42.Исследовавание поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

43.Цилиндрические поверхности.

Цилиндрическая поверхность, поверхность, описываемая прямой линией (образующей Ц. п.), которая движется, оставаясь параллельной заданному направлению и скользя по заданной кривой (направляюще и). Если ось Oz прямоугольной системы координат параллельна образующей Ц. п., то уравнение Ц. п. будет F (x, у)= 0. Если образующие Ц. п. параллельны прямой ax + by + с = 0, лежащей в плоскости хОу, то уравнение Ц. п. имеет вид z = f (ax + by). Если направляющей служит окружность, эллипс, гипербола или парабола, то Ц. п. называется соответственно круглым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим цилиндром.

Цилиндрическая поверхность задается в некоторой надлежаще выбранной

для данной поверхности канонической системе координат уравнением

F ( x; y)= 0 (1)

Кривая (1), определенная уравнением (1) в плоскости Oxy, является направляющей кривой(основанием) цилиндрической поверхности. Образующая цилиндрической поверхности прямая параллельна оси Oz (рис.1).Прямая M0 M - образующая. У точки

M( x0 ; y0 ; z) аппликата z может быть любой.

Например, если направляющей будет эллипс:

, а образующая параллельна оси Oz, то получится эллиптический цилиндр (рис. 2).Пусть направляющей будет парабола y= z в кв , а образующая параллельна оси

Ох. Тогда получается параболический цилиндр (рис.3).

44.Конические поверхности.

Определение. Поверхность называется конической, если она образована

перемещением в пространстве прямой (называемой образующей конической

поверхности), проходящей через одну и ту же точку M0 , называемую вершиной конической поверхности и пересекающей при этом некоторую линию L, называемую направляющей конической поверхности. Пусть в пространстве имеются две поверхности F1 и F2 , которые, пересекаясь, образуют линию L. Уравнения этой линии определяются системой.

L: F1( x; y; z)=0

F2( x; y; z)=0

Зафиксируем точку M0( x0 ; y0 ; z0 . Проведем прямую, проходящую через точку M0 и какую-либо точку N( x0; y0; z0) линии L. Если прямая M0N движется в пространстве так, что она проходит через точку M0 - вершину конической поверхности и при этом пересекает линию L, то при этом образуется

коническая поверхность (рис. 1).

Обозначим координаты текущей точки конической поверхности через М(X;Y;Z). Составим уравнения прямой в пространстве, проходящей через точки M0 и N. Точка поверхности M(X;Y;Z) принадлежит прямой M0N , определяемой уравнениями

(2)

Если из уравнений (1) и (2) исключить x,y,z, то получится уравнение кони-

ческой поверхности: Ф(X;Y;Z)=0. (3)

Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для того, чтобы точка MP, необходимо и достаточно чтобы вектора NM₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку вектору.