3.Определитель квадратной матрицы.

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Определитель квадратной матрицы

–число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками “+” и “–” по некоторому определенному правилу.

Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки. Слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком “+”, соответствующие нечетным – со знаком “–”. Для некоторой перестановки чисел 1, 2, …, –пара элементов,образует инверсию, если. Если число пар элементов перестановки, образующих инверсию, четное, то перестановка четная, иначе – нечетная.

Определитель для случая .

Определитель для случая .

Определитель для случая .

При вычислении определителя матрицы размерности 3 получаются следующие слагаемые суммы, перестановки индексов столбцов, инверсии и знаки слагаемых.

Таким образом, определитель вычисляется по следующей формуле:

Свойства определителей:

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

2. При перестановке двух строк определителя, он меняет свой знак, но по абсолютной величине не меняется.

3. При умножении определителя на число, достаточно умножить любую строку на это число.

4. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.

5. Свойство упрощения определителя:Определитель не изменяется, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой его строки, предварительно умножив их на одно и тоже любое число.

6. Сумма определителей, отличающихся одной строкой, равна определителю с теми же элементами, у которого вместо различных строк стоит строка из суммы элементов различных строк.

7. Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.

8. Сумма попарных произведений элементов кокой либо строки и алгебраических дополнений соответствующих элементов другой строки равна нулю.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению своих диагональных элементов.

4.Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Минором матрицы порядка к называют определитель , составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольным образом выбранных к-ых строк и к-ых столбцов этой матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минораэтой матрицы.

Рангом матрицы называется число ненулевых строк в ее ступенчатом виде.

Ранг матрицы A обозначается r(A) = rang(A) . Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях и не зависит от способа приведения матрицы A к ступенчатому виду.Пример. Найти ранг матрицы:

Решение. Приведем матрицу A к ступенчатому виду.

.

Ранг матрицы A равен двум, r(A) = rang(A) . В любой матрице A с рангом r(А) = k найдутся такие k строки, что ранг матрицы, составленной их этих строк, также равен k . Такие строки матрицы A называются базисными. Если при приведении матрицы A к ступенчатому виду не использовать прибавление какой-либо строки низшей, чем данная, то базисные строки матрицы A — это в точности те строки, которые при приведении к ступенчатому виду перешли в ненулевые строки. Найдем базисные строки матрицы в последнем примере. Для этого будем отмечать ненулевые строки слева, начиная с последней матрицы (ступенчатого вида матрицы A ). Затем отметим соответствующие им строки у каждой матрицы, учитывая изменение положения строк (элементарные преобразования 1-го типа). У матрицы A базисные строки 3-я и 4-я.

5.Правило Крамера. Если определитель матрицы коэффициентов системы с одинаковым количеством уравнений и неизвестных не равен нулю, то эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью определителей по формуле:где – матрица, получаемая путём заменыi ого столбца на столбец свободных членов. Доказательство:

Если количество неизвестных не равно количеству уравнений, или определитель матрицы коэффициентов равен нулю, то правило Крамара не применяется.