шпоргалка / ШПОРЫ(Матрицы_и_системы)

Матрица разм mxn

Матр разм mxn наз прямоуг табл

Из чисел a_n, где

i=1,2,…,m; j=1,2…n,содержащ m строк и n столб

Треуг матрица Кв матрица наз треугольной, если все ее эл-ты,распол выше(ниже) главн диагонали,равны нулю.

Диагон матрица Квадр матрица наз диагональной, если все ее Эл-ты, не лежащ на гл диагон =0

Скалярная матрица Диагон матрица наз скалярной если все ее элементы главн диаг одинаковые

Единичн матрица Диагональная матрица наз единичной, если все Эл-ты ее гл диаг =1

Транспонирование матрицы Если в матрице А размера mxn строки сделать столбцами, сохр их нумерацию,то получ в рез матрица А^t размера nxm , наз транспонир к атрице А, А сама операция перехода-транспонированием

Линейные операции

Суммой двух матриц один разм наз матрица А+В того же разм,кажд Эл-т кот равен сумме соотв эл=тов матриц А и В.

Произведение матрицы А на число λ наз матрица λ А,получающаяся из матрицвы А умнож всех ее эл-тов на λ.

Произвед матриц Произ АВ матрицы А разм mxk на матр В разм kxn наз матрица С размера mxn эл-т с(ij) кот равен сумме произведений соотв эл-тов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В

Транспонирование произведения Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц: .

Перестановка Упорядоченный набор чисел 1,2,…, n Рn- число перестановок, Рn= n!

Инверсия Говорят что p и q обр инверсию,если большее из этих чисел стоит перед меньшим.

Число инверсий

1)Для кажд числа подсчит кол-во чисел стоящих справа от него и обр с ним инверсию,после чего эти числа складыв

2)Для единицы подсчит кол-во чисел стоящих перед ней после чего единица вычеркивается,для двойки подсчит кол-во чисел стоящ перед ней после чего 2 вычеркивается т.д.после все складывается.

Если число инверсий четное, то перестановка-четная.Если неченное-нечетная

Опр Определ n-го порядка

Опр кв матрицы n-го порядка наз число

где сумма берется по всем перестановкам j1,j1,…jn чисел 1,2,…,n причем каждый раз из двух знаков «+» и «-» выбирается «+» если перестановка четная и «-» если нечетная.

Опр треуг матрицы равен произведению эл-тов ее гл диагонали.

Методы выч опр n-го порядка

1)Исходя из определения

2)Разложение(понижение порядка)

3)Приведение к треуг виду

4)Получение рекуррентных соотношений

Определители блочных матриц

Если С=0 и Д=0

Опр произв двух кв матриц

Det(AB)=detA*detB

Невырожденная матрица Кв матр наз невырожденной если detA≠0

Обратн матрица Кв матрица А^-1 наз обратной для кв матрицы А(того же порядка),если А А^-1= =А^-1А=Е(един матрица)

Усл сущ обр матрицы Кв матрица А имеет обратную тттк она невырожденная.

Формула для вычисл обр матрицы

Дост усл обратимости Если А и В кв матрицы одного порядка и АВ=Е или ВА=Е то В= А^-1

Обр для транспонированной есть то же самое что и транспонирование обратной

Обр для произвед матриц равносильно произведению обратных

Реш матричных уравн Решением наз упорядоченная совокупность n чисел при подстановки которых в каждое из уравнений системы получ верное равенство.

Пространсвом Rⁿ

Пространством Rn наз множ всех упоряд совокупн n чисел(Х1,Х2,… , Хn) называем векторами для кот опред две операции(наз минейные):

1)Сложение 2-х матриц

2)Умнож вектора на число

Линейная комбинация векторов Вектор

наз линейной комбинацией векторов (k≥1) с коэ-ми

Завис сист векторов Система векторов наз линейно зависимой если сущ числа ≠0 одновременно и такие что

Незав сист векторов Сист векторов наз независимой если из равенства (λ-числа) следует что

Геом смысл лин завис 2 векторов

Два своб в-ра л.з. тттк они компланарны.

