂x)->0. Таким образом х=φ(у) див-ема в т.у₀ и φ’(y₀)=1/f’(x₀)

***Пусть y=f(x) положительная и диф-ема, тогда можно найти log(y) и log(f(x)), (y’/y)=(ln(f(x)))’ – лог. производная. Найдем лог. про-ую показательно степенной ф-ии y=(f(x))^g(x). Эта ф-ия определена и непрерывно для тех х, для кот. направлена f(x) и g(x), f(x)>0. ln y=ln(f(x))^g(x). ln(y)=g(x)*f(x). (y’/y)=g(x)*ln(f(x))+g(x)*(f’(x)/f(x)). y’=[g’(x)*ln(f(x))+g(x)*(f’(x)/f(x))]*f(x)^g(x).

28.Таблица производных основных элементарных ф-ий.

1.(e^x)’=_⌂x->0lim[ (e^x+⌂x – e^x ) /⌂x ]=e^x 2. (xα)’=lim[((x+⌂x)^α-x^α)/⌂x)]=x^α*(α/x). 3. (a^x)’=(e^xlna)’=e^xlna*lna=a^x*lna. 4. (lnx)’=(1/e^lnx)=1/x. 5.(log_ax)’=(lnx/lna)’=1/xlna. 6.(cosx)’=(sin (пи/2-x))’=cos(пи/2-x)*(-1)=-sinx. 7.(tgx)’=(sinx/cosx)’=[(sinx’cosx-sinx cosx’)/cos²x]=[(cos²x+sin²x)/cos²x]=1/cos²x. 8. (ctgx)’=(cosx/sinx)’=[(cosx’sinx-cosxsinx’)/sin²x]=-1/sin²x 9.(arcsinx)’=1/(siny)’=1/cos(arcsinx)=1/√(1-x²). 10. (arccosx)’=(пи/2-arcsinx)’=-1/√(1-x²). 11.(arcctgx)’=(пи/2-arctgx)’=-1/(1+x²). 12. (arctgx)’=1/(tg y)’=cos²(arctgx)=1/(1+x²)

41.Достаточные условия экстремума функции.

***Т1.(первое). Пусть f(x) дифф-ма в некот окресности стац. точки х0(т.е. f(x0)=0).Если при переходе через х0 f ‘(x) меняет знак с + на -, то х0-лок.мах. Если f ‘(x) меняет знак с – на +, то х0 т.лок. мin, если f ‘(x) не меняет знак, то х0 не явл. т. экстремума.||| Док-во По ф-ле f(x)-f(x0)=f ‘(ζ)(x-x0), где ζ между х и х0. 1) х<x0, по условию f ‘(ζ)>0, x-x0<0

→f(x)-f(x0)<0 т.е. f(x)<f(x0)…x>x0, по усл. f ‘(ζ)<0, x-x0>0→f(x)-f(x0)<0 т.е. f(x)<f(x0)

Это означает, что х0-т.лок.мах. 2) док-ся аналогично 1)…3)Пусть f ‘(x)>0 в Ө(x0).

x<x0 → f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)<f(x0)} в т. х0 x<x0 → f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0)} в т. х0

T2. Пусть f(x) непр. в 0(х0), дифф-ма в Ө(х0). Если при переходе через х0 f ‘(x) меняет знак с + на -, то х0-т.лок.мах, если с – на +, то х0 т.лок. мin, если знак f ‘(x) не меняется, то х0 не явл. т. экстремума.***Т3(второе). Пусть f ‘(x0)=0 и сущ. f ‘(x0)<>0. Если f’’(x0)>0, то х0-т. лок min, если f’’(x0)<0, то х0-т.лок.мах.|||Док-во f’’(x0)>0, то f ‘(x) возр. в т х0, поэтому f ‘(x)>0 при х>x0 и f ‘(x)<0 при х<x0. Это означает, что х0-т.лок.min(по т1.). Если f ‘’(x0)<0, то f ‘(x) убыв в т. х0, поэтому f ‘(x)>0 при х<x0 и f ‘(x)<0 при х>x0→x0-т.лок. мах.***Т4(третье)Если f’(x0)=f ‘’(x0)=..=f^(2k-1)(x0)=0, f^(2k)(x0)<>0 Тогда если f^2k(x0)>0, то х0-лок.min,если f^(2k)<0, то х0-т.лок.мах.

15. Непрерывность суммы, произведения, частного и сложной ф-ии.

***Теор1. Если f(x) и g(x) непр. в т. х₀, то в этой точке непр-ны также ф-ии f(x)+-g(x), произв., k*f(x), частное. ||| Д-во следует из соотв. теоремы о пределах ф-ии в точке.|||

***Теор2. Если y=f(x) непр. в т. х₀, а ф-ия y=g(y) непр. в т. y₀=f(x₀), то сложная ф-ия g(f(x₀)) непр. в т. х₀ ||| z=g(y) непр. в т. y₀, то по опр. при люб. E>0, сущ. б₁(Е) т.е. при люб. у: |y-y₀|<б₁ => |g(y)-g(y₀)|<E. Т.к. y=f(x) непр. в т.х₀, то для б₁>0 сущ. б₂ (б₁, Е) т.е. при люб. x: |x-x₀|<б₂ => |f(x)-f(x₀)|< б₁ => |g(f(x))-g(f(x₀))|<E

29. Производные высших порядков. n-ые производные ф-ий.

