шпоргалка / шпора 31-38, 40-46
.doc|
№31Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству. Под
геометрической фигурой Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.
Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.
Свойства интегралов по фигуре от скалярной ф-ции. 1).
2).
3).
4).
5).
Если
6).
Если
7).
Если
8).
Теорема о среднем: Если f(p)
непрерывна на фигуре Ф, причем Ф –
ограничена о содержит граничные точки,
то
Геометрические и физические прилажения интегралов по фигуое от скалярной ф-ции.
№34.
, z меняется от поверхности до поверхности. Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость. Замена переменных в тройном интеграле.
, где |I| - модуль Якобина.
В цилиндрических координатах:
В сферических координатах:
№37 (
!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L. Скалярная форма КРИ-2
Вычисление КРИ-2
Вывод: в общем случае КРИ-2 зависит от пути интегрирования.
№41
Пусть V
– некоторая область в пространстве.
Говорят, что в этой области задано
скалярное поле, если каждой т.
Пусть U(M) – некоторое скалярное поле. i- единственный фиксированный вектор. Mo-фиксированая точка. M1<>Mo;
Если
lnH-скорость изменения ф-ции U(m) по направлению L(вект) в точке Mo. U(M)=U(x,y,z) ; U(Mo)=U(Xo,Yo,Zo); I(вект)=(cosальфа, сosбета,cosгамма); U(M1)=U(Xo+hcosалфа, Yo+hcosбта, Zo+hcosгама)
фи=0 т.е. в направлении вектора gradU в т. Mo gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.
|
№32
1).
L:
x=g(y);
2).
3).
L:
4).
№35.
Примечание: Можно проецировать и не на поверхность XOY. Например: x= (y,z);
№36.
Векторная
ф-ция 3х переменных x,y,z,
определенной на фигуре Ф. Ф-ции P,Q,R
называются координатами
Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению. 1).
5).
Если
(*) существует, конечен и не зависит от
способа построения интегральной суммы
P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) a=(P,Q,R) Если ф-ции P,Q,R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует. Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции. 1).
3).
№38 Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя. Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l , лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D. Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей. Например: круг, прямоугольник, кольцо. Теор.
Грина: пусть P(x,y),
Q(x,y)
и
где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении. Док-во Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.
Для I2 – аналогично. Формула Грина имеет место для любой простой области. Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».
№43
Ротором
(или вихрем) векторного поля
Ротор характеризует завихренность поля в данной точке. Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела. Рассмотрим
a(вект)(M).
С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2
(формула Стокса). №44 Оператор набла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом перевёрнутый треугольник. Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:
Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). В n-мерном пространстве под этим оператором подразумевается вектор с компонентами в n-мерном пространстве. Иногда, особенно в начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: - чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного .
Опера́тор
Лапла́са (лапласиа́н) — дифференциальный
оператор, действующий в линейном
пространстве гладких функций и
обозначаемый символом треугольник.
Функции F
он ставит в соответствие функцию
Оператор
Лапласа часто обозначается следующим
образом набла
в квадрате,
то есть в виде скалярного произведения
оператора Набла на себя. Оператор
Лапласа эквивалентен также
последовательному взятию операций
градиента и дивергенции
№42
в V
задано
векторное поле, если каждой т.
Векторная
линия – кривая, в каждой точке M
которой
Поток векторного поля. Дивергенция.
Дивиргенцией
векторного поля
Формула
Остроградского:
|
№33
y-трапецевидная
область Д.
x-трапецевидная
область Д
Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.
области более сложного вида разбиваются на сумму Замена переменной в двойном интеграле. Рисунки: 1) ось v (вверх) – 0 – u кружок, а в нём D’ 2) ось y – 0 – x вытянутый вверх эллипс, в нём D
Свойства
P1: x(u,v), y(u,v) P2: x(u+∆u,v), y(u+∆u,v)
I – Якобиан(Якоби) Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’.
Вычисление в полярной сист координат.
a)
b
c)
№40 Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени. M (x,y,z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x,y,z)i +Q (x,y,z)j + R(x,y,z)k 1)
2)
3)
5)
ПОВИ-2
есть поток жидкости (поток векторного
поля a(M))
через ориентированную поверхность
Скалярная
форма ПОВИ-2.
ПОВИ-2 для P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) x,y,z-пректируемое E, F(x,y,z)=0; x=x(y,z); y=y(x,z): z=z(x,y)
Замечания:
если прямая, параллельная к-л из
координатных осей пересекает поверхность
Формула Астроградского. Пусть V-ограниченая область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Пусть ф-ции P,Q,R и их частные производные dP/dx; dQ/dy; dR/dz непрерывны в замкнутой области V, тогда справедливо следуещее равенство:
ПОВИ-2
берется по внешней стороне пов-ти
Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.
