шпоргалка / шпора 1-15

№1. Комлексным числом Z наз. число z=x+iy, где x, y R. Мн-во комплексных чисел – С, R C, x–действ. часть, y – мнимая часть.

Расстояние от z(x,y) до начала корд. наз. модулем комп. числа Z. Аргументом числа Z 0, наз угол , кот-й образует радиус-вектор точки Z и полож направл оси OX.

Argz = argz (главное знач аргумента) + 2k kZ

-<argz<

argz =

z = x+iy=zcos+izin=z(cos+isin)

z=r(cos + isin) (!)

z1 = r1(cos + isin)

z2 = r2(cos + isin) тогда

z1*z2 = r1*r2(cos(1+ 2) + isin(1+ 2)

zⁿ = rⁿ(cos(n) + isin(n)

- Формула Муавра (!)

Формулы Эйлера:

; (!)

; ; ;

№5 Теорема: Пустьопределена и диф-ма на X. U- множество значений ф-ции . Для f(U) существует F(U) на U. Тогда для g(x) на X сущ-т первообразная , т.е.

Док-во:

На практике:

№6. Интегрирование по частям: теор: Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема на интервале {x} и пусть, кроме того, на этом интервале существует первообразная для функции v(x)u'(x). Тогда на интервале {x} существует первообразная для функции uv' и справедлива формула u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)– v(x)u'(x)dx. => udv=uv–vdu - формула интегр. по частям. Док: Запишем формулу для дифференцирования произведения двух функций (u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Интеграл от производной (u(x)v(x))' существует по определению: (u(x)v(x))'dx=u(x)v(x)+c. Интеграл u'(x)v(x)dx существует по условию теоремы. => по линейному свойству интеграла существует интеграл от функции u(x)v'(x)=(u(x)v(x))'–u'(x)v(x) и u(x)v'(x)dx=(uv')dx–u'v(x)dx=u(x)v(x)–u'v(x)dx. Теор. док.

№10 y=f(t), кот определ на [a,b].

а<b, τ_n={x₀, x₁, x₂,..,x_n |a=x₀<x_1...<x_n=b|}

Δx_k=x_k-x_k-1-длина отр.[x_k-1,x_k], к=1,n.

λ=max ∆x_k – диаметр разбиения 1≤k≤n

k€ [x_k-1,x_k], k=1,n,

σ_n=f(ε₁)Δx₁+ f(ε₂)Δx₂+..+f(ε_n)Δx_n=∑f(ε_k)Δx_k Интегральн.сумма.

Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τ_n [a,b] и выбора промежуточных точек ε_k то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).

Если этот lim сущ, то y=f(x) интегрируемая по Риману на [a,b].

R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b].

Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.

Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.

AB; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.

Ограниченность ∫-ой ф-ции.

1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x) € R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].

Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τ_n найдется часть от k [x_k-1,x_k] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать ε_k€[x_k-1,x_k], таким обр, чтобы |f(ε_k)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного lim_x→0 _n

Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.

Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.

Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]

Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.

Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …

№9

; ; n1,n2…N, m1,m2…Z

, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …

, тогда

1)

тригоном.подстановка:

иррац.

2)

3)

m,n,p Q; a,b R

1) p Z, тогда , где s-общий знаменатель дроби

2)

3) , где s- знаменатель дроби

Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.

№13 Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=(x) Е().

Тогда f((x)) (х)dx=f(u)du

Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f((x)) (х) имеет первообр. F( (x))

f((x)) (х)dx= F( (x)) |^b_a= F( (b)) - F( (a)); f(u)du=F(u) |^(b)_(a)= F( (b)) - F( (a)) ч.т.д.

Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=(t) непрер. диф-ма на (,); (t)>0 (=> возрастает) ((t)<0); ()=a; ()=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда

f(х)dх=f((t)) (t)dt

Док-во: g(t)= f((t)) (t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a,b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(^-1(x)) (сущ-ние ^-1(x) гарантировано монотонностью: ^-1(x)>0 (<0)); f((t)) (t)dt= G(t) |^_=G() – G()

f(х)dх=G(^-1(x)) |^b_a=G(^-1(b)) - G(^-1(a))= G() - G() ч.т.д.

№2. Многочлен (полином) относительно переменной это

2z⁴-5z³+2z=(z²-1)(2 z²-5z+2)+(-3z-2)

Q_m(z) T_k(z) R_c(z)

Значит P_n(z) = Q_m(z) T_k(z) + R_c(z) (*), где m<=n m+k=n, l<n;

Если R_c(z) = 0, то P_n(z) делится на Q_m(z).

Назовем компл. число z₁ корнем многочл. P_n(z), если P_n(z₁).

Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени P_n(z) делится на двучлен z-z₁, тогда и только тогда, когда z₁ является корнем P_n(z).

Запишем (*) для P_n(z) и z-z₁: P_n(z) = (z-z₁)T_n-1(z)+ R_c(z) => z:=z₁.

Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен P_n(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень.

Компл. число z₁ наз. корнем кратности к₁ многочл. P_n(z), если

P_n(z) = (z-z₁)^к1Т_n-k1(z)

Следствие: Многочл. P_n(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности:

P_n(z) = a_n(z-z₁)^к1(z-z₂)^к2…

Пусть z₁ – корень P_n(z) с действ. коэф-ми, тогда корень P_n(z)

P_n()===0

Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами.

(z-z₁)(z-)=z²+p₁z+q₁

P_n(x) – с действ. коэф.

P_n(x)=a_n(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2*…*(x-x_l)^kl(x²+p₁x+q₁)^R1(x²+p₂x+q₂)^R2*…*(x²+p_mx+q_m)^Rm

x₁, x₂,…,x_n – действ. корни

k₁, k₂,…,k_n – их кратности

P₁, P₂,…,P_n, q₁, q₂,…,q_n – действ. числа

k₁+k₂+…+k_l+2R₁+2R₂+…+2R_m = n

№4. Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x € X.

F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.

для

;

Совокупность всех первообразных F(x)+C для ф-ции f(x), определенное на X, называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на X и обозначается

;

Основные свойства неопределенного интеграла.

1).

2).

3).

4).

№7.

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1),

2),

3) ,4)

1)

2)

3)

4)

- рекуррентная формула

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

№11 Св-ва опред. ин-ла.

1. f(х)dх=0

2. dх=b – a; f(x)1

3. f(х)dх= - f(х)dх

4. f(x)R [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

=

5. f(x), g(x)  R [a,b], то f(x)+g(x)  R [a,b]; (f(х)+g(x))dх=f(х)dх+g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

 a, b, c f(х)dх=f(х)dх+f(х)dх

7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх<g(х)dх, a<b

9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]

|f(х)dх ||f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a)

mf(x)M; x[a,b]

mdх f(х)dхMdх

m(b-a)f(х)dхM(b-a), a<b

№14 Теорема: Пусть f(x) интегр. на [-a,a], тогда если f(x) четная, то , если нечетная, то .

Если f(x) – непрерывная с периодом T, интегрируемая на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на любом отрезке длины Т.

Док-во:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

- непр. диф-е ф-ции на

; ; ;

№3.опр. , где Pn(z), Qm(z) – многочлены, наз. рациональной дробью.

n>=m – дробь неправильная; n<m – правильная.

Разложение правильной рац. дроби с комплексными

коэф. на сумму простейших дробей.

Если - правильная дробь, то , где

z₁, z₂,…, z_l – разл. компл. корни

k₁, k₂,…, k_l – их кратности

то сущ. Такие компл. числа A_i^k, где i=1,2,…,l; k=1,2,…,k_i,

то тогда

Разложение простой рац. дроби с действ. коэф.

на сумму простейших дробей с действ. коэф.

Пусть - правильная дробь,

X - разл. компл. Корни, k – их кратности

p_i²-4q_i<0 для i=1…s

R₁, R₂,…,R_s – кратности пар корней, тогда

Разложение дроби на простейшие

Обращение ряда

Если функция f(x), не равная нулю при x = 0 разложена в ряд Маклорена:

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Сумма степеней. Пример. Ищем в виде p(n) = an4 + bn3 + cn2 + dn + e.

По определению p(n) − p(n − 1) = n3, а также p(1) = 1. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

№8

tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.

; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:

1. R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;

2. R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;

3. R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;

Интегралы вида:

I n Z, m,n >= 0;

1)Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;

2)Оба нечетные или четные -

1. m,n Q

это дифференц. Бином

- для гиперболических функций аналогично

Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…

№12. Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x[a,b] – интеграл с перем. верхним пределом.

Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)=f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b]

Док-во: х[a,b] возьмем (х+х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+х)-Ф(х)= f(t)dt-f(t)dt=f(t)dt+f(t)dt-f(t)dt=f(t)dt=f()х, где [х, х+х].

Ф(х)=f()х.

х0 => Ф(х)0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.

т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.

Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)=f(t)dt явл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. (f(t)dt)=f(x)

Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.

Док-во: Ф(х)=f()х, где [х, х+х]

(f(t)dt)=Ф (x)=lim_х0 Ф(х)/ х= lim_х0 f()х/х= lim_х0 f() (тогда х) =f(x) ч.т.д

f(х)dх=f(t)dt+С

Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х)=F(х)+С₀

f(t)dt=0

0=Ф(a)=F(а)+С₀ => С₀ = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)

Ф(b)=F(b)-F(а)

f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница

Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.

№15

1. В декартовой системе координат

f(x)-непрерывна

x=a,x=b; отр [a,b] оси оХ

2. В параметрическом виде.

; ;

разбиваем: ;

3. В полярной системе координат

; ; ; ;

; ;