***Пусть y=f(x) диф-ема на (a,b). Тогда f’(x) есть ф-ия определенная на (a,b). Если сущ. произ-ая этой ф-ии в какойто т. х, то она наз второй произ-ой или про-ой 2-ого порядка и обознач. f’’(x)=(f’(x))’. Аналогично определяются пр-ые всех последующих порядков. Ф-ию имеющую произ-ую до n-ого порядка включительно на интервале наз. n раз диф-мой на этом интервале.

***1. y=x², y’=αx^α-1, y’’=d(α-1)*x^α-2,…,(y)ⁿ=d(α-1)…(α-a+1)^α-n 2.y=a^x, y’=a^xlna, y’’=a^xln²a, y⁽ⁿ⁾=a^xlnⁿa. 3.y=lnx, y’=1/x, y’’=-1/x², y’’’=2/x³, y⁽ⁿ⁾=[((-1)^n-1*(n-1)!)/xⁿ]. 4.y=sinx, y’=cosx=sin(пи\2 +x), y’’=cos(x+пи/2)=sin(x+пи)…yⁿ=sin(x+…пи*n/2). y=cosx, y⁽ⁿ⁾=cos(x+пи/2).

30. Формула Лейбница n-ой производной произведения двух ф-ий.

***Теор. пусть u(x) и v(x) диф-ема, тогда (u*v)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾*v+n*u^(n-1)*v’+..+(n^k*u^(n-k)*vk..u*vk)=(n, k=0)∑(n^k*u^(u-k)*v^k). C^k_n=[n!/(k!(n-k)!)]. ||||По индукции. 1. n=1, (u*v)’=u’v+u’v ф-ма верна. 2. Пусть ф-ла верна при некот. n. 3. Док-ем, что она верна при n+1. (u*v)ⁿ⁺¹=((u*v)ⁿ)’=∑ⁿ_k->0Cn^k(u^(n-k)*v^(k))’=∑ⁿ_k->0Cn^k(u^(n-k+1)*v^(k) +=∑ⁿ_k->0Cn^k(u^(n-k)*v^(k+1)))=u^(n+k)+n*uⁿ*v’+..+ Cn^k+1(u^(n-k)*v^(k+1))…+u’vⁿ+uⁿv’+..+ Cn^k(u^(n-k)*v^(k+1))+..uv⁽ⁿ⁺¹⁾=u⁽ⁿ⁺¹⁾v+(n+1)*u⁽ⁿ⁾v’+..+ (Cn^k+1 Cn^k )(u^(n-k)*v^(k+1) +..+uv⁽ⁿ⁺¹⁾)= ∑ⁿ⁺¹_k=0C^(k+1)_(n+1)*u^(n-k)*v^(k+1)

44. Асимптоты графика функции

Опр. Прямая х=х0 наз-ся вертикальной асимптотой графика f(x),если

_x→x0-limf(x) или _x->x0+limf(x) равные +беск. или –беск. Предположим, что f(x) опр-на при столь угодных больших значениях х.Опр. Прямая y=kx+b наз-ся накл. асимптотой y=f(x) при х→+беск., если f(x)=kx+b+α(x), где _x->+беск

limα(x)=0. Аналогично опр-ся асимптота при х->-беск.. Теорема. y=kx+b-накл. ас.графика y=f(x) при x->+беск. ↔k=_x->+бескlim(f(x)/x), b=_{x->+беск.­}(f(x)-kx)|||Док-во.Необ-ть. y=kx+b есть накл. ас. y=f(x) при x->+беск., т.е. f(x)=kx+b+α(x),

_x->+бескlimα(x)=0. Отсюда _x->+бескlim(f(x)/x)= _x->+бескlim(k+(b/x)+(α(x)/x))=k

_x->+бескlim(f(x)-kx)= _x->+бескlim(b+α(x))=b.Дост-ть.b= _x->+бескlim(f(x)-kx)->f(x)-kx=

=b+α(x), где α(x)-> 0 x->+беск..т.е y=kx+b – накл. ас. при х->+беск. Если k=0, то y=b-горизонт. асимптота.

42.Выпуклость графика функции.

***f(x) дифф-ма на (a,b), тогда в каждой точке сущ. касательная к графику f(x). Опр1. f(x) наз-ся выпуклой вниз на (a,b) если график f(x) расположен не ниже кас-ой, проведенной в люб. точке(а,b)Опр2 f(x) наз-ся выпуклой вверх на (a,b), если график расположен не выше касательной.Теорема(достат.условие выпуклости)Пусть f(x) дважды дифф-ма на (a,b).Если f ‘’(x)>0, то f(x)U , если f ‘’(x)<0, то f(x)∩.

43. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точек перегиба.