№45
Т.о.
в потенциальной поверхностно односвязной
области G
поле
1)
циркуляция потенциального
2)
Для любых т. А,В из области G
циркуляция потенциального поля
3)
Потенциальное поле
№46
Векторное
поле
Закон сохранения интенсивности векторной трубки в сопеноидальном поле. В
сопеноидальном поле
Любое
физ векторное поле C
может быть представлено в виде суммы
|
понимается одно из следующих связных
(включая границу) множеств точек
Если он существует,
конечен и не зависит от способа
построения интегральной суммы
,
то он называется интегралом по фигуре
Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается
;
-
длина линии L;
;
;
то
,
то
,
то
-
материальная фигура
-
плотность материальной йигуры Ф
:
Геометрический
смысл: |I|
-коэффициент растяжения объёма при
отображении области V
на область V’
(М)
– вектор силы; L=AB;
Работа силы по перемещению вдоль L.
Если
(М)
– переменная сила, а AB
– кривая, то:
-
настолько малы, что перемещение на
кусочек по направлению совпадает с
единичным касательным вектором.
-произвольная
точка.
(
)
– постоянная сила.
=(
(
),
)=
(
),
)
,
поставлено
в соответствие некоторое число U(M)
(пример – поле температур, освещенности).
Скалярное поле не зависит от выбора
системы координат. Поверхность или
линия, на которой U(M)
принимает постоянное значение
называется поверхностью уровня
скалярного поля.
;
,
то он называется производной скалярного
поля U(M)
по направлению
в точке
.
;
;
;
принимает
наибольшее значение при
;
- диф-ма на [a,b];
;
;
;
x(t),y(t)
– непрерывно диф-ма на
;
L:
;
;
;
;L:
;
;
;
,
-гладкая(в
каждой точке существует касательная
плоскость). Пусть
такова, что прямая параллельная OZ
пересекает её не более чем в 1-ой точке.
Тогда z=f(x,y);
;
.
Фигура Ф называется ориентированной,
если в каждой ее точке М задан некоторый
вектор
,
характеризующий эту фигуру. Диния
называется ориентированной, если на
ней выбрано направление перемещения.
;
2).
;
3).
; 4).
; n-я
интегральная сумма для векторной
ф-ции a(M)
по ориентированной с помощью вектора
P(n)
фигуре Ф. ; 6).
(*)
,
то он называется интегралом по
орентированной фигуре Ф от векторной
ф-ции a(M).
;
2).
,
c=const
; 4).
и
непрерывны в простой области D
тогда
называется вектор-функция
называется циркуляцией a(вект)
вдоль кривой L
в направлении
.
Если a(вект)(M)
-силовое поле, то его циркуляция –
работа вдоль пути L.
.
:
, таким образом значение оператора
Лапласа в точке может быть истолковано
как плотность источников (стоков)
потенциального векторного поля gradF
в этой точке.
поставлен
в соответствие некоторый вектор
.
Физ. Векторные поля не зависят от
выбора СК.
направлен по касательной к кривой.
Векторная трубка – часть пространства,
состоящая из целых векторных линий,
каждая ВЛ или целиком лежит внутри
этой трубки или находится вне ее.
называется скалярная ф-ция
.
характеризует
плотность источников поля в данной
точке. Не зависит от выбора СК.
;
;
;
;
для y-трапецевидной
области
для x-
(*)
,
)
;
;
4)
.
;
ПОВИ-1 для
;
более чем в одной точке, то пов-ть
следует разбить на несколько пов-тей
и воспользоваться свойством аддитивности
ПОВИ-2.
- ПОВИ-2
,
ограниченной областью V.
называется потенциальным в области
G,
если его можно представить как градиент
некоторого скалярного поля U(M).
Функция U(M)
– потенциал векторного поля
.
;
;
;
;
;
обладает
следубщими свойствами:
вдоль
любого замкнутого контура равна нулю.
не зависит от выбора кривой АВ, а
зависит только от выбора А и В.
является
безвихревым
- необходимое и
достаточное условие потенциальности
поля
в поверхностно односвязной области.
называется сопеноидальным в области
G,
если в этой области
(нет
источников).
;
;
;
;
;
поток через любое сечение векторной
трубки имеет одно и тоже значение.
Векторные линии в соп. поле не могут
начинаться или заканчиваться внутри
областисопеноидальности.
-это
поле является соп-м.
и
,
где
-потенциальное,
-соленоидальное.
гармоноческое,
если оно является одновременно
потенциальным и сопеноидальным.
;
;