Геом смысл лин завис 3 векторов

Три своб в-ра л.з. тттк они компланарны.

Усл лин зависимости Система из k≥2 в-ров лин завис тттк один из в-ров этой системы явл лин комбинацией остальных в-ров этой системы.

Единств разложения по л.з.сист в-ров

Разложение по лин незав системе в-ров единственно.

Свойства лин (не)зависимых систем

1)Сист из одного в-ра лин незав тттк этот в-тор≠

равн:Сист из одн в-ра л.зав тттк этот в-р

2)Всякая подсист л нез сист в-ров лин незав

равн:Если какая-либо подсистема данной сист в-ров л.зав. то и все система л.зав.

Элементарн преобразования матрицы

1)перестановка 2-х строк;

2)Умножение строки на число ≠0;

3)Прибавл к строке др строки умнож на число

4)Отбрасывание нулевой строки.

Аналогично со столбцами

Минок к-го порядка матрицы Пусть дана матрица А.Выберем в ней к строк и к столбцов на их пересечении стоит кв матрица порядка к.Ее определитель наз минором порядка к матрицы А.

Ранг матрица Рангом матрицы наз наивысший порядок отличных от нуля ее миноров.

Теорема о преобразованиях и ранге

При элементарных преобразованиях м-цы ее ранг не меняется.

Базисный минор матрицы Всякий не нулевой минор матрицы наивысшего порядка наз ее базисным минором.

Теорема о базисном миноре Строки в кот стоит базисный минор л.незав а любые др строки этой матрицы явл их лин комбинациями.

Следствие из теоремы:

1)Усл равенства опред нулю

Опр равен 0 тттк его строки лин зависимы

2)Усл лин незав n в-ров из Rn

Данные n в-ров из Rn ин незав тттк состоящий из них определитель не равен 0

3)Усл лин незав m в-ров из из Rn

Данные m в-ров из Rn л нез тттк состоящ из них матрица имеет ранг m.

4)Всякие m>n в-ров из Rn л зависимы

5)Если в-ры л незав и лин выраж через систему то k≤l.

6)Макс число л.нез строк матрицы равно макс числу л нез столбцов этой матрицы и равно ее рангу.

Базисы в Rn Базисом в Rn наз любые n л нез векторов.

Ранг системы векторов Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Общий вид системы лин ур-ний

Матричная форма

Расширенная матрица системы

Понятие решения Всякая упоряд совокупность из n чисел ,т.е. вектор(),наз решением системы если после подстановки их в каждое уравнение системы вместо соответственно эти уравнения превращаются в верные числовые равенства.

(Не)совместная система векторов Система ур-ний наз совместной если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной если она не имеет решений.

(Не)однородная система векторов Система наз однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она наз неоднородной.

Эквивалентные системы Две сист ур-ний наз эквивалентными если множества их решений совпадают.

Правило Крамера Если определитель треугольн системы nxn отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное решение

Где каждый из , j=1,2,…n получается из определителя ∆ заменой его j-го столбца столбцом из свободных членов системы.

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система была совместно необх и дост чтоьы рангиее матрицы и расширенной матрицы были равны r(A)=r( ).

Свободные и базисные неизвестные Неизвестные в совместной системе лин ур-ний коэф-ты при кот входят в выделенный минор, наз базисными неизвестными, а остальные неизвестные-свободными.

Общее решение Для любого вектора вектор () их значений явл решением системы , причем любое (частное) решение системы может быть получено этим путем при соответствующем выборе значений параметров Всякую совокупность функций с такими свойствами называют общим решением системы.

Связь между числом свободных и базисных неизв. Число базисных неизвестных системы mxn равно рангу r матрицы системы а число свободных неизвестных –разности n-r.

Усл сущ ненул решения однородной системы:

1)Однородная система имеет ненулевое решение тттк r<n

2)Однородная система nxn имеет ненулевое решение тттк ее определитель равен 0

Метод Жордана-Гаусса

При решении системы методом Жордана-Гаусса над расширенной матрицей Ầ проводят элементарные преобразования, целью которых явл приведение ее к виду

где в первых r столбцах стоит единичная матрица порядка r.