***Опр. Т.х0 наз-ся т. перегиба дифф.ф-ии f(x), если сущ. Ө(х0), в к-ой f(x) имеет разные выпуклости слева и справа от х0.Теорема7(необ-ое условие т. перегиба) Если х0- т. перегиба дифф. ф-ии f(x), то f ‘’(x)=0.|||Док-во. От противного. Пусть f ‘’(x)<>0, тогда f ‘’(x)>0 илиf ‘’(x)<0. По т. 6 сущ. О(х0) в к-ой f ‘’(x)>0 или f ‘’(х0)<0. Тогда f(x)

U или ∩, что противоречит опр-ю т. перегиба.|||Теорема 8(первое достат. условие перегиба.)Пусть f(x) дважды дифф-ма в Ө(х0). Если f ‘’(x0)=0 или не сущ-ет и f ‘’(x) имеет разные знаки слева и справа от х0, то х0-т. перегиба.|||Док-во. Т.к f ‘’(x) имеет разные знаки слева и справа от х0, то f(x) имеет разные напр. выпуклости слева и справа от х0→х0-т. перегиба.|||Теорема9(второе дост. условие т. перегиба) Если f ‘’(x0)=0, f ‘’(x0)<>0, то х0-т. перегиба.||| Док-во. Т.к. f ‘’’(x0)<>0, то f ‘’’(x0)>0 или f ‘’’(x0)<0. В первом случае f ‘’(x) возр. в т. х0, тогда f ‘’(x)<0 при х<x0, f ‘’(x)>0 при x>х0. По т8 заключаем, что х0-т. перегиба. Если f ‘’’(x0)<0, то f “(x) убыв. в т.х0, поэтому f “(x)>0 при x<x0 и f “(x)<0 при x<x0 →x0-т. перегиба.|||Теорема10(третье дост.условие перегиба) Если f “(x0)=f “’(x0)=…f^(2k)(x0)=0,и f^(2k+1)(x0) возр., то х0-т. прегиба.

58.Первая и вторая формулы среднего значения

***Т1. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], m=_[a,b]inf f(x) М=_[a,b]sup f(x). для люб. μ[m;M]

_а^b∫f(x)dx=μ(b-a) (2). |||Док-во В (1) g(x)=1, _а^b∫dx=b-a. Тогда m(b-a)<= _а^b∫f(x)dx<=M(b-a)

m<= (1/(b-a)) _а^b∫f(x)dx<=M Если μ=1/b-a _а^b∫f(x) dx, то m<=μ<=M и получаем (2)||||

Следствие. Если f(x) непр-на на [a,b], то сущ. а1,b1, [a,b] в к-ых f(a1)=m, f(b1)=M Найдется т.ζ [a,b], а след-но ζ[a,b] в к-ой f(ζ)=μ. Тогда (2) принимает вид:

_а^b∫f(x)dx=f(ζ)*(b-a)-a первая ф-ла среднего значения. Т2. Пусть f(x), g(x) интегрируема на [a,b] m,M-точная нижняя и верхняя грань f(x) на [a,b], g(x)>=0(или g(x)<=0). Для μ[m,M] _а^b∫f(x)*g(x)dx=μ _а^b∫g(x)dx (3). Если f(x) непр-на на [a,b] то сущ. ζ[a,b].

(4) _а^b∫f(x)*g(x)dx=f(ζ) _а^b∫g(x)dx-первая ф-ла среднего значения в обобщ. форме|||Док-во Если g(x)=0, то из (1) следует μ-любое. Если g(x)<0, то _а^b∫g(x)dx>0 и из (1) следует:

m<=(( _а^b∫f(x)*g(x)dx)/ _а^b∫g(x)dx)<=M. Положим μ=(( _а^b∫f(x)*g(x)dx)/ _а^b∫g(x)dx)

m<=μ<=M и получаем(3) Если f(x) непр-на на[a,b], то сущ. ζ, в к-ой f(ζ)=μ и из(3) =>(4)|||

Замечание. Если f(x) не явл-ся непрерывной на [a,b] то (4) в общем случае неверна.Т3 Пусть f(x) интегрируема на [a,b] g(x) монотонна на [a,b]. Тогда сущ. ζ(a,b) т.ч.

_а^b∫f(x)*g(x)dx=g(a) _а^ζ∫f(x)+g(b) _ζ^b∫f(x)dx-вторая формула среднего значения(ф-ла Бонне)

45.Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

***Опр. Ф-ия F(x) наз-ся первообразной для f(x) на (a,b), если для люб. х(a,b) вып-ся F ‘(x)=f(x).Аналогично опр-ся первообразная на всей числовой прямой или открытой полупрямой.Опр.Ф-ия f(x) имеющая первообразную на (a,b)наз-ся интегрируемой на (a,b).***Опр. Весь набор первообразных для f(x) на (a,b) наз-ся неопределенным интегралом от f(x) и обозн-ся ∫f(x)dx. f(x)dx-подынтегральное выр-е.f(x)-подынтегральная ф-ия. Если F(x)-первообразная для f(x) на (a,b), то в силу следствия ∫f(x)dx=F(x)+c***Св-ва. 1)∫dF(x)=F(x)+c. 2)d ∫(f(x)dx)=d(F(x)+C)=f(x)dx или (∫f(x)dx)’=

=f(x). Линейные св-ва неопр. интеграла(3,4) 3) ∫f1(x)±f2(x)dx=∫f1(x)dx± ∫f2(x)dx.

