32. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

33.Общее геометрическое свойство кривых второго порядка(директриса и эксцентриситет). Уравнение этих кривых в полярной системе координат.

36. Взаимное расположение плоскостей.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

PQ{A₁,B₁,C₁}

QN₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть PQ<=>N₁N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности PQ.

2) Пусть PQ<=> N₁N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

37.Нормированное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости.

38. Прямая в пространстве. Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой.

39.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Теорема о скрещивающихся прямых и расстояние между ними.

40. . Взаимное расположение прямой и плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

pq<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0

41.Поверхности вращения.

Поверхности вращения, поверхности, образуемые вращением плоской кривой вокруг прямой (оси П. в.), расположенной в плоскости этой линии.

Пусть в плоскости Оyz задана кривая L уравнением:F( y; z)=0 (1)

Будем вращать эту кривую вокруг оси Оу. При вращении каждая точка кривой описывает окружность. Поверхность, полученная при вращении кривой, называется поверхностью вращения. Возьмем на линии L точку N( y, z) . При

вращении вокруг оси Оу точка N описывает

окружность. Возьмем на окружности точку

M( X ,Y,Z), не принадлежащую плоскостям Oyz и Oxy. Пусть проекцией точки М на плоскость Оху будет точка K, а проекцией точки N на ось Оу - точка P. Тогда MP=NР - радиус вращения точки N.

На рис.1 NP = z, MK = Z, РK = X, OP = Y.

Из прямоугольного треугольника MKP имеем

z=+-кв корень( X в 2 + Z в 2) .

Кроме того, ордината точки M на окружности равна ординате точки N на кривой L, т. е. y= Y. Получим систему:

{z=+- кв корень( X в 2 + Z в 2); y= Y.

Если в уравнение (1) вместо y и z подставить их значения из системы, то получим:

F(Y; +- кв корень( X в 2 + Z в 2)=0

Таким образом, если линия F( y, z)= 0 расположена в плоскости Oyz и вращается вокруг Оу, для того,чтобы получить уравнение поверхности вращения,достаточно у заменить на Y, а вторую координату z заменить на

+- кв корень( X в 2 + Z в 2). Если, же задана линия на плоскости Оху: F( y, z)= 0 и вращение происходит вокруг оси Ох, то уравнение поверхности вращения

имеет вид: F (X; +- кв корень( X в 2 + Z в 2)=0.