47. Оценка генеральных характеристик по выборке.

Рассмотрим повторную выборку значений гене­ральной совокупности X. При этом случайные величины будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ² ге­неральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оце­нок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки и выборочную дисперсию.

Выясним свойства этих оценок: . Значит,является несмещённой оценкой дляα. Т.к. по закону больших чисел при, то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценкаявляется также эффективной, причём. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно. Таким образом, оценкаявляется смещённой. На практи­ке, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвест­ной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправ­ленной несмещенной оценкой. Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оцен­ка, так иявляются состоятельными оценками для.Дисперсия, гдеN -- объем генеральной совокупности. Дисперсия в случае повторной выборки равна, а в случае бесповторной выборки, где.

48.Интервальной оценкой параметра называется интервал (a;b), который с заданной вероятностью  накрывает неизвестное значение параметра (интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок) Интервал(a;b) называется доверительным интервалом(интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью ), а вероятность  - доверительной вероятностью

если интервал симметричен относительно оценки :он имеет вид.* тем точнее определяет параметр , чем меньше , т. е.

если 0 и <, то чем меньше , тем оценка точнее. (уровень значимости)- характеризует точность оценки.

49. Доверительный интервал для м(х)в случае нормально распред.Ген.Совокупности

Пусть CВ Х распределена нормально т. е. ген. с-ть – нормально распределенная CВ с переменными: и. Для нормальной СВ Х с переменными и  имеет место ф-ла вер-ти отклонения нормальной СВ: .

В нашем случае: ,=>0, (х)=, СВ Х=. Тогда получаем. Зададим доверительную вероятность, тогда . Это вероятность того, что выборочная характеристикаотличается от ген среднейпо абсолют величине меньше чем на, тогда имеем: →t_y=. Рассмотрим =- точность оценки(предельная ош выборки). Получим интервал:на этом интервале с надежностью(доверит вероятностью) находится неизвестная вероятная средняя Примечание: если ₀ неизвестна, ее заменяют приближенно исправленной стат дисперсией S

(Если отбор бесповторный, то мера точности  имеет вид: =)

50.Сред ош в-ки – величина , где- сред квадрат отклонение средней выборки, а- среднее квадрат отклонение ген с-ти;n – объем выборки.(для бесповтор. )

Предел ош вы-ки ()– наибольшее отклонение выборочной средней от генеральной средней , которое возможно с данной доверительной вероятностью. =t, где  - сред ош в-ки, а t находится из равенства t= по заданной вероятности . (используя ф-лу сред.ош. выборки: = t)(для бесп.)

51. Объем выборки.

Выборочной совок-тью или просто выборкой, наз. совок-ть случайно отобранных объектов.

Ген. совок-тью наз. совок-ть объектов, из кот. произв-ся выборка.

Объемом совок-ти (выборочной или генеральной) наз. число объектов этой совок-ти.

При составлении выборки можно поступать двояко: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен, либо не возвращен в ген. совок-ть. В соот-вии с этим, выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Объем выборки для повт. отбора: ▲= (t_γσ_о) /;n = (t_γ²σ_о²) /▲²

объем выборки для бесповт. отбора:▲= (t_γσ_о/)*;n = (Nt_γ²σ_о²) / N▲² + t_γ²σ_о²