4) ∫k*f(x)dx=k*∫f(x)dx (k=const) 5)Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

|||Док-во.(F(x)+C)’=F ‘(x)=f(x) ((1/k)F(kx+b)+C)’=1/2*F ‘(kx+b)*k)=f(kx+b)

46. Таблица интегралов элементарных функций

1.∫0dx=C 2. ∫dx=x+C 3. ∫x^a dx=((x^a+1)/a+1) +C 4. ∫dx/√x=2√x+C 5. ∫dx/x²= -1/x+C

6. ∫e^x dx=e^x+C 7. ∫a^x dx=a^x/lna+C 8. ∫dx/x=ln|x|+C 9. ∫sinx dx=-cosx+C 10. ∫cosx dx=sinx+C

11. ∫dx/cos²=tgx+C 12. ∫dx/sin²x=-clgx+C 13. ∫dx/1+x²=arctgx+C 14. ∫dx/x² -1=

=1/2 ln|(x-1)/(x+1)|+C. 15. ∫dx/√1-x²=arcsinx+C 16. ∫dx/√x²±1=ln|x+√x±1|+C|

17. ∫shx dx=chx+C 18. ∫chx dx=shx+C 19. ∫dx/ch²x=thx+C 20. ∫dx/sh²x=-cth x+C

59.Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства

***Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она интегрируема на люб.[a,x], а<=x<=b, т.е. определена ф-ия F(x)= _а^b∫f(t)dt-интеграл с переменным верхним пределом.Т1. Если f(x) интегрируема на [a,b], то F(x)= _а^b∫f(t)dt ,будет непрерывна на [a,b].|||Док-во.Т.к f(x) интегрируема на [a,b],то она ограничена на [a.b], т.е. сущ. М т.ч.|f(x)|<=М. Возьмем x, x+∆x[a,b] и рассм F(x+∆x)-F(x)= _а^x+∆x∫f(t)dx- _а^x∫f(t)dx= _а^x∫f(t)dt+ _а^x+∆x∫f(t)dt- _а^x∫f(t)dt=

= _а^x+∆x∫f(t)dt. |F(x+∆x)-F(x)|=| _а^x+∆x∫f(t)dt|<= _а^x+∆x∫|f(t)|dt<=M _а^x+∆x∫dt=M*∆x. При ∆х→0 |F(x+∆x)-F(x)|= |∆F(x)|→0, т.е. F(x) непр-на в т. х.Т2 Пусть f(x) интегрируема на [a,b] и непр-на во внутренней точке х0(а,b). Тогда F(x)= _а^x∫f(t)dt дифф-ма в т. х0, причем F’(x0)=f(x0)|||Док-во. Д-ть что ­_∆x→0 lim((F(x0+∆x)-F(x0))/∆x)=f(x0) F(x0+∆x)-F(x0)=

= _а^x0+∆x∫ - _а^x0∫ = _а^x0∫ + _а^x0+∆x∫ - _а^x0∫= _x0^x0+∆x∫f(t)dt=(по первой ф-ле среднего значения)

=f(ζ)*∆x, где ζ[х0,х0+∆х]. Т.к f(x) непр-на в т. х0 то f(ζ)→f(x0) при ∆х→0

_∆x→0 lim((F(x0+∆x)-F(x0))/∆x)= _∆x→0limf(ζ)=f(x0)|||Замечание1. В т.2 мы д-ли, что F(x) явл-ся первообразной для всех f(x)

47.Основные методы интегрирования:внесение под знак диффренциала,замена переменной, интегрирование по частям.

1.Непосредственное интегрирование-метод нахождения неопр. интегралов, тождественных преобразований подынтегральной ф-ии и св-в неопр. интеграла

2. Внесение под знак дифференциала. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то U(x)-непрерывно дифф-ма ф-ия, то ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом можно исп-ть соот-я при а=const, d(x+a)=dx,

(1/a)d(ax)=dx, d(1/x)= -(dx)/x², d ln x=dx/x, d(cosx)= -sinx dx, d(sinx)=cosx dx.

3. Замена переменной. Теорема.Пусть х=φ(t) опр-на и дифф-ма на (α,β),мн-во значений ф-ии {φ(t)} c (a,b). Ф-ия y=f(x) имеет на (a,b) первообразную F(x), т.е. ∫f(x)dx=F(x)+C, тогда f(φ(t))*φ’(t) имеет первообразную F(φ(t)) или ∫f(φ(t))*φ’(t)dt=∫f(φ(t))dφ(t)=[φ(t)=x]= =∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ(t))+C.Замена переменной исп-ся при интегрировании сложных тригонометрических ф-ий.

4.Интегрирование по частям. Теорема. Пусть U(x), V(x) дифф-мы на (a,b) сущ=ет первообразная для U’(x)*V(x) на (a,b). Тогда сущ. первообразная для U(x)*V’(x), причем ∫U(x)*V’(x)dx=U(x)*V(x)- ∫U’(x)*V(x)dx или ∫UdV=U*V-∫VdU.|||Док-во (U*V)’=

=U’*V+U*V’. Умножаем обе части на dx и проинтегрируем ∫(U*V)’dx=∫U’*Vdx+∫U*V’dx

->∫U*V’dx=UV-∫U’Vdx

60. Формула Ньютона Лейбница

***Формула Ньютона Лейбница явл-ся основной теоремой интегрального исчисления , т.к. связывает неопр. и опр. интегралы.Пусть f(x) интегр-ма на [a,b], тогда Ф(x)= _а^b∫f(t)dt есть первообразная для f(x) Если F(x)-другая первообразная для f(x), то F(x)= _а^b∫f(t)dt+C. F(a)= _а^b∫f(t)dt+C. F(b)= _а^b∫f(t)dt+F(a) → _а^b∫f(x)dx=F(b)-F(a)

61. Интегрирование по частям и замена переменной под знаком определенного интеграла.

***Теор. Пусть U(x),V(x) имеют на [a,b] непр. производные, тогда _а^b∫UdV=U*V|^b_a –

- _а^b∫VdU (1).|||Док-во. Т.к. (U*V)’=U’V+U*V’,то U*V- первообразная для U’V+UV’. Тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница _а^b∫U’V+UV’)dx=UV|^b_a или _а^b∫U’Vdx+ _а^b∫UV’dx=UV|^b_a -> (1)

***Теор. Пусть y=f(x) непр. на [a,b], ф-ия x=φ(t) имеет непрерывную производную на [α,β], причем φ(α)=a, φ(β)=b и когда t[α,β] ->x=φ(t)[a,b]. Тогда _а^b∫f(x)dx=

= _α^β∫f(φ(t))*φ’(t)dt.|||док-во. Т.к. f(x) непр. на [a,b], то она интегрируема на [a,b], т.е. сущ. F(x),F’(x)=f(x). F(φ(t))-первообразная для f(φ(t))*φ’(t), т.к. (F(φ(t)))’=F ‘(φ(t)*φ’(t)

48. Интегрирование простейших рац. дробей.

*** Простейшими рац. дробями наз-ся дробь d/(x-a)ⁿ; (Ax+B)/(x²+px+g)^m; p²-4g<0; mN m=1; (Adx)/(x-a)=A ln|x-a|+C; m=2 Adx/(x-a)^m=A(x-a)^-m+1/(-m+1) (Ax+B)/(x²+px+g)^mdx= [d(x²+px+g)=(2x+p)dx]= ((A/2)(2x+p-p)+B)/(x²+px+g)^m dx=A/2 (((2x+p)dx/(x²+px+g)^m)+B-(Ap/2))* dx/(x²+px+g)^m I₁⁼ d(x²+px+g)/ (x²+px+g)^m={ln(x²+px+g); m=1{(x²+px+g)^-m+1/-m+1 m<>1; m=1 I₂=dx/(x²+px+g)= dx/((x+p/2)²+g – p²/4) =[x+p/2=y dx=dy g-p²/4=a²]= dy/ (y²+a²)^m=[U=1/(y²+a)^m ; dU=(-m-2ydy)/(y²+a²)^m+1; dV=dy; V=y]=y/(y²+a²)²+2m(y²+a²-a²)/(y²+a²)^m+1=

=y/(y²+a²)^m+2mdy/(y²+a²)^m-2ma²dy/(y²+a²)^m+1=y/(y²+a²)^m+2m I_m-2ma²I_m+1 I_m=y/(y²+a²)^m +2mI_m-2ma²I_m+1 I_m+1=y/(2ma²(y²+a²)^m)+((2m-1)/(2ma²))I_m Соотношение связывающее I_m+1 и I_m наз-ся рекуррентным.

49.Интегрирование рац.дробей(общий случай)

***Пусть P(x)/Q(x) –прав. рац. дробь. Любой многочлен Q(x) м.б. ед образом разложен на произв-е неприводимых множителей Q(x)=A(x-a1)^m1(x-a2)^m2…(x-a_r)^mr (x²+p₁x+g₁)^k1 …(x²+p_ex+g_e)^ke Тогда P(x)/Q(x)=A1/(x-a1)+…+A_m1/(x-a1)^m1+..+(B_1x+C₁)/(x²+p₁x+g_e)+.. +(B_kx+C_k)/(x²+p_ex+g_e)^k Знаменателями служат все целые степени всех множителей в разложении Q(x) Числителями служат либо постоянные А₁,…,А_m1,…, либо лин. ф-ии B_x+C_r в зав-ти от того, явл-ся ли знаменатель лин. или квадратной ф-ей. Для определения неиз. постоянных в правой части приводят правую часть к общему знаменателю и присваивают коэфф-ты при одинаковых степенях Х. в числителях левой и правой части. Получают систему лин. ур-й( С.Л.У.) решая к-ую находят постоянные

50. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и иррациональностей более общего вида

*** 1) Ф-ия R(x, ⁿ√(ax+b)/(cx+d)|), где a,b,c,d  R; nN; P(x,y)-рац ф-ия наз-ся дробно-лин. иррац-тью. Если ad-bc<>0,то делют замену ⁿ√(ax+b)/(cx+d)|=y; (ax+b)/(cx+d)=yⁿ ;cx+yⁿd;x= (dyⁿ-b)/(a-cyⁿ); dx=((ndy^n-1(a+cyⁿ)+ncy^n-1(dyⁿ-b))/((a-cyⁿ)² ) dy=((ny^n-1(ad-bc))/(a-cyⁿ)²)dy  R(x, ⁿ√(ax+b)/(cx+d)|)dx= R((dyⁿ-b)/(a-cyⁿ ),y)* ((ny^n-1(ad-bc))/(a-cyⁿ)²)dy -интеграл от рац. дробей. 2)  R(x, x^α,x^β,…)dx, где α=m1/n1; β=m2/n2;  Q. Замена х^1/S=t где S=НОК(n1,n2…)

51. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Биноминальным дифференциалом наз-ся x^m(a+bxⁿ)dx,где a,b-const, m, n, pQ. 1. pZ, m=k/L, n=c/d, НОК(c,d)=s, тогда m=k/s, n=c/s. Подстановка х=t^s,dx=s*t^s-1dt. x^m(a+bxⁿ)^p=

=t^k’*(a+bt^c’)^p*st^s-1dt. 2. (m+1)/n Z p=L/s Подстановка: а+bxⁿ=t^s, x^a=(t^s-a)/b

x=(t^s-a)^1/n/b^1/n; dx=b ^-1/n*1/n*(t^s-a)^(1/n)-1*st^s-1dt. ∫x^m(a+bxⁿ)^L/sdx= ∫b^-m/n(t^s-a)^m/n *t^L*b^-1/n(t^s-a)^1/n-1 *st^s-1=s/n∫b^(-m+1)/n *t^s+L-1*(t^s-a)^((n+1)/n)-1dt-интеграл рац. дроби 3. (m+1)/n+pZ, p=L/s; Подстановка a/xⁿ +b=t^s; xⁿ=a/(t^s-b); x=a^1/n(t^s-b)^1/n ; dx= a^1/n(-1/n)(t^s-b)^(-1/n)-1*st^s-1dt; ∫x^m(a+bxⁿ)^L/s dx=∫a^m/n(t^s-b)^-m/n *t^L*(t^s-b)^-L/s*(-s/n)a^1/n*(t^s-b)^-1/n-1*t^s-1dt=(-s/n)a ^(m+1)/n ∫(t^s-b)^{-(((m+1)/n)+1)-1}*t^L+s-1dt

52. Интегрирование квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера.

***R(x,√ax²+bx+c|)dx, где R(x,y)-рац. ф-ия D=b²-4ac<>0. 1)a>0, подстановка √ax²+bx+c|= =√а|x+t ax²+bx+c=ax²+2√a|xt+t² x=((t²-c)/b-2√a|t) dx=(2t(b-2√a|t)+2√a|(t²-c))/(b-2√a|t)²)dt

R(x,√ax²+bx+c|)dx=R( (t²-c)/(b-2√a|t), (√a|(t²-c)/(b-2√a|t)+t)*((2bt-2√a|t²-2√a|c)/(b-2√a|t)² )dt

2)c>0, подстановка √ax²+bx+c|=xt+√c| ax²+bx+c=xt²+2√c|t+c x=(2√c|t-b)/a-t²).3)Если ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2), то подстановка √ax²+bx+c|=t(x-x1) a(x-x1)(x-x2)=t²(x-x1)² x=t²(x-x1)/a +x2

53. Интегрирование тригонометрических функций sinⁿx*cos^m x,где n,m-целые числа

***I Интегралы sinⁿx*cos^m x dx, n,mZ 1.Если n,m –неотр. четные числа, то исп-ют ф-лы sin²x=(1cos2x) /2; cos²x=(1+cos2x)/2; sinx*cosx=(1/2)*sin2x 2. Если n,m-неотр. причем одно из них нечет. то в случае n- нечет. полагают сделать замену cosx=t в случае нечет. m полагают sinx=t исп-ют cos²x+sin²x=1 3.n,m-отриц. причем |n| и |m| либо чет, либо нечет., тогда полагают tgx=t или ctgx=t исп-ют ф-лы 1+tg²x=1/cos²x К этим интегралам сводятся интегралы вида  dx/ sinⁿ x (n>0) , dx/ cos^mx (m>0) dx/(2ⁿ* sinⁿx/2*cosⁿx/2)= 1/2^n-1*d(x/2)/(sinⁿ (x/2)*cosⁿ (x/2)); dx/cos^mx=d(x+п/2)/sin^m(x+п/2) 4. n,m-отриц. целые числа |n|-нечет, то cosx=t ;а если |m|- нечтное, то sinx=t; В случае общих степеней в числителе можно исп-ть cos²x+sin²x=1. 5. n>0, m<0 тогда sin²x=1- cos²x и приводят к интегралам вида dx/ cos²x; m>0, m-четное, n<0, тогда cos²x=1-sin²x и сводят к интегралам dx/sin^βx 6. n>0, n-нечетное, m<0, замена cosx=t; m>0, m-нечетное, n<0, замена sinx=t.

54. Интегрирование R(cosx,sinx)dx R(x,√a²±x²|)dx R(x,√x²-a²|)dx, где R(x,y)-рац.ф-ия.

***R(cosx,sinx)dx, где R(x,y) –рай. ф-ия. Вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2)=t; sinx=2tg(x/2)/(1+tg² (x/2))=2t/(1+t²); cosx=(1-t² ) /(1+t²); x=2arctgt; dx=2dt/(1+t²) В некот случаях можно исп. другие подстановки; если R(-sinx,cosx)= - R(sinx,cosx), nj cosx=t; если R(sinx,-cosx)= - R(sinx,cosx), то sinx=t; если R(-sinx,-cosx)= R(sinx,cosx), то tgx=t; люб ф-ию R(U,V) можно представить в виде R(U,V) =( R(U,V)- R(U,-V))/2 + (R(U,-V)- R(-U,V))/2 + (R(-U,-V)+ R(U,V) )/2

55.Интегральные суммы. Определение функции,интегрируемой по Риману. Ограниченность интегрируемой функции. Задачи, приводящие к определенному интегралу.

***Рассм у=f(x) , определенную на [a,b] Обозначим через Т разбиение [a,b] точками a=x0<x1<x2<…<xn=b; ∆x_i=x_i-x_i-1, i=1,n(с чертой наверху) λ_т=max∆x_i- диаметр разбиения Выберем точки с_i  [x_i-1,x_i], i=1,n(с чертой наверху) и составим сумму _i=1ⁿΣf(c_i)∆x_i=G_T-интегральная сумма.(зависит от: способа разбиения и выбора точек с_i) i=1,n(с чертой наверху) i=1,2,3…,n; Число I наз-ся lim G_T, если для люб E>0 сущ. б(E)>0 т.ч. при люб. T с λ_T<б и при люб выборе c_i[x_i-1,x_i]=> |G_T-I|<E***Опр. Ф-ия y=f(x) наз-ся интегрируемой по Риману на [a,b], если сущ. конечный _λT→0limG_T, к-ый обозначается _а^a∫f(x)dx***Теор Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b], то она ограничена на нем.|||Док-во I= _λT→0limG_T ; т.е. E=1 сущ. б>0 т.ч. сущ. T; λ_T<б => |G_T-I|<1  -1<G_T-I<1 ; I-1<G_T<I+1; - _i=2ⁿΣf(c_i)∆x_i;+I-1<f(c₁)∆x< _i=2ⁿΣf(c_i)∆x_i+I+1; При фиксировании с₂, с₃,…,с_n получаем A<f(c₁)∆x₁<B, т.е. f(x) ограничена на [x₀,x₁] Аналогично док-ся ограниченность на других частичных оотрезкахб откуда следует ограниченность на [a,b]|||***1. Рассм. крив. трапецию {(x,y}: a=<x=<b, 0=<y=<f(x)} f(x)-непр. Т:a=x₀<x₁<…<x_n=b ∆x_i=x_i-x_i-1, i=1,n(с чертой наверху), λ_T=max∆x_i, с_i  [x_i-1,x_i] f(c_i)∆x_i-S прямоугольника со сторонами f(c_i) и ∆x_i; G_T = _i=1ⁿΣf(c_i) ∆x_i =G_T – площадь ступ. фигуры _λT→0limG_T =S крив.трап.= _а^b∫f(x)dx. 2. Пусть тело под действием некот. переем. силы F(x) совершает перемещение из т.а в т. b. Найти работу совершаемую этой силой A≈ _i=1ⁿΣf(c_i) ∆x_i=G_T ;A=_λT→0limG_T = _а^b∫f(x)dx.

56.Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами

***1. _а^a∫f(x)dx=0 Эту ф-лу нужно рассм-ть как соглашение т.е. распространение понятие опред. ∫ на отрезок нулевой длины.2. _а^b∫f(x)dx=- _b^a∫f(x)dx Эта ф-ла должна рассматриваться как соглашение (этом случае ∆x_i<0) 3. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] то f(x)±g(x), k*f(x) интегрируемы на [a,b] причем _а^b∫(f(x)±g(x))dx= _а^b∫f(x)dx± _а^b∫g(x)dx _а^b∫k*f(x)dx=k* _а^b∫f(x)d|||док-во _i=1Σⁿ(f(c_i)±g(c_i))∆x­_i­= _i=1Σⁿ f(c_i)∆x_i± _i=1Σⁿg(c_i)∆x_i Переходя к пределу при λ_Т→0 получаем (1) _i=1Σⁿ k*f(c_i)∆x_i=k* _i=1Σⁿ f(c_i)∆x_i Переходя к пределу при λ_Т→0 получим (2)||| 4. Если f(x) интегрируема на [a,b], то она будет интегрируема на [c,d] с [a,b] 5. Если f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] то она интегрируема на [a,b] причем _а^с∫f(x)dx+ _c^b∫f(x)dx= _а^b∫f(x)dx (3)|||Док-во Будем включать т. с в число точек разбиения, тогда _∆хic[a,c]Σf(c_i)∆x_i+ _∆хic[c,b]Σf(c_i) ∆х_i=_∆хic[a,b]Σf(c_i) ∆х_i Отсюда => (3) после перехода к пределу при λ_Т→0 _а^с∫fdx= _а^b∫fdx+ _b^c∫fdx ; _а^b∫fdx= _а^c∫fdx- _b^c∫fdx= _а^c∫fdx+ _c^b∫fdx; _c^b∫= _c^a∫+ _a^b∫=> _a^b∫= _c^b∫- _c^a∫= _a^c∫+ _c^b∫ |||

57.Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами

1. Если f(x) интегрируема на [a,b] и f(x)>=0 на нем,то _а^b∫f(x)dx>=0|||Док-во G_т=ⁿΣ_i-=1f(c_i)∆x_i>=0 _λ→0lim G_т=I>=0; Пусть I<0; E=|I|=>|G_T-I|<|I| G_T<I+|I|=0, т.е. G_T<0, что противоречит G_T>=0|||2. Если f(x) интегрируема на [a,b] и f(x)>=m на [a,b], то _а^b∫f(x)dx>=m*(b-a)||| Док-во f(x)-m>=0 на [a,b], интегрируема на нем. По св-ву (1) _а^b∫(f(x)-m)dx>=0, по _а^b∫(f(x)-m)dx= _а^b∫f(x)dx-m(b-a)>=0||| 3. Если f(x) непр. на [a,b] ,f(x)>=0и не обращается тождественно в нуль, то _а^b∫f(x)dx>0 |||Док-во. сущ. с [a,b], в к-ой f(c)>0. По теореме об устойчивости знака непрерыва-ой ф-ии сущ. [a,b] э с на к-ом f(x) =k>0 _а^b∫f(x)dx= _а^a1∫fdx+ _а1^b1∫fdx+ _b1^b∫fdx > 0|||4. Если f(x) и g(x) интегрируема на [a,b] и f(x)>=g(x) для люб. х [a,b], то _а^b∫f(x)dx>= _а^b∫g(x)dx|||Док-во h(x)=f(x)-g(x), h(x)>=0 и интегрируема на [a,b] Тогда по св-ву 1⁰ _а^b∫h(x)dx>=0 _а^b∫f(x)dx= _а^b∫(h(x)+g(x))dx= _а^b∫h(x)dx+ _а^b∫g(x)dx>= _а^b∫g(x)dx|||5. Если f(x) интегрируема на [a,b], f(x)>=0 и _а^b∫f(x)dx=0 то f(x)триравно0 на [a,b] |||Док-во от противного. Пусть сущ. т.ζ[a,b] в к-ой f(ζ)>0. Тогда по св-ву 3 ∫f(x)dx>0, что противореч усл-ию.||| 6. Если f(x) интегрируема на [a,b], то |f(x)| интегрируема на [a,b] имеет нер-во. | _а^b∫f(x)dx|<=_а^b∫|f(x)| dx||| Док-во Т.к. -|f(x)|<=|f(x) => по св-ву 4⁰ - _а^b∫| f(x) dx|dx<= _а^b∫f(x)dx<= _а^b∫|f(x)dx  | _а^b∫f(x)dx| _а^b∫|f(x)|dx.||| Замечание Из интегрируемости |f(x)| в общем случае не следует интегрируемость f(x). f(x)={1, xQ ; -1,x Q} не интегрируется, а |f(x)|триравно1интегрируема на люб. отр.7. Пусть f(x),g(x) интегрируемы на [a,b], g(x)>=0 т. M-точная ниж и верх грань f(x) на [a,b] Тогда m _а^b∫g(x)dx=<_а^b∫f(x)*g(x) dx=<M _а^b∫g(x)dx (1)|||Док-во m=<f(x)=<M; m*g(x)=<f(x)*g(x)=<M g(x) => по св-ву 4⁰; m _а^b∫g(x)dx=< _а^b∫f(x)g(x)dx=<M _а^b∫g(x)dx.

33.Достаточное условие возрастания или убывания функции. Теорема Ферма.

***Т-ма Ферма.Если х0-т. лок.экстремума дифференцируемой ф-ии f ‘(x0)=0|||Док-во. Т.к. х0-т.лок.экстремума,то в т.х0 f(x) не может ни возр. ни убывать,т.к. тогда в некотӨ(х0) ((∆f(x0))/(∆x))>0 (<0). Но тогда не может f ‘(x0)>0 (<0). Поэтому f ‘(x0)=0

Достаточное условие возрастания и убывания функции.

Теорема. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. e. f' (x) ≥ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и диффе­ренцируема в промежутке (a, b), причём f' (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [a, b]. Придадим аргументу x при­ращение : и рассмотрим отношение .

Так как f(x) — функция возрастающая, то при и при .

В обоих случаях , а следовательно, , т. е. f’(x)≥0, что и требовалось доказать. (Если бы было f' (x)< 0, то при достаточно малых значениях : отношение (1) было бы от­рицательным, что противоречит соотношению (2).)

Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f ' (x) > 0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).

Рассмотрим два любых значения х1 и х2, х1 < х2, принадлежащих отрезку [a, b].

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:

По условию f’()>0, следовательно, f(x2)-f(x1)>0, а это и значит, что f(x) - возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно.

Если f(x) убывает на отрезке [a,b], то f(x)^,0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [a, b] и дифференцируема всюду на (a, b).)

3aмeчaниe. Доказанная теорема выражает следующий геометри­ческий факт. Если на отрезке [a, b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке на этом отрезке об­разует c осью Ох оcтpый угол φ или - в отдельных точках - горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен: f’(x)=tgφ≥0 (рис. а). Если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то угол наклона касательной - тупой (или - в отдельных точках - ка­сательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 6). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной.